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基本初等函数之对数函数


2基本初等函数

2.2对数函数以及反函数

2.2.1对数与对数的运算
对数 一般的,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数X叫做以a为 底N的对数,记做X=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫 做真数。 常用对数 通常我们将以10为底的对数叫做常用对数,并把log10N记 做lgN。另外,在科学技术中尝试用以无理数

e=2.71828... 为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数,并把logeN 记为lnN。 根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系: 当a>0,a≠1时, a x ? N ? x ? log a N

由于指数与对数的这个关系,可以得到关于对数的如下结论 负数和零没有对数,loga1=0,logaa=1
Page ?2

例题分析
? 例:将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式。
(1)54=625; (2)2-6=1/64 (3)(1/3)m=5.73; (4)log1/216=-4

(5)lg0.01=-2;

(6)ln10=2.303

解:(1)log5625=4; (5)10-2=0.01;

(2)log21/64=-6 (6)e2.303=10
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(3)log1/35.37=m; (4)(1/2)-4=16

例题分析
求下列格式中x的值。
(1)log64x=-2/3
(3)lg=100

(2)logx8=6
(4)-lne2=x

解:(1)因为log64x=-2/3,所以, x=64-2/3=(43)-2/3=4-2=1/16 (2)因为logx8=6,所以x6=8.又因为,x>0,所以, 2

x=81/2=(23)1/6=21/2=
(3)因为log100=x,所以10x=100,10x=102; 于是x=2 (4)因为-lne2=x,所以,lne2=-x,e2=e-x, 于是x=-2
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对数的运算
由于 am?an=am+n 设,M=am,N=an,

于是MN=am+n
有对数的定义得到, logaM=m,logaN=n,loga(M?N)=m+n 这样我们得到一个运算性质,loga(M?N)=logaM+logaN 同理可得到以下的对数运算性质

如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么;
(1)loga(M?N)=logaM+logaN (2)logaN/M=logaM-logaN (3)logaMn=nlogaM
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对数的运算例题

1 32 4 lg ? lg 8 ? lg 245 2 49 3
?

,的值。(两种解法)

解法一:原式

1 4 3 1 (5 lg 2 ? 2 lg 7) ? ? lg 2 ? ( 2 lg 7 ? lg 5) 2 3 2 2 5 1 ? lg 2 ? lg 7 ? 2 lg 2 ? lg 7 ? lg 5 2 2 1 1 ? lg 2 ? lg 5 2 2 1 1 1 ? (lg 2 ? lg 5) ? lg 10 ? 2 2 2

? lg

4 7 4

2

? lg 4 ? lg 7 5

5

解法二:原式

? lg ? lg

2 ?7 7?4 2?

5 ? lg

10 ?

1 2

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对数的运算(拓展)
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么由幂的对数的运算性质可得:
? 1 1 (1) log a M ? log a M , log a M n ? ? log a M ; n n m m ? m m n n ( 2) log a M ? log a M , log a M ? ? log a M ; n n m n m (3) log a n M ? log a M , log a n M ? log a M ; n m n m ( 4) log ( n a ) m log a M ?, log ( n a ) m ? log a M n (5) log a b ? log b c ? log c a ? 1 1 n 1

如果a>0,且a≠1,那么利用指数式与对数式的互化可以得 到: a b ? log
log m b lg b (m ? 0, m ? 1), log a b ? log m a lg a

,(换底公式)
Page ?7

其中,当b=m时有logab=1

对数的运算例题
例:计算
4 (1) (log 4 3 + log8 3)(log3 2 + log 9 2) - log 1 32 2

(2)已知logax=2,logbx=1,logcx=4,求logabcx的值。
解:(1)原式

? (log 22 3 ? log 23 3)(log3 2 ? log 32 2) ? log 2 4 32 1 1 1 5 ? ( log 2 3 ? log 2 3)(log3 2 ? log 3 2) ? log 2 2 2 3 2 4 5 3 5 5 5 5 ? log 2 3 ? log 3 2 ? ? ? ? 6 2 4 4 4 2

(2)有条件可知log ax=2得出log xa=1/2,log bx=1得出log xb=1,logcx=4得出 logxc=1/4; ∴log xabc=log xa+log xb+log xc=1/2+1+1/4=7/4 则logabcx=4/7
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反函数的定义
一般地, 对于函数y ? f ( x),设它的定义域为D, 值域为A。如果对于A中任意一个值y, 在D中总有 唯一确定的x值与它对应,且满足y ? f ( x), 这样得到的x关于y的函数叫做y=f ( x)的反函数, 记作x ? f ( y )。 在习惯上,自变量常用x表示,而函数用y表示,
?1

所以改写为 y ? f ( x) ( x ? A)
-1

Page ?9

求反函数的基本步骤:
(1)由y ? f ( x)出发,用y表示x, 解出x ? f ( y)
(2)将x, y互换,得出y ? f ( x)
-1

?1

(3)指出y ? f (x)的定义域,即原函数的值域

?1

反解

互换

写出定义域

Page ?10

一个函数存在反函数的充要条件是
变量x、y乊间具有一一对应关系

可从以下两个角度研究:

(1)方程解的个数上: 由y ? f ( x)出发,所得的 仅有唯一解 x
(2)图像交点个数上: 与直线y ? y0 ( y0 ? A)有且只有一个交点
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研究互为反函数的函数图像间的关系
例1、求函数y=3x-2(x∈R)的反函数,并且 画出原来的函数和它的反函数的图象。 解:

f

?1

x?2 ( x) ? 3

( x ? R)
y

x?2 f ( x) ? 3
?1

y?x

x 0

f ( x )=3x-2
Page ?12

y

x?2 f ( x) ? 3
?1

y?x

x
0

f ( x)=3x-2

想一想:函数y=3x-2的图象和它的反函数
x+2 y= 的图象之间有什么关系? 3
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问题:
互为反函数的两个函数的图象之间是否 具有某种对称关系?

定理:函数 y = f ( x ) 的图象与它的反函数 y = f -1 ( x ) 的图象关于直线 y = x 对称。

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定理:函数 y = f ( x ) 的图象与它的反函数 y = f 图象关于直线 y = x 对称。 结论: (1)如果两个函数的图象关于y=x对称,那么 这两个函数互为反函数; (2)如果一个函数的图象关于y=x对称,那么 这个函数的反函数就是它本身, 又称自反函数。 (3)若函数y=f(x)的图像经过点(a,b),且存 在反函数,则函数y=f-1(x)的图像必经

-1

(x)的

过点(b,a)
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例2 、求函数y=x3(x∈R)的反函数,并画 出原来的函数和它的反函数的图象. 3

解:

y?x

y?x

反函数是

y

y ? 3 x ( x ? R)
注:当已知函数y=f(x)的
图象时,可利用所学定理, 作出它关于直线y=x对称的 图象,就是反函数y=f-1(x) 的图象。
x

?3 x y

思考:原函数与反函数图像若有交点, 则交点又有何特性?
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例3、若点P(1,2)在函数 f ( x) ? ax ? b 的图象上, 又在它的反函数的图象上,

求()f ( x) 1

(2) f (4)

-1

分析 由题意,P(1,2)在函数 y ? ax ? b 的反函数 的图象上,根据互为反函数的函数图象关于直线y=x 对称的性质知,点P1(2,1)也在函数 y ? ax ? b 的图象上。

(1) y ? ?3x ? 7

(2) f (4) ? ?3

?1

Page ?17

练习( )如果y ? f (x)的图像过点( ,), 1 12 那么y=f -1 (x) ? 1的图像过点 (2,0)

x -1 ?1 (2)已知f ( x) ? , 则f (2) ? x

-1

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3 c 例4、已知f ( x) ? a ? , g ( x) ? ?1 x ?b 2x ?1 (c ? 0)互为反函数,求a, b, c
解:求出

bx ? ab ? 3 f ( x) ? x?a
?1

2x ?1? c 又 g ( x) ? 2x ?1
1 a ? ? , b ? 1, c ? 6 2
Page ?19

ax ? b 例5、已知f ( x) ? , 且c ? 0, ad ? bc, cx ? d -1 当a, b, c, d 满足何条件时,f ( x)与f ( x) 为同一函数?
a ? ?d

练习:如果一次函数y=ax+2与y=3x-b的图象 关于直线y=x对称,求a,b的值
1 a ? , b ? ?6 3
Page ?20

对数函数及其性质

教材书P具体分析对数函数

Page ?21

y 图 象

a >1 x=1

y

0<a<1

y=logax (a>1)
(1,0) x

0

(1,0)

0

y=logax (0<a<1)

x

定义域 : 值


( 0 ,+∞)

域:

R
(1,0)

过定点:

在 ( 0 ,+∞)上 质 是 增 函数
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在 ( 0 ,+∞)上 是 减 函数

对数函数及其性质例题
例1:求下列函数的定义域: 2 (1)y ? log a x ; (2) y ? loga (4 ? x) ; (3)y ? loga (9 ? x 2 )

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对数函数及其性质例题
例:比较下列各组中两个值的大小 (1)log0.52.7,log0.52.8 (2)log34,log65 (3)logaπ,logae(a>0,且a≠1) 解:(1)∵0<0.5<1,∴对数函数y=log0.5x在(0,+∞)上是减函数, 又∵2.7<2.8,∴log0.52.7>log0.52.8 (2)∵y=log3x在(0,+∞)上是增函数, ∴log34>log33=1, ∵y=log6x在(0,+∞)上是增函数,log65<log66=1, ∴log34>log65 (3)当a>1时,y=logax在(0,+∞)上是增函数, ∵π>e,∴logaπ>logae 当0<a<1时,y=logax在(0,+∞)上是减函数, ∵π>e,∴logaπ<logae 综上所诉:当a>1时,logaπ>logae 当0<a<1时,logaπ<logae
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对数函数及其性质例题
例:已知
f ( x ) = log a

1? x (a ? 0, a ? 1) 1? x

(1)求f(x)的定义域; (2)求使f(x)的x的取值范围。
解:(1)由 log a
1? x ? 0 ? log a 1 ,得,-1<x<1. 1? x

因此所求的定义域为(-1,1).
1? x 1? x (2)当a>1时,log a ? 0 ? log a 1,得到 ?1 1? x 1? x 0<x<1 即 ∴0<x<1 1+x>1-x 1? x 1? x 当0<a<1时,由 log a ,得到, 0 ? ? 0 ? log a 1 ?1 1? x 1? x -1<x<1 即 ∴-1<x<0 1+x<1-x ∴当a>1时,所求的范围是0<x<1 当0<a<1时,所求的范围是-1<x<0
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