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江苏省海州高级中学、灌南高级中学、海头高级中学高二数学下学期期中试题 理-课件


海州高中、 灌南高中、 海头高中 2015—2016 学年度第二学期期中学 情调查考试高二数学试题(选修物理)
注意事项: 1.本试卷共 3 页,包括填空题(第 1 题~第 16 题)、解答题(第 17 题~第 24 题)两部 分. 本试卷满分 200 分,考试时间 150 分钟. 2.答题前,考生务必将自己的学校、姓名、考试号填涂在答题卡上指定的位置. 3.答题时,必

须用黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上指定的位置,在其他位置 作答一律无效. 4.本卷考试结束后,上交答题卡. 一、填空题:每题 5 份,共 16 题,总分 80 分,请把答案填写在答题卡相应的位置上. 1、复数 4+3i 的虚部为 ▲
2 2、排列 A3 =

▲ ▲ ▲

3、若集合 A ? ?1,2,3? ,则集合 A 子集的个数为 4、已知复数 Z ? i ?1 ? i ? ,则复数 Z 的共轭复数为 5、复数 1 ? 3i 的模为 ▲

6、设平面 ? , ? 的法向量分别为 u ? ?1, 2 ? 2 ? , v ? ( ?3, ?6, 6) 则 ? , ? 的位置关系为__▲ ___. 7、若 Z ? C, 且 ? 3+Z ? i ? 1 ( i 为虚数单位),则复数 Z = ▲

r

r

8、若向量 a ? ? 4, 2, 4 ? , b ? ? 6,3, ?2 ? ,则 (2a ? 3b) ? (a ? 2b) ? ______▲________. 9、已知向量 a ? (2, ?1,3), b ? ? ?4, 2, x ? ,使 a ? b 成立的 x 值为
2 2 2

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r



10、若下列两个方程 x ? ? a ?1? x ? a ? 0, x ? 2ax ? 2a ? 0 中至少有一个方程有实根, 则实数 a 的取值范围是___▲___. 11、二面角的棱上有 A, B 两点,直线 AC, BD 分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直 于 AB ,已知 AB ? 4, AC ? 6, BD ? 8, CD ? 2 17 ,则该二面角的大小为 ▲
1

1 2 3 2015 ? ? ?L ? = ▲ 2! 3! 4! 2016! 2 13、已知复数 Z 满足 Z = 2 , Z 的虚部是 2. 设 Z , Z 2,Z ? Z 2 在复平面上的对应点分
12、计算 别为 A, B, C ,则 △ ABC 的面积为 ▲

14、已知空间四 边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a ,点 E , F 分别是 BC , AD 的 中点,则 AE ? AF 的值为 ▲. 15、 已知双曲正弦函数 shx ?

uuu r uuu r

e x ? e? x e x ? e? x 和双曲余弦函数 chx ? 与我们学过的正弦函 2 2

数和余弦函数有许多类似的性质,请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角 公式,写 ..... 出双曲正弦或双曲余弦函数的一个 类似的正确结论________. .. 16、观察下列等式: ①cos 2α =2cos α -1; ②cos 4α =8cos α -8cos α +1; ③cos 6α =32cos α -48cos α +18cos α -1; ④cos 8α =128cos α -256cos α +160cos α -32cos α +1; ⑤cos 10α =mcos α -1 280cos α +1 120cos α +ncos α +pcos α -1. 可以推测,m-n+p=__▲___. 二、解答题:共 8 题,共计 120 分, (17、18 题,每题 14 分;19、20、21、22 题,每题 15 分;23、24 题,每题 16 分) .请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤. 17、 ?1?
10 8 6 4 2 8 6 4 2 6 4 2 4 2 2

?-2-4i ? ? ?7 ? 5i ? ? ?1? 7i ?

2 ? 2 ? ?1+i ?? 2 ? i ? ? 1 ? i + ?1 ? i ?

5?i

2 2 18、 实数 m 为何值时,复数 Z ? m ? 5m ? 6 ? m ? 2m ? 15 i 对应的点在:

?

? ?

?

(1)实轴上; (2)在第一象限; (3)直线 x ? y ? 5 ? 0 上.

19、 (1)7 位同学站成一排,甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种?
2

(2)7 位同学站成一排,甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种? (3)7 位同学站成一排,甲不站排头,乙不站排尾 ,不同站法种数有多少种?

20 、 如 图 所 示 , 已 知 长 方 体 ABCD ? 1 A1 BC 1 D 1中 ,

AB ? BC ? 2,AA1 ? 4,E 是 棱 CC1 上 的 点 , 且 BE ? B1C . (1)求 CE 的长; (2)求证: AC ? 平面BED ; 1 BDE 所成角的正弦值. (3)求 A 1B 与平面

21、如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? BC ? 2 AA ,?ABC ? 900 , D 是 BC 的 1 中点. (1)求证: A 1B ? 平面ADC1 ; (2)求二面角 C1 ? AD ? C 的余弦值; (3) 试问线段 A1B1 上是否存在点 E ,使 AE与 DC 1 成 60 角?若存在,确定 E 点位置;若不存在,说 明理由.
0

22、 (1)如果 a , b 都是正数,且 a ? b ,求证:

a b ? ? a? b b a
3

(2)设 x ? ?1, m ? N ? , 用数学归纳法证明: ?1+x ? ? 1 ? mx
m

23、已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 an ? sn ? 2 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求证:数列 ?an ? 中不存在三项按原来顺序成等差数列。

24、设函数 f ? x ? ? x e

2 x ?1

(1)求函数 y ? f ? x ? 的单调区间;

1 ? x3 ? x 2 ? x ? R? . 3
x ?1

(2)当 x ? ?1, ?? ? 时,用数学归纳法证明: ?n ? N , e
*

?

xn . n!

4

………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………

2015 学年-2016 学年高二数学期中调研答题纸 一、填空题(本大题共 16 小题,每小题 5 分,计 80 分)成绩 1.-3 2.6 3.8 4.1+i 5. 10 6. ? ? ?

7.-3-i8.-200

9.

10 10. ?1 ? a ? 0 3

11.

班级___________ 姓名_____________

? 1 12 12016 ! 3

13.114.

1 2 a 4

15.ch(x+y)=chxchy+shxshy 或 s h(x -y)=shxchy-chxshy, 或 sh(x+y)=shxchy+chxshy.或 chxchy-shxsh y=ch(x-y)

16.962 二、解答题(本大题共 8 小题,计 120 分) 17.解: ?1? -8+8i (7 分)

学号_____

? 2? 3 ? 4i (7 分)
18.解: 解 (1)若 z 对应的点在实轴上, 则 m -2m-15=0, (2 分) 解得 m=-3 或 m=5.(5 分)
5
2

考场号_____

(2)m +5m+6>0 且 m -2m-15>0(2 分)

2

2

m>5 或 m<-3(5 分)
(3)复数 z 对应的点为(m +5m+6,m -2m-15), ∵z 对应的点在直线 x+y+4=0 上, ∴(m +5m+6)+(m -2m-15)+4=0, (2 分)
2 2 2 2

m ? 1, m ? ?
19.解:

5 2 (5 分)

2 6 (1) 、 A2 A6 ? 1440 4 3 (2) A4 A5 ? 1440

(5 分)

(5 分) (5 分)

7 6 5 (3) A7 ? 2 A6 ? A5 ? 3720

提示:只要答案正确 就得全分 20.解: 解如图所示,以 D 为原点,DA、 角坐标系 D—xyz. ∴D(0,0,0) ,A(2,0,0) ,B(2, 2,0) ,C(0,2,0) ,A1(2,0,4) , B1(2,2,4) ,C1(0,2,4) , D1(0,0,4). 设 E 点坐标为(0,2,t) , ??? ? ???? 则 BE =( -2,0,t) ,B C=(-2,0,-4).(2 分) 1 ∵BE⊥B1C, ??? ? ???? ∴· =4+0-4t=0.∴t=1,故 CE=1.(5 分) BE B 1C (2)证明由(1)得,E(0,2,1) , =(-2, 0,1) , ??? ? ???? 又 AC =(-2,2,-4) ,= (2,2,0) , DB 1 ??? ? ???? ∴· =4+0-4=0, BE AC 1 ??? ? ???? 且· =-4+4+0=0. ( DB AC ?2 分) 1 ??? ? ???? ??? ???? BE ∴⊥且⊥,即 A1C⊥ DB,A1C⊥BE, 1 DB AC AC 1 又∵DB∩BE=B,∴A1C⊥平面 BDE. 即 A1C⊥平面???? BED.(5 分) AC (3)由(2)知 =(-2,2,-4)是平面 1
6

DC、DD1 所在直线分别为 x、y、z 轴建

立空间直

BDE 的一个法向量.又 A B =(0,2,-4), 1

????

???? ???? ???? ???? A1C ? A1B 30 ???? ? ∴cos〈AC , A B 〉= ???? . 1 1 6 | A1C | | A1B | 30 ∴A1B 与平面 BDE 所成角的正弦值为 . (5 分) 6 21.解:
(1)证明 连结 A1C,交 AC1 于点 O,连结 OD. 由 ABC-A1B1C1 是直三棱柱, 得四边形 ACC1A1 为矩形, O 为 A1C 的中点. 又 D 为 BC 的中点, 所以 OD 为△A1BC 的中位线, 所以 A1B∥OD. 因为 OD? 平面 ADC1,A1B?平面 ADC1, 所以 A1B∥平面 ADC1.(5 分) (2)解 由 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,且∠ABC=90°,得 BA,BC,BB1 两两垂直. 以 BC,BA,BB1 所在直线分别为 x,y,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 B-xyz. 设 BA=2,则 B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,1),D(1,0,0), → → 所以AD=( 1,-2,0),AC1=(2,-2,1). → ? ?n·AD=0, 设平面 ADC1 的法向量为 n=(x,y,z),则有? → ? ?n·AC1=0.
?x-2y=0, ? 所以? ? ?2x-2y+z=0.

取 y=1,得 n=(2,1,-2). (2 分)

易知平面 ADC 的一个法向量为 v=(0,0,1).

n·v 2 所以 cos〈n,v〉= =- . |n|·|v| 3
因为二面角 C1-AD-C 是锐 二面角, 2 所以二面角 C1-AD-C 的余弦值为 .(5 分) 3 (3)解 假设存在满足条件的点 E. 因为点 E 在线段 A1B1 上,A1(0,2,1),B1(0,0,1),故可设 E(0,λ ,1),其中 0≤λ ≤2. → → 所以AE=(0,λ -2,1),DC1=(1,0,1). 因为 AE 与 DC1 成 60°角,
7

→ → |AE·DC1| 1 → → 所以|cos〈AE,DC1〉|= = , → → 2 |AE|·|DC1| 即 1 = ,解得 λ =1 或 λ =3(舍去). ?λ -2? +1· 2 2
2

1

所以当点 E 为线段 A1B1 的中点时,AE 与 DC1 成 60°角. (5 分) 22、 方法一 用综合法 a b a a+b b-a b-b a + - a- b= (1)证 明

a ab 2 ?a-b?? a- b? ? a- b? ? a+ b? = = >0, ab ab a b ∴ + > a+ b.(7 分) b a
方法二 用分析法

b

a b + > a+ b, b a a2 b2 只要证 + +2 ab>a+b+2 ab, b a
要证 即要证 a +b >a b+ab , 只需证(a+b)(a -ab+b )>ab(a+b), 即需证 a -ab+b >ab, 只需证(a-b) >0, 因为 a≠b,所以(a-b) >0 恒成立, 所以
2 2 2 2 2 2 3 3 2 2

a b + > a+ b成立. (7 分) b a

(2)证明(1)当 m=1 时,原不等式成立; 当 m=2 时,左边=1+2x+x ,右边=1+2x, 因为 x ≥0,所以左边≥右边,原不等式成立; (2 分) (2)假设当 m=k(k≥1,k∈N )时,不等式成立, 即(1+x) ≥1+kx,则当 m=k+1 时, ∵x>-1,∴1+x>0. 于是在不等式(1+x) ≥1+kx 两边同时乘以 1+x 得 (1+x) · (1+x)≥(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx
k 2 k k * 2 2

8

≥1+(k+1)x. 所以(1+x) ≥1+(k+1)x, 即当 m=k+1 时,不等式也成立. 综合(1) (2)知,对一切正整数 m,不等式都 成立.(8 分)
k+1

23、 (1)当 n=1 时,a1+S1=2a1=2,则 a1=1.(2 分) 又 an+Sn=2,所以 an+1+Sn+1=2, 1 两式相减得 an+1= an, (5 分) 2 1 所以{an}是首项为 1,公比为 的等比数列, 2 1 所以 an= n-1.(7 分) 2 (2)反证法:假设存在三项按原来顺序成等差数列, 1 1 1 * 记为 ap+1,aq+1,ar+1(p<q<r,且 p,q,r∈N ),则 2· q= p+ r, 2 2 2 所以 2·2 =2 +1.(*)(3 分) * * 又因为 p<q<r,且 p,q,r∈N ,所以 r-q,r-p∈N .(6 分) 所以(*)式左边是偶数,右边是奇数,等式不成立. 所以假设不成立,原命 题得证(9 分) 24.(1) f ? ? x ? ? 2xex?1 ? x2ex?1 ? x2 ? 2x ? x ? x ? 2? ex?1 ? 1 , 令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? ?2 或 x ? 0 或 x ? 1 , 易知当 x ? ? ?2,0? 与 x ? ?1, ??? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? ??, ?2 ? 与 x ? ? 0,1? 时, f ? ? x ? ? 0 , 所以函数 y ? f ? x ? 的单调增区间为 ? ?2,0? 和 ?1, ?? ? ,减 区间为 ? ??, ?2? 和 ? 0,1? . (7 分) (2)设 gn ? x ? ? e x ?1 ?
r-q r-p

?

?

xn ? x ? 1? . n!

当 n ? 1 时,只需证明当 x ? 1 时, g1 ? x ? ? ex ?1 ? x ? 0 , 由 g1? ? x ? ? ex?1 ? 1 ? 0 ,得 g1 ? x ? 在 ?1, ?? ? 上为增函数, 所以 g1 ? x ? ? g1 ?1? ? 0 ,原不等式成立. (3 分)
9

假设当 n ? k k ≥1, k ? N* 时,不等式成立,即当 x ? 1 时, gk ? x ? ? ex ?1 ? 则当 n ? k ? 1 时,因为 g k ?1 ? x ? ? e x ?1 ?
? ?1 ? x ? ? e x ?1 ? gk

?

?

xk ?0, k!

x k ?1 ,所以 ? k ? 1?!

? k ? 1? xk ? k ? 1?!

? e x ?1 ?

xk ? 0, k!
1 ?0, (8 分) ? k ? 1?!

即 gk ?1 ? x ? 在 ?1, ?? ? 上为增函数,所以 g k ?1 ? x ? ? g k ?1 ?1? ? 1 ? 所以当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 综上可知,当 x ? ?1, ??? 时,对 ?n ? N* , e x ?1 ?

xn 成立. (9 分) n!

10


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