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100测评网高一数学复习第1章 立体几何初步


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必修 2 第 1 章 立体几何初步 §1.2.3 直线与平面的位置关系 重难点:了解直线与平面的位置关系,在判定和证明直线与平面的位置关系时,除了能熟练运用判定定理和 性质定理外,还要充分利用定义;线面关系的判定和证明,要注意线线关系、线面关系的转化. 经典例题:直角 ? A

BC 所在平面外一点 S,且 SA=SB=SC. ⑴求证:点 S 与斜边中点 D 的 连线 SD ? 面 ABC; ⑵若直角边 BA=BC,求证:BD ? 面 SAC.
B S

A

D

C

当堂练习: 1.下面命题正确的是 ( ) A.若直线与平面不相交,则这条直线与这个平面没有公共点 B.若直线与平面不相交,则这条直线与这个平面内的任何一条直线没有公共点 C.若一条直线与一个平面有公共点,直线与这相交 D.直线在平面外,则直线与平面相交或平行 2.直线 b 是平面 ? 外的一条直线,下列条件中可得出 b|| ? 的是( A.b 与 ? 内的一条直线不相交 C.b 与 ? 内的无数条直线不相交 ) B.b 与 ? 内的两条直线不相交

D.b 与 ? 内的所有直线不相交

3.下列命题正确的个数是( ) ①若直线 ? 上有无数个点不在平面 ? 内, 则 ? || ? ; ②若直线 ? 与平面 ? 平行, 则 ? 与平面 ? 内有任意 一条直线都平行; ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行, 那么另一条直线也与这个平面平行; ④若直线 ? 与平面 ? 平行, 则 ? 与平面 ? 内的任意一条直线都没有公共点. A.0 个 B. 1 个 ) C. 2 个 D.3 个 4.下无命题中正确的是(

①过一点, 一定存在和两条异面直线都平行的平面; ②垂直于同一条直线的一条直线和一个平面平行 ; ③ 若两条直线没有公共点, 则过其中一条直线一定有一个平面与另一条直线平行. A. ① B. ③ C. ①③ B. D. D. ①②③ ) 5.直线 a,b 是异面直线,A 是不在 a,b 上的点,则下列结论成立的是( A. 过 A 有且只有一个平面平行于 a,b C. 过 A 有无数个平面平行于 a,b

过 A 至少有一个平面平行于 a,b 过 A 且平行于 a,b 的平面可能不存在 )

6. 直线 a,b 是异面直线,则下列结论成立的是(

A. 过不在 a,b 上的任意一点,可作一个平面与 a,b 平行 B. 过不在 a,b 上的任意一点,可作一条直线与 a,b 相交 C. 过不在 a,b 上的任意一点,可作一条直线与 a,b 都平行 D. 过 a 可以并且只可以作一个平面与 b 平行 7.下面条件中, 能判定直线 ? ? 平面 ? 的一个是( A. ? 与平面 ? 内的两条直线垂直 C. ? 与平面 ? 内的某一条直线垂直 ) B. ? 与平面 ? 内的无数条直线垂直 D. ? 与平面 ? 内的任意一条直线垂直

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8.空间四边形 ABCD 中, AC=AD, BC=BD, 则 AB 与 CD 所成的角为( A. 30
0

) D. 90
0

B. 45

0

C. 60

0

9.如果直线 ? 与平面 ? 不垂直, 那么在平面 ? 内( A. 不存在与 ? 垂直的直线 C. 存在无数条与 ? 垂直的直线 面共有( A. 1 个 A. 4 个 ) B. 2 个 B. 3 个 C. 3 个 C. 2 个



B. 存在一条与 ? 垂直的直线 D. 任意一条都与 ? 垂直

10.定点 P 不在 ? ABC 所在平面内, 过 P 作平面 ? , 使 ? ABC 的三个顶点到平面 ? 的距离相等, 这样的平 D. 4 个 ) D. 1 个
S G F D G3

11. ? ABC 所在平面外一点 P, 分别连结 PA、PB、PC, 则这四个三角形中直角三角形最多有( 12.下列四个命题:①过平面外一点存在无数条直线和这个平面垂直;② 若一条直线和平面内的无数多条直线垂直,则这条直线和平面垂直;③仅 当一条直线和平面内两条相交直线垂直且过交点时这条直线才和平面垂 直;④若一条直线平行于一个平面,则和这条直线垂直的直线必和这个平 面垂直. 其中正确的个数是( A.0 B. 1 ) C. 2 D. 3
G1 E

G2

13.如图,在正方形 SG1G2G3 中,E,F 分别是 G1G2,G2G3 的中点,D 是 EF 的 中点,现沿 SE,SF 及 EF 把这个正方形折成一个几何体,使 G1,G2,G3 三点重合于点 G,这样,下列五个结 论:(1)SG ? 平面 EFG;(2)SD ? 平面 EFG;(3)GF ? 平面 SEF;(4)EF ? 平面 GSD;(5)GD ? 平 面 SEF. 正确的是( A.(1)和(3) C.(1)和(4) ) B.(2)和(5) D.(2)和(4)

14.若直线 a 与平面 ? 内的无数条直线平行, 则 a 与 ? 的关系为_____________. 15 . 在 空 间四 边 形 ABCD 中 , M ? AB , N ? AD , 若 __________________. 16. ? ABC 的三个顶点 A、B、C 到平面 ? 的距离分别为 2cm、3cm、4cm ,且它们在平面 ? 的同一侧, 则 ? ABC 的重心到平面 ? 的距离为________________. 17.若空间一点 P 到两两垂直的射线 OA、OB、OC 的距离分别为 a、b、c,则 OP 的值为______________. 18.已知四面体 ABCD 中,M,N 分别是 ?ABC 和?ACD 的重心, 求证:(1)BD||平面 CMN;(2)MN||平面 ABD.
M B E C F N D A

AM MB

?

AN ND

, 则 MN 与 平 面 BDC 的 位 置 关 系是

19.如图,空间四边形 ABCD 被一平面所截,截面 EFGH 是一个矩形, (1)求证:CD||平面 EFGH; (2)求异面直线 AB,CD 所成的角.

A

E F B G C H D

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20.M,N,P 分别为空间四边形 ABCD 的边 AB,BC,CD 上的点,且 AM:MB=CN:NB=CP:PD. 求证:(1)AC||平面 MNP,BD||平面 MNP; (2)平面 MNP 与平面 ACD 的交线||AC.
M A

E

B

D N
D1

21. 如图 O 是正方体下底面 ABCD 中心,B1H?D1O,H 为垂足. 求证:B1H

P C
C1 B1

? 平面 AD C.
1

A1

H D O A B C

§1.2.3 直线与平面的位置关系 经典例题:证明:(1)

? ? D是Rt ?ABC 斜边AC的中点 ? BD ? AD ? ? ? ? SB ? SA? ? ?SDB ? ?SDA? ? ? ? SD ? SD ? ? SD ? BD ? ? ? ? ? SD ? 平面ABC. ? SA ? SC ? ? ? ? ? SD ? AC ? ? D是AC的中点? ? ? ? SD ? AC , BD AC ? D ?
? ? ? ? BD ? AC ? ? (2) D是AC的中点? ? BD ? SD(已证) ? ? BD ? 平面SAC. SD AC ? D ? ? ? ?
当堂练习: 1.D; 2.D; 3.B; 4.B; 5.D; 6.D; 7.D; 8.D; 9.C; 10.D; 11.D; 12.A; 13.C; 14. a|| ? 或 a ? ? ; 15. MN|| 平面 BDC; 16. 3cm; 17.

BA ? BC

a 2 ? b2 ? c 2 2

;

18. 连接 AM,AN,并延长分别交 BC,CD 于点 E,F,连接 EF,由 M,N 分别是 ?ABC 和?ACD 的重心,

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得 E,F 分别是 BC,CD 的中点,则 EF||BD,易证得 BD||平面 CMN;由 MN||平面 ABD. 19. (1)由四边形 EFGH 是矩形可得,EF||GH, 可证得 EF||平面 BCD, 又因 CD 是过 EF 的平面 ACD 与平面 BCD 的交线,则 EF||CD,所以 CD||平面 EFGH. (2)由 CD||平面 EFGH,可证得 CD||GH;同理可证 AB||GF; ? FGH 就是异面直线 AB,CD 所成的角(或 补角),因为 EFGH 是矩形,所以 ? FGH=90 ,则异面直线 AB,CD 所成的角为 90 .
0 0

AM AC

?

AN AF

?

2 3

,得 MN||EF,可证

AM CN ? ? ? MN || AC? MB NB ? 20. 证明: (1) AC ? 平面MNP ? ? AC||平面 MNP, ? MN ? 平面MNP ? ?

CN CP ? ? ? PN || BD? NB PD ? BD ? 平面MNP ? ? BD||平面 MNP. ? PN ? 平面MNP ? ?

设平面MNP ? 平面ACD ? PE? ? (2) AC ? 平面ACD ? ? PE || AC ,即平面 MNP 与平面 ACD 的交线||AC. ? AC || 平面MNP ?
21. 再找一条与 B1H 垂直的直线 AC, 证 AC ? 平面 BB1D1D 即可, 又 AC?OD1=O, 因此 B1H

? 平面 AD1C.

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