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§2-1函数的概念及表示方法


§2.1 函数的概念及表示方法
重点、难点: 1. 对应、函数、映射 2. 函数的三要素:定义域、值域、对应法则 3. 定义域、值域计算的基本方法 4. 计算的基本方法 5. 分段函数与复合函数 1. 函数 设 A、B 是非空数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应,那么称 f: A

? B 为从集合 A 到集合 B 的 一个函数,记作: y ? f ( x), x ? A . 其中,x 叫自变量,x 的取值范围 A 叫作定义域;与 x 的值对应的 y 值叫函数值,函数 值的集合 { f ( x) | x ? A} 叫值域。 [注意] ①构成函数的三要素:__________、 _________、 _________。 ②A、B 都是非空数集,因此定义域(或值域)为空集的函数不存在。 ③函数符号 f ( x) 的含义: f ( x) 表示一个整体,一个函数,而记号“ f ”可以看做是对 “ x ”施加某种法则(或运算) ,如 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3 , 当 x ? 2 时,可看做对“2”施加了这样的运算法则:先平方,再减去它与 2 的积,再加 上 3; 当 x 为某一个代数式(或某一个函数记号)时,则左右两边的所有 x 都用同一个代数式 (或函数记号)代替,如 f (2 x ? 1) ? (2 x ? 1)2 ? 2(2 x ? 1) ? 3 ? [ g ( x)]2 ? 2 g ( x) ? 3 等等。 ④ f ( x) 与 f (a ) 的区别于联系。 f (a ) 表示当 x ? a 时,函数 f ( x) 的值,是一个常量;而 f ( x) 是自变量 x 的函数,在一 般情况下,它是一个变量, f (a ) 是 f ( x) 的一个特征值。如一次函数 f ( x) ? 3x ? 5 ,当 x ? 8 时, f ( x) ? 3 ? 8 ? 5 ? 29 是一个常量。 ⑤定义域,在实际问题中受到实际意义的制约。如函数 y ? x 的定义域为 ? x | x ? 0? ; 圆半径 r 与圆面积 S 的函数关系为 S ? ? r 2 的定义域为 ?r | r ? 0? 。 例1 已知函数 f(x)=3x 2 +5x-2,求 f(3)、f(- 2 )、f(a)、f(a+1)

例2 函数 y=

3x 2 与 y=3x 是不是同一个函数?为什么? x

【方法、技巧】同一函数的判断: 一般地,考查、判断几个函数是否相同,离不开函数的三要素,但是值域由定义域和对 应法则所确定的,因此在实际的解题过程中,往往只要判断函数的定义域、对应法则两个方 面即可。 两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相等时,才是同一个函数,这说明: (1)定义域不同,两个函数也就不同; (2)对应关系不同,两个函数也是不同; (3)即使是定义域和值域都分别相同的两个函数,它们也不一定是同一个函数。因为函 数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系。例如,y=2x+1 与 y=x+1 例3 判断下列函数 f(x)与 g(x)是否表示同一个函数,说明理由? A. f ( x ) = (x -1) 0;g ( x ) = 1 C.f ( x ) = x 2;f ( x ) = (x + 1) 2 0 [注意]0 无意义! B. f ( x ) = x; g ( x ) = D. f ( x ) = | x | ;g ( x ) =

x2
x2

-1-

区间及写法 设 a、b 是两个实数,且 a<b,则: {x|a≤x≤b}=[a,b] 叫闭区间; {x|a<x<b}=(a,b) 叫开区间; {x|a≤x<b}=[a,b)、{x|a<x≤b}=(a,b] 都叫半开半闭区间。 ①符号: “∞”读“无穷大” ; “-∞”读“负无穷大” ; “+∞”读“正无穷大” ② 区间左端点值要小于区间右端点值;区间符号里面两个字母(或数字)之间用“, ” 隔开; 例1 练习用区间表示:R、{x|x≥a}、{x|x>a}、{x|x≤b}、{x|x<b} 2. 例2 用区间表示:函数 y= x 的定义域 ,值域是 3. 由函数的解析式求定义域 例3 求下列函数的定义域(用区间表示) x x ?3 f(x)= 2 ; f(x)= 2 x ? 9 ; f(x)= x ? 1 - 2? x x ?2 。 (观察法)

例4 f(x)=

x?2 ? ?3x ? 4 ; x ?3
1 ; x?4

f(x)= 9 ? x +

1 x?4

例5 f ( x) ? 1 ? x ? 4. 函数的值域

f ( x) ?

1 1 ? 1/ x

2 例6 求 值 域 ( 用 区 间 表 示 ) : y ? x ? 2x ? 4 ; y ?

f ( x) ?

x?2 x?3

?5 ; f ( x) ? x 2 ? 3x ? 4 ; x?3

【方法、技巧】求函数值域的方法: (1)观察法。一些简单的函数,可通过定义域及对应法则,用观察的方法来确定函数的值域。 例7 求下列函数的值域:(1) f ( x) ? 2x ? 1, x ??1,2,3,4,5? ;(2) y ?

x ?1

(2)配方法。通过函数解析式配方,由非负实数的意义确定函数的值域。 例8 求函数 y ? x ? 4 x ? 6 的值域
2

[解析] y ? x ? 4 x ? 6 定义域为 R,是二次函数,首先考虑配方法。
2

函数的定义域为 R,∵ y ? x ? 4x ? 6 ? ( x ? 2) ? 2, x ? R 时, ( x ? 2) ? 0 ∴该函数的
2 2 2

值域为 ? y | y ? 2? ? [2, ??) (3)分离常数法。 当自变量有一定的取值范围时, 利用不等式的性质求出因变量的取值集合。

2x ? 1 (1 ? x ? 2) 的值域。 x ?1 3 ,?2 ? ? x 1? 3 ,? 1? [解析] ∵ y ? 2 ? , 又1 ? x? 2 x ?1
例9 求函数 y ? 值域~~.
-2-

3 3 1 ? ? , ? ? 1 y x ?1 2 2

, 故所求

(4)换元法。通过换元化简函数解析式,从而顺利地求出函数的值域。 例10 求函数 y ? x ? 2x ? 1 的值域。 【较难】

t2 ?1 1? t2 ? t (t ? 0) 的值域。 且 t ? 0 ,问题转化为求 y ? 2 2 1 1? t2 1 ?y ? ? t ? (t ? 1)2 (t ? 0) ,又∵ t ? 0,? (t ? 1)2 ? 1, ∴y 值的范围为 y ? 2 2 2
[解析]设 t ?

2x ? 1 则 x ?

[注意]辅助元的取值范围,如在本例题中,要确定 t 的取值范围,如忽视了这一点,就会错 误。 5. 练习一 1. 函数 f ( x) ? A.(0,1)

1 ( x ? R) 的值域 1 ? x2
B.(0,1] C.[0,1) _____ D.[0,1]

2. 求函数 y ? x ? 2 x ? 3 的值域

3. 求函数 y ?

x2 ? x 的值域为 x2 ? x ? 1

4. 求函数 y ? x ? 2x ? 1 的值域。 【较难】

2 5. 已知函数 f ( x) ? x ,求 f ( x ? 1) ;

6. 已知函数 f ( x ? 1) ? x2 ,求 f ( x )

7.

2 若 x ? R, f ( x)是y ? 2 ? x , y ? x 这两个函数中教小者,则 f ( x ) 的最大值

8. 若函数 y ? f ( x) 的定义域是 ?x | 0 ? x ? 1? ,则 y ? f ( x ) 的定义域是_______
2

A.2

B.1

C.-1

D.无最大值

A.(-1,0)

B.(-1,0)∪(0,1)

C.(0,1)

D.[0,1]

-3-

9. 若函数 y ? f (3x ? 1) 的定义域是[1,3],则 y ? f ( x) 的定义域是______ A.[1,3] B.[2,4] C.[2,8] D.[3,9] 10. 求 下 列 函 数 的 定 义 域 (1) y ? 2 ? (3) y ? ( x ? 1) ?
0

3 ; (2) y ? 3 ? x ? x ? 1 ; x?2

2 x ?1

11.

求函数 y ? x2 ? 4x ? 6(0 ? x ? 5) 的值域。

12. 下列四组中的函数 f(x)与 g(x),表示相同函数的一组为_______. A. f ( x) ?| x |, g ( x) ? ( x )2 ; C. f ( x) ? x , g ( x) ?
0

B. f ( x) ?

x ? 1? x ? 1, g ( x) ? x 2 ? 1 x2

x ; x

D. f ( x) ? x, g ( x) ?

映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x, 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应, 那么就称对应 f : A ? B 为 从集合 A 到集合 B 的一个映射(mapping) .记作“ f : A ? B ” 这时,称 y 是 x 在映射 f 的作用下的象,记作 f(x)。于是 y=f(x),x 称作 y 的原象,映射 f 也可记为 f : A ? B,x ? f ( x) 。 其中 A 叫做映射 f 的定义域(函数定义域的推广) ,由所有象 f(x)构成的集合叫做映射 f 的值域,通常记作 f(A)。 关键: A 中任意,B 中唯一;对应法则 f。 这里应注意这么几点: ①映射是一种特殊的对应关系,它是建立在以集合 A 到集合 B 上的对应关系,象桥梁 一样横跨在集合 A 到集合 B 上,是有方向的; ②要形成一个映射,对应法则必须满足,集合 A 中的任何一个元素,通过对应法则 f, 在集合 B 中必须要有它的象。如果集合 A 中有一个元素通过对应法则 f,不能在集合 B 中 找到自己的象,也就是说,集合 A 中只要有一个元素不能对应出去,那么这样的对应就不 能形成映射;而且对于集合 A 中的每一个元素,通过对应法则 f,在集合 B 中必须有唯一的 象。只要集合 A 中有一个元素在集合 B 中的象不唯一,那么这样的对应也就不能形成映射。 至于集合 B 中的元素是否在集合 A 中有原象,那并不重要。 如果映射 f 是集合 A 到集合 B 的映射,并且对于集合 B 中的任一元素,在集合 A 中都 有且只有一个原象,这时说集合的元素之间存在一一对应关系, 并把这个映射叫做从集合 A 到集合 B 的一一映射。 6.
函数与映射的关系与区别 相同点:(1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系; (2)函数与映射的对应都具有方向性; (3)A 中元素具有任意性,B 中元素具有唯一性; 区别:函数是一种特殊的映射,它要求两个集合中的元素必须是数,而映射中两个集合的元素是任意的数 学对象。 注意:有时函数和映射的对应法则可以用含有两个变量的等式来表示,在函数中这个式子叫解析式 映射是特殊的对应即由集合 ,集合 和对应法则 f 三者构成的一个整体,映射的特殊之处在于必须是 多对一和一对一的对应; ***若映射定义中的一般集合 X,Y 为数集,我们称映射 f 为函数,所以函数是一种特殊的映射,函数也可 用如下定义。

-4-

例11 判断下列两个对应是否是集合 A 到集合 B 的映射?是不是函数? 开平方 1 4 9 (1) 1 -1 2 -2 3 -3 4 5 6 (2) 8 9 10 4 5 6 (3) 2倍 8 10 12 1 -1 2 -2 3 -3 (4) 平方 1 4 9 10 16

[解析] (1) (2)不是映射,也不是函数; (3)一一映射,函数; (4)映射,不是一一映射, 是函数 例12 练习:判断下列两个对应是否是集合 A 到集合 B 的映射? A={0,1,2,3},B={1,2,3,4},对应法则 f :" 加1" ;
*

一一映射

映射,不是一一映射, A ? N , B ? {0,1} ,对应法则 f : x ? x除以2得的余数 ; 是函数 1 1 1 X ? {1,2,3,4}, Y ? {1, , , } f : x ? x取倒数 ; 2 3 4 例13 已知函数 f : R ? R,x ? 3x ? 5 (1)求 x=2,5,8 时的象 f(2),f(5),f(8); (2) 求 f(x)=35,47 时的原象。 例14 已知映射 f : R ? R? , x ? x2 ? 1 (1)求 x=-3,-2,0,2,3 时的象; (2)求 f(x)=10,5,1 时的原象。 例15 已知 A ? ? X | 0 ? x ? 4? , B ? ? y | 0 ? x ? 2? ,按照对应法则 f,不能成为从 A 到 B 的映射的 是: ( B ) A.
f :x? y? 1 x 2

B.

f :x? y? x?2

C. f : x ? y ? x

D. f : x ? y ?| x ? 2 | 7. 函数的表示方法 (1)图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点:直观形象,反应变化趋势。 (2)列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点:不需计算就可看出函数值。 具体实例如:二次函数等;股市走势图; 列车时刻表;银行利率表。 (3)解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点:简明;给自变量求函数值. 8. 求函数解析式常用的方法: (1)代入法。如已知 f ( x) ? x 2 ? 1 ,求 f ( x ? x2 ) 时,则有 f ( x ? x2 ) ? ( x ? x2 ) ? 1 (2)待定系数法。例如,已知 f ( x) ? ax ? b 是一次函数,且 f [ f ( x)] ? 4 x ? 3 ,求 f ( x) 解:设 f ( x) ? ax ? b ,则 f [ f ( x)] ? f (ax ? b) ? a(ax ? b) ? b ? a2 x ? ab ? b ? 4 x ? 3
2 ? ? ?a ? ?2 ,故所求函数为 f ( x) ? 2 x ? 1或f ( x) ? ?2 x ? 3 ? a ?4 ?a ? 2 ?? ,解得 ? ,或 ? b ? 1 ab ? b ? 3 ? ?b ? ?3 ? ? ?

*(3)拼凑法。例,已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x,求f ( x) 解: (硬凑法) f ( x ? 1) ? ( x ? 1)2 ? 4( x ? 1) ? 3 所以 而 x ? 1 ? ?1 ,所以f ( x) ? x2 ? 4x ? 3( x ? ?1) *(4)换元法。例如,已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x,求f ( x)

,则t ? ?1,且 x ? t ? 1, 解:令 t ? x ? 1 2 f (t ) ? (t ? 1) ? 2(t ? 1) ? t 2 ? 4t ? 3 ,∴ f ( x) ? x2 ? 4 x ? 3( x ? ?1)
-5-

*(5)方程组法。已知 f ( x) 满足 af ( x) ? f ( 1 ) ? ax,x ? R且x ? 0,a为常数,且 a ? ?1 ,求 f ( x) 的
x

解析式。 [解析]:欲求 f ( x) ,必须消去已知方程中的 f ( 1 ) ,不难想到再寻找一个方程,可由 x 和 1 的
x 1 倒数关系,用 替换已知式子中的 x,便可以得到另一个方程,然后联立解之。 x a 2 a x? 2 x ? 1) 解: f ( x) ? 2 x ,即 f ( x) ? a(a ( x ? R且x ? 0) 2 a ?1 (a ? 1) x x

9. 练习二 1. 已知 f ( x) ? x 2 ? 2 ,则 f ( x2 ) =___________; f ( x ? x2 ) =______________;

2. 已知 f ( x) ? 1 ( x ? R, 且x ? ?1) ; g ( x) ? x2 ? 2( x ? R) ,求 f [ g ( x)] 的解析式;
1? x

已知 y ? f ( x) 是一次函数,且有 f [ f ( x)] ? 9 x ? 8 ,求此一次函数的解析式;

3. 已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x,求f ( x) 的最小值;

4. 已知 f ( x) ? f (? x) ? x2 ? 2x ,求 f ( x) 的表达式;

5. 已知 f ( x) ? 2 f ( ) ? 3x ? 2,求f ( x)

1 x

-6-

答案 1.B 2. [2,+ ? )

x2 ? x ? 1 ? 1 1 ? 1? 2 3. 解:? y ? , 2 x ? x ?1 x ? x ?1 1 3 1 3 3 ? x 2 ? x ? 1 ? x 2 ? x ? ? ? ( x ? )2 ? ? 4 4 2 4 4 1 4 1 1 1 1 ?0 ? 2 ? ,? ?1 ? 2 ? 1 ? ,? ? ? 1 ? 2 ? 1 ,即值域为~~ 3 3 x ? x ?1 3 x ? x ?1 x ? x ?1 t2 ?1 t2 ?1 t2 1 1 ? t (t ? 0) ? ? t ? ? (t ? 1) 2 4 解:令 2 x ? 1 ? t ,? x ? ,∴ y ? 2 2 2 2 2 1 1 ∵由图像可知 t ? 0, ymin ? ,∴值域 ( , ??) 2 2 2 2 5 解: f ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? x ? 2 x ? 1 6 解:设 t ? x ? 1,? x ? t ? 1 ∴ f (t ) ? (t ? 1) 2 ? t 2 ? 2t ? 1,即 f ( x) ? x2 ? 2x ? 1
7.B 8.B 9.C 11. [2,11) 12. _C__ 答案 2. f [ g ( x)] ?
1 x2 ? 3

解:设一次函数解析式为 f ( x) ? ax ? b f ( x) ? ?3x ? 4

解得一次函数解析式为 f ( x) ? 3 x ? 2 或

3 解: (硬凑法) f ( x ? 1) ? x ? 2 x ? ( x )2 ? 2 x ? 1 ? 1 ? ( x ? 1)2 ? 1

∴x ? 1时,f ( x)min ? 0 所以 f ( x) ? x2 ? 1 ,由于 x ? 1 ? 1 ,所以f ( x) ? x2 ? 1( x ? 1) ,
4 解:(方程组法) f ( x) ? 1 x2 ? 2 x
3

2 5 解: f ( x) ? ? x ? ? 2 x

-7-


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