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2002年安徽省数学竞赛高中


2002 年安徽省高中数学竞赛
一、 选择题 ( 每小题 6 分 ,满分 36 分)   
1. 已知集合 P = { x | x = 1} 和 Q = { x | mx = 1}. ). 若 Q < P ,则实数 m 可取值的个数为 (    (A) 0    (B) 1    ( C) 2    (D) 3 2. 若 a 、 b 是任意实数 , 且

a > b , 则下列不等式 ). 一定成立的是 (    (A) a2 > b2 ( C) lg ( a - b) > 0 (B) (D)
b <1 a
2

8. 已知数列 { an } 中 , an 为实数 , 且对 n ≥ 3,n∈ N ,都有 an = an - 1 - an - 2 . 若该数列前 1 985 项之和为 1 000 ,前 1 995 项和为 4 000 ,那么 ,该数列前 2 002 项 . 之和为 9. 甲乙二人相约 10 天之内在某地会面 , 约定先 到的人等候另一个人 ,经过 3 天以后方可离开 . 若他 们在限期内到达目的地是等可能的 , 则此二人会面 的概率为 . 10. 定长为 m 的线段 AB 的两个端点在双曲线 2 2 2 x 2b y . 那么 , AB 中点 m> 2 2 = 1的右支上移动
a b a M 的横坐标的最小值为

1 2

a

<

1 2

b

2 2 2 3. 如果 圆 x + y = k 至 少 覆 盖 函 数 f ( x ) πx = 3sin 的一个最大值点和一个最小值点 , 则 k 的

k

(用 a 、 b、 m 表示) .

). 取值范围是 (    (A) | k | ≥ (B) | k | ≥ 3 2 ( C) | k | ≥ (D) 1 ≤ | k| ≤ 2 1 4. 已知 OP = (2 ,1) , OA = (1 ,7) , OB = (5 ,1) . 设 X 是直线 OP 上的一点 ( O 为坐标原点) . 那么 ,使 XA ? ). XB 取最小值时 , ∠AXB 的值为 (    (A) 90° ( C) arccos - 4 17 17 (B) arccos 4 17 17 4 17 17

11. 正方形 ABCD 和正方形 AB EF 所 在 平 面 成 120° ,M、 N 分别是对角线 AC 和 B F 上的点 , 且 AM . = FN . 若 AB = 1 ,则 MN 的取值范围是 10 12. ( a + b + c) 的展开式经合并同类项后 ,共有

项. 三、 解答题 ( 每小题 20 分 ,满分 60 分) 13. 设二次函数 f ( x ) 满足 f ( x + 2) = f ( - x + 2) , 且它的图像与 y 轴交于点 (0 ,1) ,在 x 轴上截得的线 段长为 2 2. 求 f ( x ) 的解析式 . x 14. 设 a ∈ N+ , a ≥2 , 集 合 A = { y | y = a , x ∈N+ } , B = { y | y = ( a + 1) x + b , x ∈N+ } . 在闭区 间 [1 , a ] 上是否存在 b ,使 A ∩B ≠ ? 如果存在 ,求 出 b 的一切可能值及相应的 A ∩B ; 如果不存在 , 试 说明理由 . 15. 如 图 1 , ⊙O 是 △ABC 的外接圆 ,点 I 是 它 的 内 心. 射 线 AI 、 BI 、 CI 各交对边于 点 D、 E、 F , 射 线 AD 、 B E、 CF 各交 ⊙O 于点 A′ 、 B′ 、 C′ . 求 证 : AA′? ID 图1 = BB′ ? IE = CC′ ? IF.

(D)π + arccos -

5. 一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角 三角形 ,另一个是边长为 1 的正三角形 . 那么 ,这个三 ). 棱锥的体积大小 (    (A) 有惟一确定的值 (B) 有 2 个不同值 ( C) 有 3 个不同值 (D) 有 3 个以上不同值 6. 平面上有 2 个定点 A 、 B , 另有 4 个与 A 、 B 不

重 合 的 动 点 C1 、C2 、C3 、C4 . 若 使 | sin ∠ACi B
1 ( i ≠j , i 、 j = 1 ,2 ,3 ,4 ) , 则称 ( Ci , 3 ). Cj ) 为一个好点对 . 那么 ,这样的好点对 (    - sin ∠ACj B | ≤ (B) 至少有一个 (D) 恰有一个 二、 填空题 ( 每小题 9 分 ,满分 54 分) 2 7. 已知函数 f ( x ) = x + 2 bx + 1 和 g ( x ) = 2 a ( x + b) ,其中 x 、 a、 b 均为实数 . 使 y = f ( x ) 和 y = g ( x ) 在 xOy 平面上的图像不相交的实数对 ( a , b) 组成点 (A) 不存在 ( C) 至多有一个

参考答案
一、 1. (D) . ∵P = { - 1 ,1} , Q < P , ∴Q 可能是 ,{ - 1} ,{1}.

集 A . 那么 , A 在 aOb 平面上表示的图形 S 的面积为 .

36

中 等 数 学    6. (B) . ∵∠ACi B ∈[0 π , ], ∴ sin ∠ACi B ∈[0 ,1 ] ( i = 1 ,2 ,3 ,4) . 将区间 [ 0 , 1 ] 分 成 0 ,
1 3 , 1 2 , 3 3 , 2 ,1 3

当 Q = 时 ,m =0; 当 Q = { - 1} 时 , m = - 1 ; 当 Q = {1} 时 , m = 1. 故 m 有 0 , - 1 ,1 共 3 个取值 . 2. (D) . 3. (B) . πx ∵f ( x) = 3sin 为奇函数 ,图像关于原点对称 ,
k

三 段 , 则 sin ∠AC1 B , sin ∠AC2 B , sin ∠AC3 B , sin ∠AC4 B 中至少有两个值落在同一个小区间内 ( 抽 屉原则) . ∴ 满足| sin ∠ACi B - sin ∠ACj B | ≤
1 ( i ≠j ) 的 3

∴ 圆 x2 + y2 = k2 只要覆盖 f ( x ) 的一个最值点 即可 . πx π 令 = ,解得 f ( x ) 距原点最近的一个最大值 k 2 点 P
k

2

, 3 . 由题意 k ≥

2

k

2

2

2 + ( 3) 得

| k| ≥ 2. 4. ( C) .

好点对 ( Ci , Cj ) 至少有一个 . 二、 7.π. 设数对 ( a , b) 满足要求 , 即使方程 x2 + 2 bx + 1 = 2 a ( x + b) 无实数根 . Δ = [2 ( b - a) ] 2 - 4 (1 - 2 ab) < 0 ,得 ∴
a + b < 1.
2 2

设 OX = ( x0 , y0 ) , OP = (2 ,1) ,则

x0

2

=

y0

1

.

∴x0 = 2 y0 ,则 XA = (1 - 2 y0 ,7 - y0 ) , XB = (5 - 2 y0 ,1 - y ) . ∴XA ?XB = ( 5 - 2 y0 ) ( 1 - 2 y0 ) + ( 1 - y0 ) ? (7 - y0 ) = 5 y2 0 - 20 y 0 + 12. 因此 , 当 y0 = 2 时 , XA ?XB 有 最 小 值 , 此 时 , OX = (4 ,2) , XA = ( - 3 , 5 ) , XB = ( 1 , - 1 ) , | XA | =
34 ,| XB | = 2 ,
XA ? XB

在 aOb 平面上 ,满足这个条件的 ( a , b) 组成的点 集 A 是单位圆 ( 不含边界圆周) 的内部区域 . 2 因此 ,图形 S 的面积为π× 1 =π. 8. 3 000. 设 a1 = a , a2 = b , 则数列前 6 项为 a , b , b - a ,
- a , - b , a - b. 又 a7 = a , a8 = b , 容易验证此数列

任何依次 6 项之和均为 0. ∴S 1 995 = S 332 ×6 + 3 = 0 + a + b + ( b - a)
= 2 b = 4 000.
S 1 985 = S 330 × 6 +5



从而 ,cos ∠AXB =
=

| XA | ? | XB |

( - 3 ,5) ? (1 , - 1) - 8 4 17 = = . 17 34 ?2 68 5. ( C) . (1 ) 如 图 2 ①, 若 SA = SB = SC = BC = 1 ,
SA ⊥SB , SA ⊥SC ,则 V S2ABC = VA2SBC =

= 0 + a + b + ( b - a) + ( - a) + ( - b) = b - a = 1 000.



由式 ①、 ② 解得 b = 2 000 , a = 1 000. 则 S 2 002 = S 333 ×6 + 4 = 0 + a + b + ( b - a) + ( - a)
= 2 b - a = 3 000. 51 . 9. 100

3 ; 12 2 , 2

(2) 如 图 2 ②, 若 SB = SC = BC = 1 , SA =
SA ⊥AB , SA ⊥AC ,则 V S2ABC =

设甲、 乙二人分别在 第 x、 y 天到达某地 ,0 ≤x ≤ 10 ,0 ≤y ≤ 10 , 他们会面 的充要条件是 | x - y | ≤ 3, ( ) 则点 x , y 分 布 在 如 图 3 正方形 OABC 内 ,其基本事 件 S 1 为介于两直线 x - y
= ± 3 之间的阴影内 .
图3

2 ; 24 2 . 12

(3) 如图 2 ③, 若 SA = SB = AB = AC = BC = 1 ,
SC = 2 , SA ⊥AC , SB ⊥BC ,则 V S2ABC = VA2SBC =

故所求概率为 P =
10.
图2

2 51 100 - (10 - 3) = . 100 100

a ( m + 2 a)

2

a + b

2

2

.

如图 4 , 设 A 、 B、 M 在双曲线右准线上的射 、 M′ ,右焦点 影为 A′ 、 B′ 为 F ,离心率为 e . 由双 曲 线 定 义 , 有 | AA′ | + | BB′ | | MM′ | = 2 1 | A F| | B F| = + 2 e e 图4 1 ( | A F| + | B F| ) = 2e m | AB | = . ≥ 2e 2e ∴M 的横坐标 = | MN | = | MM′ | + | M′ N| 2 2 m a am a a ( m + 2 a)  ≥ + = + = . 2 2 2e 2c c c 2 a + b
3 ,1 . 2 如 图 5 , 作 MP ⊥AB 于 P , 连 PN , 由题 设 可 得 PN ⊥ AB . 故 ∠MPN 是二 面角 D2AB2E 的平面 角 , 即 ∠MPN = 120° . 11.

种取法对应一个同类项 ,故共有 66 项 . 三、 13. 2 f ( x ) 关于 x = 2 对称 ,设 f ( x ) = a ( x - 2) + b . 根据题意   4 a + b = 1. 设 f ( x ) 的图像与 x 轴交 于 x1 、 x2 ,则| x1 - x2 | = 2 2 ,即   2 解得
1 , 2 b = - 1.
a=

-

b = 2 2. a

1 ( x - 2) 2 - 1. 2 14. 设 b ∈[1 , a ] 使 A ∩B ≠ ,即存在 y0 ∈A 且 m y0 ∈B , 使 y0 = a ( m ∈N+ ) 且 y0 = ( a + 1) n + b

故 f ( x) =

m ( n ∈N+ ) . 则应存在 m 、 n ∈N+ ,使 a = ( a + 1) n + b

(1 ≤b ≤a) , m a - b (m、 n ∈N+ ,1 ≤b ≤a) . 即  n = a+1 m ∵a - b = [ ( a + 1) - 1 ] m - b  = ( a + 1) m - C1m ( a + 1) m - 1 + …
-1 ( - 1) m - 1 ( a + 1) + ( - 1) m - b ,  + Cm m ∴n ∈N+ 时 ,应使 ( - 1) m - b 能被 a + 1 整除 . (1) 当 m 是正偶数时 ,有 1 - b 能被 a + 1 整除 . 由于 a ≥ 2 ,1 ≤b ≤a ,故仅当 b = 1 时满足要求 . (2) 当 m 是正奇数时 ,有 - 1 - b 能被 a + 1 整除 . 由于 2 ≤b + 1 ≤a + 1 , 故仅当 b = a 时满足要

图5

设 AM = FN = x ,则 MP = ∴MN 2 =
=
x
2

2- x 2 x , PN = . 2 2 2 2- x x× × cos 120° 2 2
x-

求. 综上 ,满足题意的 b 存在 ,其取值为 b = 1 或 b =
a.

2

+

2- x 2

2

- 2×

1 2 1 ( x - 2 x + 2) = 2 2

2 2

2

+

3 4

(0 ≤x ≤ 2 ) .

从而 ,当 x =

2 3 时 , MN min = ; 2 2

当 x = 0 或 2时 , MN max = 1.
12. 66. 合并后各项的形式均为 ak1 bk2 ck3 , 其中 k1 + k2 + k3 = 10 ( k1 、 k2 、 k3 ∈N) , 当 k1 、 k2 取定时 , k3 惟一

当 b = 1 时 , A ∩B = { y | y = a2 k , k ∈N+ } ; 当 b = a 时 , A ∩B = { y | y = a2 k + 1 , k ∈N+ }. 15. 如图 6 , 作 ⊙O 直径 A′ G , IK ⊥BC 于点 K. 设 ⊙O 半径为 R , △ABC 内 切 圆 半 径 为 r ,则 A′ G = 2 R , IK = r. ∵I 是 △ABC 的内 心, ∴ ∠BAA′ = ] A′ ∠CAA′ B = A′ C] A′ G ⊥BC . 又 IK ⊥BC , ∴IK ∥A′ G.
图6

确定 . 若 k1 = 10 , k2 = 0 ,有 1 种取法 ; 若 k1 = 9 , k2 = 0 或 1 ,有 2 种取法 ; 若 k1 = 8 , k2 = 0 、 1、 2 ,有 3 种取法 ; …… 若 k1 = 1 , k2 = 0 、 1、 2、 …、 9 ,有 10 种取法 ; 若 k1 = 0 , k2 = 0 、 1、 2、 …、 10 ,有 11 种取法 . 以上共有 1 + 2 + 3 + … + 10 + 11 = 66 种取法 ,每

从而 可 知 , Rt △IDK ∽ Rt △A′ G A ]

ID IK = A′ G AA′

] AA′ ? ID = A′ G? IK = 2 Rr. 同理可证 BB′ ? IE = 2 Rr , CC′ ? IF = 2 Rr. 故 AA′ ? ID = BB′ ? IE = CC′ ? IF. ( 安徽师范大学附中   袁  金  提供)


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