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【名师一号】2014-2015学年人教A版高中数学必修1双基限时练12


双基限时练(十二)
1. 下列函数, 既是奇函数, 又在区间(0, +∞)上是减函数的是( A.f(x)=-x2 1 C.f(x)=x3 答案 C 1 B.f(x)=x2 D.f(x)=x3 )

2.若函数 y=f(x)的定义域是[0,1],则下列函数中,可能为偶函数 的是( ) B.y=f(2x) D.y=f(|x|)

A.

y=[f(x)]2 C.y=f(-x)

解析 由 0≤|x|≤1 知,-1≤x≤1,定义域关于原点对称,∴y= f(|x|)可能是偶函数. 答案 D )

3.设 f(x)是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是( A.f(x)f(-x)是奇函数 C.f(x)-f(-x)是偶函数 答案 D B.f(x)|f(-x)|是奇函数

D.f(x)+f(-x)是偶函数

4.若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数, 且 f(2)=0,则使得 f(x)<0 的 x 的取值范围是( A.(-∞,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) )

B.(2,+∞) D.(-2,2)

解析 ∵f(x)为偶函数,且 f(2)=0,∴f(-2)=0.

画出示意图,易知 f(x)<0 的解集是(-2,2),故选 D. 答案 D

5.若奇函数 f(x)在[3,7]上是增函数,且最小值为 5,则 f(x)在[-7, -3]上是( )

A.增函数且最小值为-5 B.增函数且最大值为-5 C.减函数且最小值为-5 D.减函数且最大值为-5 解析 由题意知 f(x)在[-7,-3]上也是增函数,且有最大值 f(- 3)=-f(3)=-5.故选 B. 答案 B

6.定义在 R 上的偶函数 f(x),对任意 x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2), 有 f?x2?-f?x1? <0,则( x2-x1 A.f(3)<f(-2)<f(1) C.f(-2)<f(1)<f(3) ) B.f(1)<f(-2)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2)

解析 依题意知 f(x)在[0,+∞)上是减函数,所以 f(3)<f(2)<f(1). 又 f(x)为偶函数,所以 f(-2)=f(2).

则 f(3)<f(-2)<f(1)成立. 答案 A

7.设函数 f(x)是定义在[-5,5]上的奇函数,当 x∈[0,5]时,f(x)的 图象如右图,则不等式 f(x)<0 的解集为________. 解析 利用奇函数的性质,画出 x∈[-5,5]内的图象,由图象知, f(x)<0 的解集为(-3,0)∪(3,5]. 答案 (-3,0)∪(3,5]

8. 已知 f(x)与 g(x)都是定义在 R 上的奇函数, 若 F(x)=af(x)+bg(x) +2,且 F(-2)=5,则 F(2)=________. 解析 ∵f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x) F(x)=af(x)+bg(x)+2,F(-2)=5, ∴F(-2)=af(-2)+bg(-2)+2=-af(2)-bg(2)+2, 而 F(2)=af(2) +bg(2)+2. ∴F(2)+F(-2)=4,∴F(2)=4-F(-2)=4-5=-1. 答案 -1

9.函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且它是减函数,若实数 a,b 满足 f(a)+f(b)>0,则 a+b________0(填“>”“<”或“=”). 解析 f(a)+f(b)>0,∴f(a)>-f(b). 又 f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(a)>f(-b),又∵f(x)为减函数, ∴a<-b,∴a+b<0.

答案

<

10. 设定义在[-2,2]上的奇函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减, 若 f(m) +f(m-1)>0,求实数 m 的取值范围. 解 由 f(m)+f(m-1)>0, 得 f(m)>-f(m-1),即 f(m)>f(-m+1). 又∵f(x)在[0,2]上为减函数且 f(x)在[-2,2]上为奇函数, ∴f(x)在[- 2,2]上为减函数. -2≤-m+1≤2, ? ? ∴?-2≤m≤2, ? ?-m+1>m, 1 得-1≤m<2. 11.已知函数 f(x)对一切 x,y∈R,有 f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证:f(x)是奇函数; (2)若 f(-3)=a,试用 a 表示 f(12). 解 (1)证明:令 x=y=0,得 1≤m≤3, ?- -2≤m≤2, 即? 1 m < ? 2,

f(0+0)=f(0)+f(0), ∴f(0)=2f(0),∴f(0)=0. 对任意 x,总存在 y=-x,有 f(x-x)=f(x)+f(-x), ∴f(-x)+f(x)=0, 即 f(-x)=-f(x). ∴f(x)是奇函数. (2)∵f(x)是奇函数,且 f(-3)=a, ∴f(3)=-a.

由 f(x+y)=f(x)+f(y),令 x=y,得 f(2x)=2f(x), ∴f(12)=2f(6)=4f(3)=-4a. 12.已知定义在 R 上的函数 f(x)=x2+ax+b 的图象经过原点,且 对任意的实数 x 都有 f(1+x)=f(1-x)成立. (1)求实数 a,b 的值; (2)若函数 g(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足当 x≥0 时,g(x)= f(x),试求 g(x)的解析式. 解 (1)∵函数图象经过原点,∴b=0,

又因为对任意的实数 x 都有 f(1+x)=f(1-x)成立. ∴f(x)的对称轴为 x=1, ∴a=-2. (2)当 x≥0 时,g(x)=f(x)=x2-2x, 当 x<0 时,-x>0,g(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x, ∵g(x)为奇函数,∴g(-x)=-g(x), ∴g(x)=-x2-2x,
2 ? ?x -2x,x≥0, ∴g(x)=? 2 ?-x -2x,x<0. ?


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