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高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《1.7.1定积分在几何中的应用》导学案


高二数学◆选修 2-2◆导学案

§ 1.7 定积分的简单应用
学习目标
1.理解定积分概念和性质的基础上熟练掌握定积分的计算方法; 2.掌握在平面直角坐标系下用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积,会解决简单的物理问题.

学习过程
一、课前准备 (预习教材,找出疑惑之处) 复习 1:利用定积分求平面图形面

积时,可分成几个步骤?

复习 2:计算抛物线 y 2 ? 2 x 与直线 y ? x ? 4 所围成的图形面积.

二、新课导学 学习探究 探究任务一:定积分在几何中的应用 问题: 如何求曲边图形的面积? 新知:
1.当 f ( x) 在 [a, b] 上有正有负时,则 A ? ? | f ( x) | dx
a b

2.平面图形是由两条曲线 y1 ? f ( x) , y2 ? g ( x) , x ? [a, b] 及直线 x ? a, x ? b 所围成且 f ( x) ? g ( x) .其面积 都可以用公式 A ? ? [ f ( x) ? g ( x)]dx 求之.
a b

3.当介于两条曲线 y1 ? f ( x) , y2 ? g ( x) , x ? [a, b] 和两条直线 y ? a, y ? b 之间的平面图形的面积公式为:
A ? ? [ f ( x) ? g ( x)]dx
a b

试试:求正弦曲线 y ? sin x, x ?[0,

3? 3? 及 x 轴所围成的平面图形的面积. ] 和直线 x ? 2 2

反思:求定积分就是求曲边梯形的面积.

典型例题 例 1 计算由曲线 y 2 ? x , y ? x 2 所围图形的面积 S.

1

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变式:计算由直线 y ? x ? 4 ,曲线 y ? 2x 以及 x 轴所围图形的面积 S.

小结:在利用定积分求平面图形的面积时,一般要先画出它的草图,再借助图形直观确定出被积函数以 及积分的上、下限.
?3t ,(0 ? t ? 10) ? 例 2 一辆汽车的速度—时间函数关系为: v(t ) ? ?30,(10 ? t ? 40) ??1.5t ? 90,(40 ? t ? 60) ? 求汽车在这 60 秒行驶的路程.

变式:在弹性限度内,将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置 l m 处,求克服弹力所作的功.

动手试试 练 1. 计算由 y ? e x , y ? e , x ? 0 所围图形的面积.
2

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练 2. 一物体沿直线以 v ? 2t ? 3 ( t 的单位: s , v 的单位: m / s )的速度运动,求该物体在 3 ? 5 s 间行进 的路程.

三、总结提升 学习小结 1. 会应用定积分求比较复杂的平面图形的面积、求变速直线运动物体的路程以及求变力所作的功等. 2. 在解决问题的过程中,能过数形结合的思想方法,加深对定积分几何意义的理解. 知识拓展 胡克定律:弹簧所受的压缩力 F 与缩短的距离 l 按胡克定律 F ? kl 计算.

学习评价
当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 若 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 是 [a, b] 上的两条光滑曲线的方程则由这两条曲线及直线 x ? a, x ? b 所围成的平 面区域的面积为( )
A. ? [ f ( x) ? g ( x)]dx
a b

B. ? [ g ( x) ? f ( x)]dx
a

b

C. ? | f ( x) ? g ( x) | dx
a

b

D. | ? f ( x) ? g ( x)dx |
a

b

2. 已知自由下落物体的速度为 v ? gt ,则物体从 t ? 0 到 t ? t0 所走过的路程为( 1 1 1 A. gt0 2 B. gt0 2 C. gt0 2 D. gt0 2 3 2 4 3? 3. 曲线 y ? cos x(0 ? x ? ) 与坐标轴所围图形的面积是( ) 2



3

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5 D.4 2 4.一物体在力 F ( x) ? 3x ? 4(单位:N ) 的作用下, 沿着与力相同的方向从 x ? 0 处运动到 x ? 4 处 (单位: ) 则力 F ( x) 所作的功为 5. 弹簧所受的压缩力 F 与缩短的距离 l 按胡克定律 F ? kl 计算. 如果 10N 的力能使弹簧压缩 1 cm , 那么 把弹簧从平衡位置压缩 10 cm (在弹性限度内)做功为
A.2 B.3 C.

课后作业
1. 求下列曲线所围成图形的面积: ? 3? (1) y ? cos x, x ? , x ? , y ? 0; 2 2 (2) y ? 9 ? x2 , y ? x ? 7 .

4


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