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复习精品课件:专题二第一讲-三角函数的图象与性质


第一讲

三角函数的图象与性质

正弦、余弦、正切函数的图象和性质
函 数
y

正弦函数
y
3? 2
7? 2

余弦函数
1 o -1

正切函数

y

图 像
定义域 值 域 周期性

?

?
2

1 o? 2

??

5? 2

x

?

2?

3? x
-

-1

? 2

O

? 2

x

R [-1,1]
最小正周期 2π

R [-1,1]
最小正周期2π

? ? ? x x ? ? k ? , k ? Z ? ? 2 ? ?

R
最小正周期π

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

正弦、余弦、正切函数的性质

函 数
? ? ? ?

y=sin x

y=cos x

y=tan x

? π π [-π+2kπ,2kπ] 在 - +2kπ, +2kπ? ? 在 2 2 ?

单 (k∈Z) 上单调增,在 调 ?π ? 3π ? ? + 2 k π , + 2 k π ? ? 性 ?2 2 ?
(k∈Z) 上单调减.

? π π 在 - +kπ, +kπ? ? 2 2 (k∈Z) 上单调增, ? ? ? ? ?



[2kπ,π+2kπ]

(k∈Z) 上单调增.

(k∈Z) 上单调减

函数

y=sin x 当 x=+2kπ,k∈Z 时,y 取得最大值 1,

y=cos x 当 x= 2kπ,k∈Z 时, y 取得最大值 1, 当 x= π+2kπ,k∈Z 时,y 取得最小值-1

y=tan x

最值

π -2+2kπ,k∈Z 当 x=

无最值

时,y 取得最小值-1.

对称中心: (kπ,0)(k∈Z), 对称 性 对称轴: π x=2+kπ(k∈Z).

对称中心:
?π ? ? ? ?2+kπ,0?(k∈Z), ? ?

对称轴: x=kπ(k∈Z)

对称中心: ?kπ ? ? ? ? 2 ,0?(k∈Z) ? ?

.

2.函数y=A sin(ωx+φ)的图象 (1)“五点法”作图 3π π 设z=ωx+φ,令z= 0 , 2 , π , 2 , 2π ,求出x 的值与相应的y的值,描点连线可得. (2)图象变换
|? |

1

?
A

1

?

? ?
A

1 . (2011·全国课标卷 ) 已知角 θ 的顶点与原点重合,始

边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos 2θ=
4 A.-5 3 C.5 3 B.-5 4 D.5

设 P(t,2t)(t≠0)为角 θ 终边上任意一点,则 cos θ= t 5 5 .当 t>0 时,cos θ= 5 ;当 t<0 时,cos θ=- 5 .因此 cos 5|t| 2 3 2θ=2cos2θ-1=5-1=-5. 解析

答案 B

2.(2011· 全国大纲卷)设函数 f(x)=cos ωx(ω>0),将 y= π f(x)的图象向右平移3个单位长度后,所得的图象与原图象重 合,则 ω 的最小值等于 1 A.3 B.3 C. 6 D.9
π 2π π 解析 由题意可知, nT=3(n∈N+), ∴n· ω =3(n∈N+), ∴ω=6n(n∈N+),∴当 n=1 时,ω 取得最小值 6.

答案 C

3 . (2011· 上海 ) 函数 y = 2 sin x - cos x 的最大值为 ________.
解析 ∵y=2sin x-cos x= 5sin(x+φ),其中 φ 为辅 助角,∴ymax= 5.

答案

5

4.(2011·江苏)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数, A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f(0)的值是________.

T 7π π π 解析 由题图知 A= 2,4=12-3=4, 2π ∴T=π,ω= π =2. π π ∴2×3+φ=2kπ+π(k∈Z),∴φ=2kπ+3(k∈Z). π 令 k=0,得 φ=3. ? π? ∴函数解析式为 f(x)= 2sin?2x+3?, ? ? π 6 ∴f(0)= 2sin 3= 2 . 6 答案 2

5.(2011· 四川)已知函数

? ? 7π? 3π? f(x)=sin?x+ 4 ?+cos?x- 4 ?,x∈R. ? ? ? ?

(1)求 f(x)的最小正周期和最小值; 4 4 (2)已知 cos(β-α)=5,cos(β+α)=-5, π 0<α<β≤2,求证:[f(β)]2-2=0. ? ? ? 7π π π? 解析 (1)∵f(x)=sin?x+ 4 -2π?+cos?x-4-2? ? ? ? ? ? ? ? π? π? π? =sin?x-4?+sin?x-4?=2sin?x-4?, ? ? ? ? ? ? ∴T=2π,f(x)的最小值为-2.

4 (2)证明 由已知得 cosβ cosα+sinβ sin α=5, 4 cosβ cos α-sin β sin α=-5, 两式相加得 2cos βcos α=0, π π ∵0<α<β≤2,∴β=2. 2 2π ∴[f(β)] -2=4sin 4-2=0.

三角函数的图象与性质不仅要求考生掌握三角变换的基 本公式,能运用作函数图象的方法直观地判断三角函数所具 有的性质与特点,还要求考生会运用解决函数问题的一般方 法来解决三角函数问题,故这部分内容更能考查学生对知识

掌握的灵活性,但高考题的难度一般不大.预计2012年高考 对这部分内容的考查将以三角函数的单调性、对称性、最值、 周期性以及三角函数图象的平移与伸缩变换为主,在复习中 需注重对基础内容的掌握.

三角函数图象的平移与伸缩变换

函数

? π? π y=sin?5x-2?的图象向右平移4个单位长度,再把 ? ?

1 所得图象上各点的横纵坐标缩短为原来的2倍.所得函数解 析式为 ? ? 3π? 7π? A.y=sin?10x- 4 ? B.y=sin?10x- 2 ? ? ? ? ? ? ? 3π? 7π? C.y=sin?10x- 2 ? D.y=sin?10x- 4 ? ? ? ? ?

π 【解析】 将原函数向右平移4个单位长度,所得函数解 ? ? ? π? π? 7π? 析式为:y=sin?5?x-4?-2?=sin?5x- 4 ?,再压缩横坐标得 y ? ? ? ? ? ? ? 7π? =sin?10x- 4 ?.故选 D. ? ?

【答案】 D

平移变换的时候要注意平移量和平移方向,即:由 y= ? φ? f(ωx)平移得到 y=f(ωx+φ)时, 一般应将 ωx+φ 化为 ω?x+ω? ? ? ?φ? φ φ 后,由 x+ω来确定平移量和平移方向.若ω<0,则右移?ω? ? ? ?φ? φ 个单位;若ω>0,则左移?ω?个单位. ? ?

? π? 本例中由 y=sin?5x-2?的图象要得到选项 D 中的函数图 ? ?

象也可先进行伸缩变换,后进行平移变换,即先把 y =
? π? 1 sin?5x-2?图象上各点的横坐标变化为原来的2倍,得到 ? ? ? π? π sin?10x-2?,再向右平移8个单位,得 ? ?

y=

? ? π? π? y=sin?10?x-8?-2?= ? ? ? ?

? 7π? π sin?10x- 4 ?,而不是向右平移4个单位! ? ?

1. 为了得到函数 f(x)=2cosx( 3sin x-cos x)+1 的图象, 需将函数 y=2sin 2x 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位长度, 则 φ 的最小值是多少?
解析 f(x)=2cos x( 3sin x-cos x)+1 =2 3sin xcos x-2 cos2 x+1= 3sin 2x-cos 2x ? ? π? π? =2sin?2x-6?=2sin 2?x-12?. ? ? ? ? π 因此只要把函数 y=2sin 2x 向右平移12+2kπ(k∈N) 个单位长度即可得到函数 f(x)的图象,显然平移的最小值 π 为12.

三角函数的图象与解析式

(2011· 辽宁 ) 已知函数 f(x) = A
? π? tan(ωx+φ)?ω>0,|φ|<2?,y=f(x) ? ?

的部分图象如右图,则 ____________.

?π? f ?24? = ? ?

?3 π? π π 【解析】 由图形知,T=ω=2?8π-8?=2,ω=2. ? ? 3 π 由 2×8π+φ=kπ,k∈Z,知 φ=4. ? π? 由 Atan?2×0+4?=1, ? ? ? π? 知 A=1,∴f(x)=tan?2x+4?, ? ? ?π? ? π π? π ? ? ? ? 2 × + ∴f 24 =tan 24 4?=tan 3= 3. ? ? ?

【答案】

3

根据三角函数图象求函数的解析式,主要解决两个问题, 一个是 ω ,一个是 φ ,ω 由三角函数的周期确定, φ 由函数图 象的位置确定.解决这类题目一般是先根据函数图象找到函 数的周期确定ω的值,再根据函数图象上的一个特殊点确定φ 值.这类题目中,一般情况下ω的值 是唯一确定的,但φ的值是不确定的,它有无数个,事 实上,如果 φ0 是满足条件的一个 φ 值,那么 2kπ + φ0(k∈Z) 都 是满足条件的φ值,故这类题目一般都限制了φ的取值范围.

2 . 如 图 所 示 的 是 函 数 f(x) = Asin(ωx + φ) + ? ? π?? B?A>0,ω>0,|φ|∈?0,2??图象的一部分, 则 f(x)的解析式 ? ? ?? 为________.

解析

由于最大值和最小值之差等于 4,故 A=2,B=1. ? π? π 由于 2=2sin φ+1,且|φ|∈?0,2?,得 φ=6. ? ? π 由图象知 ω(-π)+φ=2kπ-2, 2 得 ω=-2k+3(k∈Z). 2π 2 又 ω >2π,∴0<ω<1,∴ω=3. ?2 π? ∴函数 f(x)的解析式是 f(x)=2sin?3x+6?+1. ? ? ?2 π? 答案 f(x)=2sin?3x+6?+1 ? ?

三角函数的单调性,周期性及最值

(1)(5 分)(2011· 济南调研)已知 f(x)=sin2x+sin xcos x, 则 f(x)的最小正周期和一个单调增区间分别为 ? π 3π? A.π,[0,π] B.2π,?-4, 4 ? ? ? ? π 3π? ? π π? C.π,?-8, 8 ? D.2π,?-4,4? ? ? ? ? ? π? (2)(12 分)(2011· 北京)已知函数 f(x)=4cos xsin?x+6?-1. ? ? ①求 f(x)的最小正周期; ? π π? ②求 f(x)在区间?-6,4?上的最大值和最小值. ? ?

【标准解答】 2sin
? π? ?2x- ?+1 4? ?

1 1 (1) 由 f(x) = 2 sin 2x + 2 (1 - cos 2x) =

2

得,该函数的最小正周期是 π.

π π π 当 2kπ-2≤2x-4≤2kπ+2,k∈Z, π 3π 即 kπ-8≤x≤kπ+ 8 ,k∈Z 时,函数 f(x)是增函数, ? π 3π? 即函数 f(x)的单调增区间是?kπ-8,kπ+ 8 ?,其中 k∈Z. ? ? ? π 3π? 由 k=0 得到函数 f(x)的一个单调增区间是?-8, 8 ?,结 ? ? 合各选项知,选 C.(5 分)

? π? (2)①因为 f(x)=4cos xsin?x+6?-1 ? ? ? 3 ? 1 ? 2 =4cos x? sin x+ cos x? - 1 = 3sin 2 x + 2cos ? 2 ? 2 ? ? π? = 3sin 2x+cos 2x=2sin?2x+6?,(4 分) ? ?

x-1

所以 f(x)的最小正周期为 π.(6 分) π π π π 2π ②因为-6≤x≤4,所以-6≤2x+6≤ 3 . π π π 于是,当 2x+6=2,即 x=6时,f(x)取得最大值 2;(9 分) π π π 当 2x+6=-6,即 x=-6时,f(x)取得最小值-1.(12 分)

1 . 三 角 函 数 的 性 质 问 题 , 往 往 都 要 先 化 成 f ( x) = Asin(ωx+φ)的形式再求解. 2.要正确理解三角函数的性质,关键是记住三角函数 的图象,根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函 数的单调性,最值与周期.

1.在求三角函数的最值时,要注意自变量x的范围对最

值的影响,往往结合图象求解. 2.求函数f(x)=Asin(ωx+φ)的单调区间时,只有当ω> 0 时,才可整体代入并求其解,当 ω < 0 时,需把 ω 的符号化 为正值后求解.

→ =(1,sin x-1),OB →= 3.(2011· 广东六校模拟)已知OA →· → (x∈R).求: (sin x+sin xcos x,sin x),f(x)=OA OB (1)函数 f(x)的最大值和最小正周期; (2)函数 f(x)的单调递增区间. →· → 解析 (1)∵f(x)=OA OB
=sin x+sin xcos x+sin2x-sin x ? 1 1-cos 2x 1 2? 2 ? 2 ? =2sin 2x+ = sin 2 x - cos 2 x ?+2 2 2? 2 2 ? ? 2 π 1 = 2 sin(2x-4)+2,

π π 当 2x-4=2+2kπ,k∈Z, 1+ 2 3π 即当 x=kπ+ 8 (k∈Z)时,f(x)取得最大值 2 , f(x)的最小正周期为 π. π? 1 2 ? (2)∵f(x)= 2 sin?2x-4?+2, ? ? π π π ∴当 2kπ-2≤2x-4≤2kπ+2,k∈Z, π 3π 即当 kπ-8≤x≤kπ+ 8 ,k∈Z 时, 函数 f(x)为增函数,∴函数 f(x)的单调递增区间是 ? π 3π? ?kπ- ,kπ+ ?(k∈Z). 8 8? ?


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