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北师大版走向高考数学专题整合(统计、统计案例)


走向高考· 数学
北师大版 ·高考一轮总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第十章

统计、统计案 例

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关于抽样方法的问题

抽 样 方 法 的 本 质 就 是 研 究 如 何 从 总 体 中 抽 取 样 本 , 使 所 抽 取 的 样 本 能 够 更 充 分 地 反 映 总 体 的 情 况 . 我 们 学 习 了 三 种 抽 样 方 法 , 即 简 单 随 机 抽 样 、 系 统 抽 样 、 分 层 抽 样 .

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为 了 考 查 某 校 的 教 学 水 平 , 将 抽 查 这 个 学 校 高 三 年 级 的 部 分 学 生 本 年 度 的 考 试 成 绩 . 为 了 全 面 反 映 实 际 情 况 , 采 取 以 下 三 种 方 式 进 行 抽 查 (已 知 该 校 高 三 年 级 共 有 20 个 班 ,

并 且 每 个 班 内 的 学 生 已 经 按 随 机 方 式 编 好 了 学 号 , 假 定 该 校 每 班 学 生 的 人 数 相 同 班 , 再 从 该 班 中 任 意 抽 取 ②每 个 班 抽 取 1人 , 共 计 ): ①从 高 三 年 级 20 个 班 中 任 意 抽 取 一 个

20 名 学 生 , 考 察 他 们 的 学 习 成 绩 ; 20 人 , 考 察 这 20 名 学 生 的 成 绩 ;

③把 学 生 按 成 绩 分 成 优 秀 、 良 好 、 普 通 三 个 级 别 , 从 其 中 共

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抽 取 1 0 0 名 学 生 进 行 考 察 成 绩 分 , 其 中 优 秀 生 共

(已 知 该 校 高 三 学 生 共 1 5 0 人 , 良 好 生 共

1 0 0 0

人 , 若 按

6 0 0 人 , 普 通 生 共

2 5 0 人). 根 据 上 面 的 叙 述 , 试 回 答 下 列 问 题 : ( 1 ) 上 面 三 种 抽 取 方 式 的 总 体 、 个 体 、 样 本 分 别 是 什 么 ? 每 一 种 抽 取 方 式 抽 取 的 样 本 中 , 样 本 容 量 分 别 是 多 少 ? ( 2 ) 上 面 三 种 抽 取 方 式 各 自 采 用 的 是 何 种 抽 取 样 本 的 方 法 ? ( 3 ) 试 分 别 写 出 上 面 三 种 抽 取 方 式 各 自 抽 取 样 本 的 步 骤 .

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[ 思考分析]

本 题 主 要 考 查 基 本 概 念 和 三 种 抽 样 方 法 的

联 系 与 区 别 , 准 确 把 握 三 种 抽 样 方 法 的 概 念 与 特 点 是 解 此 题 的 关 键 ; 另 外 要 注 意 叙 述 的 完 整 性 和 条 理 性 .

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[规 范 解 答 ]

( 1 ) 这 三 种 抽 取 方 式 的 总 体 都 是 指 该 校 高 三

全 体 学 生 本 年 度 的 考 试 成 绩 , 个 体 都 是 指 高 三 年 级 每 个 学 生 本 年 度 的 考 试 成 绩 . 其 中 第 一 种 抽 取 方 式 的 样 本 为 所 抽 取 的 20 名 学 生 本 年 度 的 考 试 成 绩 , 样 本 容 量 为 式 的 样 本 为 所 抽 取 的 20; 第 二 种 抽 取 方

20 名 学 生 本 年 度 的 考 试 成 绩 , 样 本 容 量 100 名 学 生 本 年 度

为 20; 第 三 种 抽 取 方 式 的 样 本 为 所 抽 取 的 的 考 试 成 绩 , 样 本 容 量 为 100.

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( 2 ) 三 种 抽 取 方 式 中 , 第 一 种 采 用 的 是 简 单 随 机 抽 样 法 ; 第 二 种 采 用 的 是 系 统 抽 样 法 和 简 单 随 机 抽 样 法 ; 第 三 种 采 用 的是分层抽样法和简单随机抽样法. ( 3 ) 第一种方式抽样的步骤:第一步,用抽签法在这 2 0 个 班 中 任 意 抽 取 一 个 班 ; 第 二 步 , 从 这 个 班 中 按 学 号 用 随 机 数 表法或抽签法抽取 2 0 名学生,考察其考试成绩. 第二种方式抽样的步骤如下:第一步,用简单随机抽样 法从第一个班中任意抽取一名学生,记其学号为 a,第二步, 在其余的 1 9 个 班 中 , 选 取 学 号 为 的一名学生,共计 2 0 人.
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a的 学 生 , 加 上 第 一 个 班 中

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第三种方式抽样的步骤如下:第一步,分层.因为若按 成绩分,其中优秀生共 1 5 0 人,良好生共 6 0 0 人,普通生共 2 5 0 人,所以在抽取样本时,应该把全体学生分成三个层次; 第 二 步 , 确 定 各 个 层 次 抽 取 的 人 数 . 因 为 样 本 容 量 与 总 体 的 个数之比为 1 0 0 ?1 0 0 0 =1?1 0 ,所以在每个层次中抽取的个 1 5 0 6 0 0 2 5 0 体数依次为 , , ,即 1 5 6 ,0 2 ,5 1 0 1 0 1 0 别 抽 取 . 在 优 秀 生 中 用 简 单 随 机 抽 样 法 抽 ;第三步,按层次分 1 5 人; 在 良 好 生 中

用简单随机抽法抽取 6 0 人 ; 在 普 通 生 中 用 简 单 随 机 抽 样 法 抽 取2 5 人.
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[ 方法总结]

选 择 合 适 的 抽 样 方 法 的 关 键 在 于 明 确 这 三

种 抽 样 方 法 各 自 的 特 点 . 一 般 地 , 当 总 体 容 量 较 少 , 并 且 样 本 容 量 也 较 少 , 而 且 能 够 “搅拌均匀”时 , 则 选 用 简 单 随 机

抽 样 方 法 抽 样 ; 当 总 体 容 量 较 大 , 样 本 容 量 也 较 大 , 并 且 总 体 的 排 列 不 存 在 明 显 的 周 期 性 和 事 先 排 好 序 时 , 则 采 用 系 统 抽 样 方 法 抽 样 ; 当 总 体 由 差 异 明 显 的 几 部 分 组 成 时 , 则 选 用 分 层 抽 样 方 法 抽 样 , 并 且 当 层 内 个 体 差 异 较 小 时 , 则 在 层 内 抽 样 , 一 般 选 用 简 单 随 机 抽 样 或 系 统 抽 样 方 法 抽 样 .

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关于用样本估计总体的问题

用 样 本 估 计 总 体 , 主 要 包 括 用 样 本 的 频 率 分 布 估 计 总 体 的 分 布 , 用 样 本 的 数 字 特 征 去 估 计 总 体 的 数 字 特 征 两 部 分 内 容 , 这 两 部 分 是 从 不 同 角 度 对 收 集 到 的 样 本 数 据 进 行 加 工 、 整 理 , 并 分 析 、 判 断 样 本 数 据 的 分 布 状 况 和 数 字 特 征 , 进 而 对 总 体 进 行 估 计 .

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甲 、 乙 两 名 战 士 在 相 同 条 件 下 各 射 靶 次 命 中 的 环 数 分 别 是 : 甲 : 8,6,7,8,6,5,9,10,4,7 乙 : 6,7,7,8,6,7,8,7,9,5 ( 1 ) 分 别计 算 以 上 两 组 数 据 的 平 均 数 ; ( 2 ) 分 别 求 出 两 组 数 据 的 方 差 ; ( 3 ) 根 据 计 算 结 果 , 估 计 一 下 两 名 战 士 的 射 击 情 况 . [思 考 分 析 ] 利 用 平 均 数 和 方 差 的 计 算 公 式 求 解 .

10 次 , 每

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[规 范 解 答 ] +7)=7

1 - ( 1 ) x 甲= (8+6+ 7+8+6+5+9+10 +4 10

1 - x 乙= (6+7+7+8+6+7+8+7+9+5)=7. 10 1 -2 -2 ( 2 ) 由方差公式: s = n [(x1 - x ) + (x2 - x ) + ? + (xn -
2

-2 2 x ) ]得 s2 甲=3.0,s乙=1.2. - - ( 3 ) x 甲= x 乙, 说 明 甲 、 乙 两 战 士 的 平 均 水 平 相 当 .
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2 又 因 为 s2 说 明 甲 战 士 射 击 情 况 波 动 大 . 因 此 乙 战 士 甲>s乙,

比 甲 战 士 射 击 情 况 稳 定 .

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[方 法 总 结 ] 平 均 数 和 方 差

都 是 重 要 的 数 字 特 征 , 是 对 总

体 一 种 简 明 的 阐 述 . 平 均 数 、 中 位 数 、 众 数 描 述 总 体 的 集 中 趋 势 , 方 差 和 标 准 描 述 波 动 大 小 .

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频率分布直方图的问题

在 育 民 中 学 举 行 的 电 脑 知 识 竞 赛 中 , 将 九 年 级 两 个 班 参 赛 的 学 生 成 绩 (得 分 均 为 整 数 )进 行 整 理 后 分 成 五 组 , 绘

制 如 图 所 示 的 频 率 分 布 直 方 图 . 已 知 图 中 从 左 到 右 的 第 一 、 第 三 、 第 四 、 第 五 小 组 的 频 率 分 别 是 组 的 频 数 是 4 0 . 0 3 .0 0 ,1 .5 0 ,1 .0 0 ,0 .5 , 第 二 小

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( 1 ) 求第二小组的频率,并补全这个频率分布直方图; ( 2 ) 求这两个班参赛的学生人数是多少? ( 3 ) 这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组 内?
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[规 范 解 答 ]

( 1 ) ∵各 小 组 的 频 率 之 和 为

1.00, 第 一 、 三 、

四 、 五 小 组 的 频 率 分 布 别 是 ∴第 二 小 组 的 频 率 为 : 1.00-( 0 3 .0

0.30,0.15,0.10,0.05.

+0.15+0.10+0.05)=0.40. 频 率 = 组 距

∴落 在 59.5~69.5 的 第 二 小 组 的 小 长 方 形 的 高 = 0.40 =0.04, 则 补 全 的 频 率 分 布 直 方 图 如 图 所 示 . 10

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( 2 ) 设 九 年 级 两 个 班 参 赛 的 学 生 人 数 为

x人 .

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∵第 二 小 组 的 频 数 为

40 人 , 频 率 为

0.40,

40 ∴ x =0.40, 解 得 x=100. 所 以 这 两 个 班 参 赛 的 学 生 人 数 为 ( 3 ) 因 为 0.3×1 0 0 =3 0 0 ,4 . 0.10×100=10,0.05×100=5, 即 第 一 、 第 二 、 第 三 、 第 四 、 第 五 小 组 的 频 数 分 别 为 30,40,15,10,5, 所 以 九 年 级 两 个 班 参 赛 学 生 的 成 绩 的 中 位 数 应 落 在 第 二 小 组 内 . 100 人 . ×100 = 40,0.15×100 = 15 ,

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[方 法 总 结 ] 用 频 率 分 布 直 方 图 解 决 相 关 问 题 时 , 应 正 确 理 解 图 表 中 各 个 量 的 意 义 , 识 图 掌 握 信 息 是 解 决 该 类 问 题 的 关 键 . 频 率 分 布 直 方 图 有 以 下 几 个 要 点 : ( 1 ) 纵 轴 表 示 频 率 /组

距 ;( 2 ) 频 率 分 布 直 方 图 中 各 长 方 形 高 的 比 也 就 是 其 频 率 之 比 ; ( 3 ) 直方图中每一个矩形的面积是样本数据落在这个区间上的 频 率 , 所 有 的 小 矩 形 的 面 积 之 和 等 于 1, 即 频 率 之 和 为 1.

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关于独立性检验的问题

独 立 性 检 验 的 基 本 思 想 类 似 于 反 证 法 . 要 确 认 变量 有 关 系 ”这 一 结 论 成 立 的 可 信 程 度 , 首 先 假 设 该 结 论 不 成 立 , 即 假 设 结 论 构 造 的 随 机 变 量 的 观 测 值 “两 个 分 类 变 量 没 有 关 系

“两 个 分 类

”成 立 , 在 该 假 设 下 χ2

χ2 应 该 很 小 . 如 果 由 观 测 数 据 计 算 得 到 的

k很 大 , 则 在 一 定 程 度 上 说 明 假 设 不 合 理 . 根 据 随 机 k≥k0 解 释 为 在 犯 错 误 的 概 率 不 超 过 “两 个 分 类 变 量 的 有 关 系 ”.

变 量 χ2 的 含 义 , 我 们 把 P(χ2≥k0)的 前 提 下 认 为

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电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体 育节目的收视情况,随机抽取了 1 0 0 是 根 据 调 查 结 果 绘 制 的 观 众 日 均 收 看 分布直方图: 名观众进行调查,下面 该 体 育 节 目 时 间 的 频 率

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将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为 “体育迷”. 根据已知条件完成下面的 2×2 列 联 表 , 并 据 此 资 料 你 是 否认为“体育迷”与性别有关? 非体育迷 男 女 合计 10 55 体育迷 合计

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2 n ? ad - bc ? 附 : χ2= . ?a+b??c+d??a+c??b+d?

[思 路 分 析 ] 先 利 用 频 率 分 布 直 方 图 计 算 出 相 关 的 数 据 , 再 利 用 独 立 性 检 验 作 出 判 断 .

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[规范解答] 由 频 率 分 布 直 方 图 可 知 , 在 抽 取 的 “体 育 迷 ”有( 0 0 .2 0 2×2 列联表如下: 非体育迷 男 女 合计 30 45 75 体育迷 15 10 25 合计 45 55 100

100 人中,

+ 0.005)×10×100 = 25( 人 ) , 从 而 完 成

将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得

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2 n ? ad - bc ? χ2= ?a+b??c+d??a+c??b+d?

100×?30×10-45×15?2 = 75×25×45×55 100 = 33 ≈3.030. 因 为 3 0 .3 0 > 2 7 .0 6 性 别 有 关 . , 所 以 有 90%的 把 握 认 为 “体 育 迷 ”与

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关于回归分析的问题

回 归 分 析 是 对 具 有 相 关 关 系 的 两 个 变 量 进 行 统 计 分 析 的 常 用 方 法 , 采 用 回 归 分 析 思 想 解 决 实 际 问 题 的 基 本 步 骤 如 下 : ①明 确 对 象 , 即 在 两 个 变 量 中 , 确 定 哪 个 变 量 是 是 y;②画 散 点 图 ; x, 哪 个 变 量

③选 择 模 型 , 即 通 过 观 察 、 分 析 散 点 图 确

定 回 归 方 程 的 类 型 , 如 果 观 察 到 数 据 呈 线 性 相 关 , 则 选 用 线 性 回归方程 y=b x +a;④估算方程 , 即 按 一 定 的 规 则 估 计 回 归 方 程 的 参 数 , 如 最 小 二 乘 法 原 理 .

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想 象 一 下 一 个 人 从 出 生 到 死 亡 , 在 每 个 生 日 都 测 量 身 高 , 并 作 出 这 些 数 据 散 点 图 , 这 些 点 将 不 会 落 在 一 条 直 线 上 , 但 在 一 段 时 间 内 的 身 高 数 据 有 时 可 以 用 线 性 回 归 分 析 , 下 表 是 一 位 母 亲 给 儿 子 作 的 成 长 记 录 : 年 龄 /周 岁 身 高c /m 年 龄 /周 岁 身 高c /m 3 9 0 8 . 1 0 1 3 4 2 . 4 9 7 6 . 11 1 4 0 8 . 5 1 0 4 2 . 1 2 1 4 7 6 . 6 1 1 0 9 . 1 3 1 5 4 2 . 7 1 1 5 6 . 1 4 1 6 0 9 . 8 1 2 2 0 . 1 5 1 6 7 5 . 9 1 2 8 5 . 1 6 1 7 3 0 .

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( 1 ) 求 出 年 龄 和 身 高 之 间 的 线 性 回 归 直 线 方 程 ; ( 2 ) 如 果 年 龄 相 差 ( 3 ) 如 果 身 高 相 差 5岁 , 则 身 高 有 多 大 差 异 2 0 c m , 其 年 龄 相 差 多 少 (3~16 岁 之 间 )? (3~16 岁 之 间 )?

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[规 范 解 答 ] y=bx+a,
n

( 1 ) 设 年 龄 x与 身 高 y之 间 的 回 归 直 线 方 程 为

∑ 由 公 式 b=
i=1 n

xiyi-n x y
2 x2 i -n x

=6.314,



i=1

a= y -b x =72, 所 以 y=6.314x+72.

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( 2 ) 如 果 年 龄 相 差 即 身 高 相 差 约 ( 3 ) 如 果 身 高 相 差

5岁 , 则 预 报 变 量 变 化 3 1 6 .c m . 2 0 c m , 年 龄 相 差

6.314×5=31.57.

20 Δx=6.314=3.168≈3(岁).

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