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2017高考数学数列的求和测试


专题考案(2)数列板块 第 3 课 数列的求和
(时间:90 分钟 满分:100 分) 题型示例 已知 y=f(x) 是一次函数,且 f(2),f(5),f(4) 成等比数列, f(8)=15, 求 Sn=f(1)+f(2)+ ? +f(n)(n∈N*)的表达式. 分析 要求和,关键要先求出 f(n). 解 由 y=f(x)是一次函数可设 f(x)=ax+b,则 f(2

)=2a+b,f(5)=5a+b,f(4)=4a+b, ∵f(2),f(5),f(4)成等比数列,∴(5a+b)2=(2a+b)(4a+b). ∴17a2+4ab=0,又∵a≠0. ∴a=-

4 b 17



又∵f(8)=15,∴8a+b=15 ② 联立方程①、②解得 a=4,b=-17,∴f(x)=4x-17. ∴f(1),f(2),?,f(n)可看作是首项为-13,公差为 4 的等差数列. 由等差数列前 n 项和公式可求得 Sn=-13n+

n(n ? 1) 2 ×4=2n -15n. 2

点评 此题渗透了函数思想,解题时要注意知识的横向与纵向之间的联系. 一、选择题(9×3′=27′) 1.数列{an}是等差数列的一个充要条件是 ( 2 2 2 A.Sn=an+b B.Sn=an +bn+c C.Sn=an +bn(a≠0) D.Sn=an +bn 2.设 m=1×2+2×3+3×4+?+(n-1)·n,则 m 等于 (
2

) )

n ( n ? 1) 1 1 1 B. n(n+4) C. n(n+5) D. n(n+7) 3 2 2 2 n-1 3.若 Sn=1-2+3-4+?+(-1) ·n,则 S17+S33+S50 等于 ( ) A.1 B.-1 C.0 D.2 4.阅读下列文字,然后回答问题:对于任意实数 x,符号[x]表示 x 的整数部分,即[x]是不 超过 x 的最大整数.函数[x]叫做“取整函数”,也叫高斯函数.它具有以下性质:x-1<[x] ≤x<[x+1].请回答:[log21]+[log22]+[log23]+?+[log21024]的值是( ) A.1024 B.8202 C.8204 D.9216 5.设{an}为等比数列,{bn}为等差数列,且 b1=0,cn=an+bn,若数列{cn}是 1,1,2,?,则{cn}的前 10 项和为 ( ) A.978 B.557 C.467 D.979 2 2 2 2 2 2 6.100 -99 +98 -97 +?+2 -1 的值是 ( ) A.5000 B.5050 C.10100 D.20200 7.若等比数列{an}的前 n 项和 Sn=2n+r,则 r 的值是 ( ) A.2 B.1 C.0 D.-1 1 1 1 8.已知 S=1+ 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ? ,那么 S 的范围是 ( ) 2 3 n
A.

A.(1,

3 ) 2

B.(

3 ,2) 2

C.(2,5)

D.(5,+∞)

1 1 ? ? ? ? 9.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=a ?2 ? ( ) n ?1 ? ? b ?2 ? (n ? 1)( ) n ?1 ? (n=1,2,?),其中 a,b 是非零 2 2 ? ? ? ?
常数,则存在数列{xn}、{yn}使得 ( A.an=xn+yn,其中{xn}为等差数列,{yn}为等比数列 B.an=xn+yn,其中{xn}和{yn}都为等差数列 C.an=xn·yn,其中{xn}为等差数列,{yn}为等比数列 D.an=xn·yn,其中{xn}和{yn}都为等比数列 二、填空题(4×3′=12′) 10.一个有 2001 项且各项非零的等差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为 2 2 2 3 2 11.若 1 +2 +?+(n-1) =an +bn +cn,则 a= ,b= ,c= 2 12.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n -4n+1,则|a1|+|a2|+?+|a10|= . 13.数列 , , )

. .

3 9 25 65 161 , , , ?的前 n 项和 Sn= 2 4 8 16 32

.

三、解答题(9′+3×10′+12′+10′=61′) 14.求和:1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+?+(n-1)·2+n·1. 15.求和:Sn=

1 4 9 n2 . ? ? ??? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1)( 2n ? 1)
2

16. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=10n-n (n∈N);数列{bn}的通项 bn=|an|,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 17.数列{an}中,a1=a,前 n 项和 Sn 构成公比为 q 的等比数列.(q≠1) (1)求证在{an}中,从第 2 项开始成等比数列;

1 时,设 bn=log2|an|,求|b1|+|b2|+?+|bn|. 2 n 18.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn=2an+(-1) ,n≥1. 2 n (1)求证数列{an+ (-1) }是等比数列; 3 (2)求数列{an}的通项公式;
(2)当 a=2 ,q=
50

(3)证明:对任意的整数 m>4,有

1 1 1 7 ? ??? ? . a 4 a5 am 8

19.求包含在正整数 m 与 n 间(m<n)的分母为 3 的所有不可约分数之和.

参考答案
1.D Sn=na1+
2

n(n ? 1)d d 2 d ? n +(a1- )n,d 可以为 0,对照知选 D. 2 2 2

2.A an=n -n. ?n ?1 ? 2 (n为奇) ? 3.A Sn= ? ?? n (n为偶) ? ? 2

?0,1 ? N ? 2 ? 2 ?1,2 ? N ? 2 ?2,2 2 ? N ? 2 3 ? 2 3 2 10 9 10 9 8 4.C[log2N]= ? 故原式=0+1·(2 -2)+2·(2 -2 )+?+9·(2 -2 )+10=9·2 -(2 +2 +? ?? ?9,2 9 ? N ? 210 ? 10 ? ?10, N ? 2
+2)+10=8204,故选 C.

?q ? d ? 1 5.A 由题意可得 a1=1,设公比为 q,公差为 d,则 ? 2 ?q ? 2d ? 2
∴q -2q=0,∵q≠0,∴q=2,∴an=2 ,bn=(n-1)(-1)=1-n,∴cn=2 +1-n,∴Sn=978. 6.B 并项求和,每两项合并,原式=(100+99)+(98+97)+?+(2+1)=5050. n 7.D r 等于 2 系数 1 的相反数-1,选 D.
2

n-1

n-1

8.B

1 1 1 3 1 ? ?S ? 1 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? n(n ? 1) ? 2 ? n ? 1 3 1 1 ? ? ? ?S ?2? . ? 1 1 2 n ?1 n ?S ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? ?2? ? 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) n ?

9.C 由 an=Sn-Sn-1=a[2-(

1 n-1 1 n-1 1 n-2 1 n-2 ) ]-b[2-(n+1)( ) ]-a[2-( ) ]+b[2-n·( ) ] 2 2 2 2 1 n-1 1 n-2 1 n-1 1 n-2 1 n-2 1 =-( ) a+a · ( ) +b(n+1) · ( ) -bn( ) =a · ( ) [ -( )+1 ] 2 2 2 2 2 2

1 n-2 1 1 n-1 1 n-1 1 n-1 ) ( -1)+b( ) =(a+b)·( ) -bn( ) 2 2 2 2 2 1 n-1 1 1 n-2 =[a+b(1-n)]( ) =[a-(n-1)b]·[ ·( ) ] 2 2 2 1 0 1 0 而 a1=S1=a[2-( ) ]-b[2-2·( ) ]=a,因此也适合上式. 2 2 1 1 n-2 ∴xn=a-(n-1)b,yn= ( ) .选 C. 2 2 1001 10. 设此数列{an},其中间项为 a1001, 1000 则 S 奇=a1+a3+a5+?+a2001=1001·a1001,S 偶=a2+a4+a6+?+a2000=1000a1001. (n ? 1)n ? (2n ? 1) 2n 3 ? 3n 2 ? n 1 1 1 ? . 11. ;? ; 原式= 6 6 3 2 6
+bn( 12.67

?? 2(n ? 1) an ? ? . ?2n ? 5(n ? 2)

13.

n( n ? 1) 1 ? (1 ? n ) 2 2

an=n+

1 . 2n
2

14.解 ak=k·[(n+1)-k]=(n+1)k-k , 2 2 2 ∴Sn=[(n+1)·1-1 ]+[(n+1)·2-2 ]+?+[(n+1)·n-n ] 2 2 2 =(n+1)(1+2+?+n)-(1 +2 +?+n )

n(n ? 1) 1 ? n(n+1)(2n+1) 2 6 n(n ? 1)(n ? 2) = . 6
=(n+1)· 15.解

ak=

k2 k2 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? ? ( ? ), (2k ? 1)( 2k ? 1) 4k ? 1 4 4(2k ? 1)( 2k ? 1) 4 8 2k ? 1 2k ? 1

∴Sn=

n(n ? 1) n 1 1 ? ? (1 ? )? . 4 8 2n ? 1 2(2n ? 1)

16.解 可按如下三个层次进行: (1)由数列{an}的前 n 项和求 an.

?S1 (n ? 1) 由 an= ? 得 an=11-2n(n∈N*) ?S n ? S n ?1 (n ? 2)
(2)由 an 的正负确定{bn}的通项公式. 易知,当 n≤5 时,an>0,则 bn=an;当 n≥6 时,an<0,则 bn=-an

?11 ? 2n(n ? 5) ∴bn= ? ?2n ? 11(n ? 6)
(3)求数列{bn}的前 n 项和 Tn 2 当 n≤5 时,因为 bn=an 所以 Tn=Sn=10n-n ; 2 2 当 n≥6 时,Tn=a1+a2+a3+?+a5-(a6+a7+?+an)=2S5-Sn=50-(10n-n )=n -10n+50.
2 ? ?10n ? n (n ? 5) ∴Tn= ? . 2 ? ?n ? 10n ? 50(n ? 6)

点评 数列{an}与数列{|an|}很多题目都有涉及,关键是把握两者的实质联系,我们分了三个 步骤以方便同学们理清思路. n-1 n-2 17.(1)证明 由已知 S1=a1=a,Sn=aq ,∴Sn-1=aq , n-2 ∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=a(q-1)q . ∵

a n ?1 an

=q,∴{an}是当 n≥2 时公比为 q 的等比数列.

(2)解

?a(a ? 1). a2=S2-S1=a(q-1),∴an= ? . n?2 ?a(q ? 1)q (n ? 2)
50

∴当 a=2 ,q=

1 1 n-2 50 1 时,b1=log2|a|=50,当 n≥2 时,bn=log2|an|=log2|2 ( -1)( ) |=51-n. 2 2 2

∴bn=51-n(n∈N). ① 当 1 ≤ n ≤ 51 时 , |b1|+|b2|+ ? +|bn|=(51-1)+(51-2)+ ? +(51-n)=51n-(1+2+ ?

n(n ? 1) n(101 ? n) ? . 2 2 ② 当 n ≥ 52 时 , |b1|+|b2|+ ? +|bn|=(50+49+48+ ? +1)+ [ 1+2+3+ ? +(n-51) ] 50 ? 51 (n ? 51)(n ? 50) n(n ? 101) = ? ? 2 2 2 n n-1 18.(1)证明 由已知得 an=Sn-Sn-1=2an+(-1) -2an-1-(-1) (n≥2), n-1 化简得 an=2an-1+2(-1) (n≥2), 2 2 2 1 n n-1 上式可化为 an+ (-1) =2[an-1+ (-1) ](n≥2),∵a1=1,∴a1+ (-1)1= . 3 3 3 3 2 1 n 故数列{an+ (-1) }是以 为首项,公比为 2 的等比数列. 3 3 n ?1 2 n 2 (2)解 由(1)可知 an+ (-1) = . 3 3 1 2 n-1 2 n 2 n-2 n n-2 n ∴an= ×2 - (-1) = [2 -(-1) ],故数列{an}的通项公式为 an= [2 -(-1) ]. 3 3 3 3
+n)=51n-

(3)证明

由已知得

1 1 1 ? ??? a 4 a5 am

=

? 3 ?1 1 1 ? 3? 1 1 1 1 1 1 ? 3 ? ? ? m?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? m?2 ? 2 m ? m ? 2 ? 2 ?1 2 ?1 2 ? (?1) ? 2 ? 3 9 15 33 63 2 ? (?1) ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = (1 ? ? ? ? ? ?) ? (1 ? ? ? ? ? ?) 2 3 5 11 21 2 3 5 10 20
1 1 ? ? (1 ? m ?5 ) ? 1 ?4 5 1 4 2 2 1 13 1 1 13 104 105 7 2 = ? ? ? ? ? . ? ? ( ? ? ? m ?5 ) ? ? ? ( ) m ?5 ? 1 2 ?3 2 3 5 5 15 5 2 15 120 120 8 2 ? 1? ? ? 2 ? ?

故 19.解

1 1 1 7 ? ??? ? ( m ? 4) a 4 a5 am 8

方法 1 这些分数是

3m ? 1 3m ? 2 3m ? 4 3m ? 5 3n ? 2 3n ? 1 , , , , ?, , . 3 3 3 3 3 3

显然它既非等比数列也非等差数列,但如果在适当的位置上分别添上

3m 3m ? 3 3n ? 3 3n , , ?, , (?) 3 3 3 3 3m 3m ? 1 3m ? 2 3m ? 3 3n ? 3 3n ? 2 3n ? 1 3n 即成为 , , , , ?, , , , (??) 3 3 3 3 3 3 3 3 1 (**)是一个有 3n-3m+1 项的等差数列,公差为 ,首项是 m,末项是 n, 3 1 其和为 S= (3n-3m+1)(m+n)而(*)是一个有 n-m+1 项的等差数列, 公差为 1,首末项分别为 m,n 2 1 其和 S″= (n-m+1)(m+n). 2 2 2 故适合条件的分数和为 S=S′-S″=n -m . 1 2 2 1 方法 2 设 S=(m+ )+(m+ )+?+(n- )+(n- )注意到与首末两项等距离的两项和相等,于 3 3 3 3
是把上式倒序相加得:2S= (m ? n) ? (m ? n) ? ? ? (m ? n),? S ? n 2 ? m 2 . ?????????????
2( n ? m ) 个


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