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2016高考数学二轮复习微专题强化练课件:15圆锥曲线


走向高考 ·数学
高考二轮总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第一部分
微专题强化练

第一部分



考点强化练

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第一部分 一 15 考点强化练 圆锥曲线

第一部分



考点强化练

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1

考 向 分 析

3

强 化 训 练

2

考 题 引 路

4

易 错 防 范

第一部分



考点强化练

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考向分析

第一部分



考点强化练

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1.以客观题形式考查圆锥曲线的标准方程、圆锥曲线的定

义、离心率、焦点弦长问题、双曲线的渐近线等,可能会与数
列、三角函数、平面向量、不等式结合命题,若与立体几何结 合,会在定值、最值、定义角度命题.

2 .每年必考一个大题,相对较难,且往往为压轴题,具
有较高的区分度.平面向量的介入,增加了本部分高考命题的 广度与深度,成为近几年高考命题的一大亮点,备受命题者的 青睐,本部分还经常结合函数、方程、不等式、数列、三角等 知识结合进行综合考查.

第一部分



考点强化练

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考题引路

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考点强化练

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考例 1 (文)(2015· 安徽文,6)下列双曲线中,渐近线方程为 y =± 2x 的是( ) x2 2 B. 4 -y =1 x2 2 D. 2 -y =1
2 y A.x2- 4 =1 2 y C.x2- 2 =1

[立意与点拨] 考查双曲线的几何性质. [答案] A

[解析] 由双曲线的渐近线的定义可得选项 A 的渐近线方程
2 y 为 x2- 4 =0,即 y=± 2x,故选 A.

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考点强化练

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x2 y2 (理)(2015· 天津理,6)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的一 条渐近线过点(2, 3),且双曲线的一个焦点在抛物线 y2=4 7x 的准线上,则双曲线的方程为( x2 y2 A.21-28=1 x2 y2 C. 3 - 4 =1 [ 立意与点拨 ]
程组求解. [答案] D
第一部分 一 考点强化练

)

x2 y2 B.28-21=1 x2 y2 D. 4 - 3 =1 考查双曲线、抛物线的标准方程及几何性

质.可利用渐近线过点(2, 3)和双曲线焦点在抛物线准线上列方

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x2 y 2 b [解析] 双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± ax, 3 b 因为点(2, 3)在渐近线上,所以a= 2 ,双曲线的一个焦点在抛 物线 y2=4 7x 的准线 x=- 7上, 所以 c= 7, 由此可解得 a=2, x2 y2 b= 3,所以双曲线方程为 4 - 3 =1,故选 D.

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考例 2

1 2 (文)(2015· 浙江文,19)如图,已知抛物线 C1:y=4x ,

圆 C2:x2+(y-1)2=1,过点 P(t,0)(t>0)作不过原点 O 的直线 PA, PB 分别与抛物线 C1 和圆 C2 相切, A,B 为切点. (1)求点 A,B 的坐标; (2)求△PAB 的面积. 注:直线与抛物线有且只有一 个公共点,且与抛物线的对称轴不 平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.

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[立意与点拨] 证能力.

考查1.抛物线的几何性质;2.直线与圆的位

置关系;3.直线与抛物线的位置关系和运算求解能力、推理论
(1) 设出直线 PA 的方程,通过联立方程令判别式为零,得

到点A的坐标;根据圆的性质,利用点关于直线对称,得到点B
的坐标;(2)利用两点求距离及点到直线的距离公式,得到三角 形的底边长与底边上的高,由此计算三角形的面积.

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[解析] (1)由题意可知, 直线 PA 的斜率存在, 故可设直线 PA 的方程为 y=k(x-t). y=k?x-t?, ? ? 所以? 1 2 消去 y,整理得:x2-4kx+4kt=0. y= x , ? ? 4 因为直线 PA 与抛物线相切,所以 Δ=16k2-16kt=0,解得 k =t. 所以 x=2t,即点 A(2t,t2).

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设圆 C2 的圆心为 D(0,1),点 B 的坐标为(x0,y0),由题意知, y x ? ? 0=- 0+1, 2t 2 2 t 点 B, O 关于直线 PD 对称, 故有? 解得 x0= 2, 1+t ? x t - y = 0 , ? 0 0 2t2 2t 2t2 y0 = 2,即点 B( 2, 2 ). 1+t 1+t 1+t

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(2)由(1)知,|AP|=t 1+t2, 直线 AP 的方程为 tx-y-t2=0, t2 所以点 B 到直线 PA 的距离为 d= 2 . 1+t 1 t3 所以△PAB 的面积为 S=2|AP|· d= 2 .

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x2 y2 (理)(2015· 福建理, 18)已知椭圆 E: a2+b2=1(a>b>0)过点(0, 2 2),且离心率 e= 2 . (1)求椭圆 E 的方程; (2)设直线 l:x=my-1(m∈R)交椭圆 E 于 A,B 两点,判断点
? 9 ? G?-4,0?与以线段 ? ?

AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由.

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[立意与点拨] 考查 1.椭圆的标准方程;2.直线和椭圆的位置 关系;3.点和圆的位置关系;4.转化能力、推理论证能力和运算能 力、转化与化归思想和方程思想. (1)利用 a、b、c 的关系和离心率求 E 的系数.(2)判断点与圆 → → 的位置关系可利用定义,也可利用向量的数量积.GA· GB<0?点 → → → → G 在圆内;GA· GB>0?点 G 在圆外;GA· GB=0?点 G 在圆上.

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[解析] 解法一:(1)由已知得, ? ?b= 2, ?c 2 ? = , ?a 2 2 2 2 ? ?a =b +c , ?a=2, ? 解得?b= 2, ?c= 2, ?

x2 y2 所以椭圆 E 的方程为 4 + 2 =1.

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(2)设点 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点为 H(x0,y0). my-1, ? ?x= 由?x2 y2 得(m2+2)y2-2my-3=0, + =1 ? ?4 2 2m 3 m 所以 y1+y2= 2 ,y1y2=- 2 ,从而 y0= 2 . m +2 m +2 m +2 92 2 52 2 所以|GH| =(x0+4) +y0=(my0+4) +y0
2

=( m

2

5 25 2 +1)y0+ my0+ . 2 16

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2 2 |AB|2 ?x1-x2? +?y1-y2? 4 = 4

?m2+1??y1-y2?2 = 4 ?m2+1?[?y1+y2?2-4y1y2] = 4 =(m2+1)(y2 0-y1y2),
2 | AB | 5 25 2 2 故|GH| - 4 =2my0+(m +1)y1y2+16=

3?m2+1? 25 17m2+2 5m2 - 2 +16= >0, 2 2 2?m +2? m +2 16?m +2? |AB| 9 所以|GH|> 2 .故点 G(-4,0)在以 AB 为直径的圆外.
第一部分 一 考点强化练

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解法二:(1)同解法一. 9 → (2)设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则GA=(x1+4,y1), 9 → GB=(x2+4,y2). my-1, ? ?x= 由?x2 y2 得(m2+2)y2-2my-3=0, + =1 ? ?4 2 2m 3 所以 y1+y2= 2 ,y y =- 2 , m +2 1 2 m +2

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9 9 → → 从而GA· GB=(x1+4)(x2+4)+y1y2 5 5 =(my1+4)(my2+4)+y1y2 5 25 =(m +1)y1y2+4m(y1+y2)+16=
2

3?m2+1? 25 17m2+2 5m2 - 2 +16= >0. 2?m2+2? m +2 16?m2+2? → → → → 所以 cos〈GA,GB〉 >0,又GA,GB不共线,所以∠AGB 为锐角. 9 故点 G(-4,0)在以 AB 为直径的圆外.
第一部分 一 考点强化练

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强化训练
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易错防范

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案例 (文)忽视特殊情形致误 x2 y2 双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其 上一点, 且|PF1|=2|PF2|, 则双曲线离心率的取值范围为________.

[易错分析]

本题常因漏掉 P 在 x 轴上的情况致误.

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[解答] 设|PF2|=m,∠F1PF2=θ(0<θ≤π), 当点 P 在右顶点时,θ=π. 由条件,得|PF1|=2m,|F1F2|2=m2+(2m)2-4m2cosθ,且||PF1| -|PF2||=m=2a. 5m2-4m2cosθ 2c 所以 e=2a= = 5-4cosθ. m 又-1≤cosθ<1,所以 e∈(1,3].

[答案] (1,3]

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[警示]

解答此类问题时,一定要考虑周全,把各种可能

情况先分析清楚,再确定解答方案.本题常因错误认为三顶点
P、F1、F2构成三角形的思维定势导致错误.

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考点强化练

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(理)忽视判别式致误
2 y 已知双曲线 x2- 2 =1,过点 A(1,1)能否作直线 l,使 l 与双曲

线交于 P、Q 两点,并且 A 为线段 PQ 的中点?若存在,求出直 线 l 的方程;若不存在,说明理由.
[易错分析] 相交致误. 常因忽视判断直线2x-y-1=0与双曲线是否

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[解答] 设被 A(1,1)所平分的弦所在直线方程为 y=k(x-1)+
2 y 1.代入双曲线方程 x2- 2 =1,整理得,

(2-k2)x2+2k(k-1)x-3+2k-k2=0. 3 由 Δ=4k (k-1) -4(2-k )(2k-3-k )>0,解得 k<2.
2 2 2 2

设直线与双曲线交点为 M(x1,y1),N(x2,y2), 2k?k-1? 由根与系数的关系,得 x1+x2= 2 . k -2 x1+x2 点 A(1,1)是弦中点,则 2 =1. k?k-1? 3 ∴ 2 =1,解得 k=2>2,故不存在被点 A(1,1)平分的弦. k -2
第一部分 一 考点强化练

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[警示]

在研究直线与圆锥曲线位置关系问题时,经常使

用代入消元化为一元二次方程,用根与系数的关系“整体处 理”的方法求解,这时最容易出现的错误就是忘记判别式的限

制,没有保证一定“相交”,故在解答这类问题时要牢记这一
点.

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考点强化练

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[解法探究]

本题还可以用点差法求解如下:

设符合题意的直线 l 存在,并设 P(x1,y1)、Q(x2,y2),则
2 ? 2 y1 ?x1- 2 =1, ? 2 y 2 ?x2 - =1. ② ? 2 2



1 ①-②得(x1-x2)(x1+x2)=2(y1-y2)(y1+y2).③ 因为点 A(1,1)为线段 PQ 的中点,
? ?x1+x2=2, 所以? ? ?y1+y2=2.

④ ⑤
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1 将式④、⑤代入式③得 x1-x2=2(y1-y2). y1-y2 若 x1≠x2,则直线 l 的斜率 k= =2. x1-x2 所以直线 l 的方程为 2x-y-1=0, ? ?y=2x2-1, 再由? 2 y 得 2x2-4x+3=0. x - 2 =1, ? ?
2 y 根据 Δ=-8<0 可知直线 y=2x-1 与曲线 x2- 2 =1 不相交,

所以所求直线不存在. 最后检验 Δ 的步骤不可缺少.
第一部分 一 考点强化练


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