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2018版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量第4讲直线平面平行的判定及其性质试题理


2018 版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 第 4 讲 直线、平面平行的判定及其性质试题 理 新人教版
基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.(2017·保定模拟)有下列命题: ①若直线 l 平行于平面 α 内的无数条直线,则直线 l∥α ; ②若直线 a 在平面 α 外,则 a∥α ; ③若直线 a∥b,b∥α ,则 a∥α ; ④若直线 a∥b,b∥α ,则 a 平行于平面 α 内的无数条直线. 其中真命题的个数是( A.1 B.2 ) C.3 D.4

解析 命题①l 可以在平面 α 内,不正确;命题②直线 a 与平面 α 可以是相交关系,不 正确;命题③a 可以在平面 α 内,不正确;命题④正确. 答案 A 2.设 m,n 是不同的直线,α ,β 是不同的平面,且 m,n? α ,则“α ∥β ”是“m∥β 且 n∥β ”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

解析 若 m,n? α ,α ∥β ,则 m∥β 且 n∥β ;反之若 m,n? α ,m∥β 且 n∥β ,则 α 与 β 相交或平行,即“α ∥β ”是“m∥β 且 n∥β ”的充分不必要条件. 答案 A 3.(2017·长郡中学质检)如图所示的三棱柱 ABC-A1B1C1 中,过 A1B1 的平面 与平面 ABC 交于 DE,则 DE 与 AB 的位置关系是( A.异面 C.相交 D.以上均有可能 B.平行 )

解析 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB∥A1B1, ∵AB? 平面 ABC,A1B1?平面 ABC, ∴A1B1∥平面 ABC, ∵过 A1B1 的平面与平面 ABC 交于 DE. ∴DE∥A1B1,∴DE∥AB. 答案 B 4.下列四个正方体图形中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,P 分别为其所在棱的中点,
1

能得出 AB∥平面 MNP 的图形的序号是(

)

A.①③

B.①④

C.②③

D.②④

解析 ①中,易知 NP∥AA′,

MN∥A′B,
∴平面 MNP∥平面 AA′B, 可得出 AB∥平面 MNP(如图). ④中,NP∥AB,能得出 AB∥平面 MNP. 在②③中不能判定 AB∥平面 MNP. 答案 B 5.已知 m,n 表示两条不同直线,α 表示平面,下列说法正确的是( A.若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n C.若 m⊥α ,m⊥n,则 n∥α )

B.若 m⊥α ,n? α ,则 m⊥n D.若 m∥α ,m⊥n,则 n⊥α

解析 若 m∥α ,n∥α ,则 m,n 平行、相交或异面,A 错;若 m⊥α ,n? α ,则 m⊥n, 因为直线与平面垂直时,它垂直于平面内任一直线,B 正确;若 m⊥α ,m⊥n,则 n∥α 或 n? α ,C 错;若 m∥α ,m⊥n,则 n 与 α 可能相交,可能平行,也可能 n? α ,D 错. 答案 B 二、填空题 6.在四面体 A-BCD 中,M,N 分别是△ACD,△BCD 的重心,则四面体的四个面中与 MN 平 行的是________. 解析 如图,取 CD 的中点 E. 连接 AE,BE,由于 M,N 分别是△ACD,△BCD 的重心,所以 AE,BE 分别过 M,N,则 EM∶MA=1∶2,EN∶BN=1∶2, 所以 MN∥AB. 因为 AB? 平面 ABD,MN?平面 ABD,AB? 平面 ABC,MN?平面 ABC, 所以 MN∥平面 ABD,MN∥平面 ABC. 答案 平面 ABD 与平面 ABC

2

7.如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,点 E 为 AD 的中点, 点 F 在 CD 上.若 EF∥平面 AB1C,则线段 EF 的长度等于________. 解析 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,∴AC=2 2.又 E 为 AD 中点,EF∥平面 AB1C,EF? 平面 ADC,平面 ADC∩平面 AB1C=AC,∴

EF∥AC,∴F 为 DC 中点,∴EF= AC= 2.
答案 2

1 2

8.(2017·承德模拟)如图所示,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,

G,H 分别是棱 CC1,C1D1,D1D,DC 的中点,N 是 BC 的中点,点 M 在四
边形 EFGH 及其内部运动,则 M 只需满足条件________时,就有 MN∥ 平面 B1BDD1.(注:请填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑全部 可能情况) 解析 连接 HN,FH,FN,则 FH∥DD1,HN∥BD, ∴平面 FHN∥平面 B1BDD1,只需 M∈FH,则 MN? 平面 FHN,∴MN∥平面 B1BDD1. 答案 点 M 在线段 FH 上(或点 M 与点 H 重合) 三、解答题 9.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.

(1)请将字母 F,G,H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由); (2)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系,并证明你的结论. 解 (1)点 F,G,H 的位置如图所示.

(2)平面 BEG∥平面 ACH,证明如下:因为 ABCD-EFGH 为正方体, 所以 BC∥FG,BC=FG, 又 FG∥EH,FG=EH,所以 BC∥EH,BC=EH,于是四边形 BCHE 为平行四 边形,所以 BE∥CH.又 CH? 平面 ACH,BE?平面 ACH, 所以 BE∥平面 ACH.同理 BG∥平面 ACH. 又 BE∩BG=B,所以平面 BEG∥平面 ACH. 10.(2014·全国Ⅱ卷)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为 矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (1)证明:PB∥平面 AEC;

3

(2)设 AP=1,AD= 3,三棱锥 P-ABD 的体积 V= (1)证明 设 BD 与 AC 的交点为 O,连接 EO. 因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点. 又 E 为 PD 的中点,所以 EO∥PB.

3 ,求 A 到平面 PBC 的距离. 4

又因为 EO? 平面 AEC,PB?平面 AEC,所以 PB∥平面 AEC. 1 3 (2)解 V= PA·AB·AD= AB. 6 6 由 V= 3 3 ,可得 AB= .作 AH⊥PB 交 PB 于 H. 4 2

由题设知 AB⊥BC, PA⊥BC, 且 PA∩AB=A, 所以 BC⊥平面 PAB. 又 AH? 平面 PAB,所以 BC⊥AH, 又 PB∩BC=B,故 AH⊥平面 PBC. ∵PB? 平面 PBC,∴AH⊥PB, 在 Rt△PAB 中,由勾股定理可得 PB= 所以 AH= 13 , 2

PA·AB 3 13 = . PB 13
3 13 . 13 能力提升题组 (建议用时:20 分钟)

所以 A 到平面 PBC 的距离为

11.给出下列关于互不相同的直线 l,m,n 和平面 α ,β ,γ 的三个命题:①若 l 与 m 为 异面直线,l? α ,m? β ,则 α ∥β ; ②若 α ∥β ,l? α ,m? β ,则 l∥m; ③若 α ∩β =l,β ∩γ =m,γ ∩α =n,l∥γ ,则 m∥n. 其中真命题的个数为( A.3 B.2 ) C.1 D.0

解析 ①中当 α 与 β 不平行时,也可能存在符合题意的 l,m;②中 l 与 m 也可能异面;

③中

α ∩γ =n? ?

l∥γ ? ? l? α ?? l∥n,同理,l∥m,则 m∥n,正确.

答案 C 12.在四面体 ABCD 中,截面 PQMN 是正方形,则在下列结论中,错误的是 ( )
4

A.AC⊥BD B.AC∥截面 PQMN C.AC=BD D.异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45° 解析 因为截面 PQMN 是正方形,所以 MN∥QP,又 PQ? 平面 ABC,MN?平面 ABC,则 MN∥ 平面 ABC,由线面平行的性质知 MN∥AC,又 MN? 平面 PQMN,AC?平面 PQMN,则 AC∥截面

PQMN,同理可得 MQ∥BD,又 MN⊥QM,则 AC⊥BD,故 A,B 正确.
又因为 BD∥MQ,所以异面直线 PM 与 BD 所成的角等于 PM 与 QM 所成的角,即为 45°,故 D 正确. 答案 C 13.如图所示, 棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形, 设 D 是 A1C1 上的点且 A1B∥平面 B1CD, 则 A1D∶DC1 的值为________.

解析 设 BC1∩B1C=O,连接 OD. ∵A1B∥平面 B1CD 且平面 A1BC1∩平面 B1CD=OD, ∴A1B∥OD,∵四边形 BCC1B1 是菱形,∴O 为 BC1 的中点,∴D 为 A1C1 的 中点,则 A1D∶DC1=1. 答案 1 14.(2015·江苏卷)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知 AC⊥BC,BC =CC1.设 AB1 的中点为 D,B1C∩BC1=E.求证: (1)DE∥平面 AA1C1C; (2)BC1⊥AB1. 证明 (1)由题意知, E 为 B1C 的中点, 又 D 为 AB1 的中点, 因此 DE∥AC. 又因为 DE?平面 AA1C1C,AC? 平面 AA1C1C, 所以 DE∥平面 AA1C1C. (2)因为棱柱 ABC-A1B1C1 是直三棱柱, 所以 CC1⊥平面 ABC.因为 AC? 平面 ABC,所以 AC⊥CC1. 又因为 AC⊥BC,CC1? 平面 BCC1B1,

BC? 平面 BCC1B1,BC∩CC1=C,
所以 AC⊥平面 BCC1B1.又因为 BC1? 平面 BCC1B1, 所以 BC1⊥AC.因为 BC=CC1,
5

所以矩形 BCC1B1 是正方形,因此 BC1⊥B1C. 因为 AC,B1C? 平面 B1AC,AC∩B1C=C, 所以 BC1⊥平面 B1AC.又因为 AB1? 平面 B1AC, 所以 BC1⊥AB1.

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