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一元二次不等式及其解法导学案(第二课)


一元二次不等式及其解法导学案(第二课)
学习目标: 1.熟练掌握一元二次不等式及其解法,分式不等式,高阶不等式的解法。 2.会运用一元二次不等式解有关问题。 学习重点: 含参数的一元二次不等式的解法, ,分式不等式,高阶不等式的解法,恒成立问题。 学习难点: 含参数的一元二次不等式的解法,恒成立问题。 学习过程: 一、自主学习:
1、解一元二次不等式的一般步骤是:
2 2

2. 若 一 元 二 次 不 等 式 ax ? bx ? c ? 0 的 解 集 为 x x1 ? x ? x2 , 则 可 以 判 断 a

?

?



0 ,方程

ax ? bx ? c ? 0 的根分别为 . 2 3.已知不等式 ax ? bx ? 1 ? 0 的解集是{x︱ 3 ? x ? 4 },求实数 a,b 的值。
二、探究学习 探究一 用因式分解下列解不等式: (1) x ? x ? 6 ? 0
2

(2) 3x ? 7 x ? 2 ? 0
2

结论: ( x ? a)( x ? b) ? 0 ? a ? x ? b(a ? b),( x ? a)( x ? b) ? 0 ? x ? a, 或x ? b(a ? b)
探究二:高阶不等式的解法: 解下列不等式: (1) ( x ? 2)(x ? 1)(x ? 1)

?0

(2) ( x ? 2)(x ? 1)

2

( x ?1)3 ( x ? 2) ? 0

总结:高次不等式的解法一般用穿根法.(穿根从数轴右上开始,奇数根穿过,偶数根不穿过) 探究三:分式不等式的解法:
解下列不等式:

(1)

x ?1 ? 0, x?2

(2)

5x ? 1 ?3 x ?1

结论:(1)分式不等式 (2)分式不等式

f ( x) ?0? g ( x)

,分式不等式

f ( x) ?0? g ( x)

.

f ( x) f ( x) ?0? ?0? ,分式不等式 g ( x) g ( x) f ( x) f ( x) ? a 的解法为 :移项通分化为 ?0 , (3)分式不等式 g ( x) g ( x)

探究四:恒成立问题 问题: (1)在实数范围内,若关于 x 的不等式 ax2+bx+c<0 的解集是空集,那么 a,b,c 满足 什么条件

(2)若不等式 ax2 ? (a ?1) x ? a ?1 ? 0 对于所有的实数 x 都成立, 求 a 的取值范围。

结论:
(1) 不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是,
2

当 a=0 时,b=0,c>0;当 a ? 0时, ?
2

?a ? 0 . ?? ? 0

(2) 不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是,

?a ? 0 . ?? ? 0 (3) f ( x) ? a恒成立 ? a ? [ f ( x)]max , f ( x) ? a恒成立 ? a ? [ f ( x)]min 三、课堂小结: 四、作业反馈,训练巩固
当 a=0 时,b=0,c<0;当 a ? 0时, ? 1.一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数的条件是(
2

).

(A) ?

?a ? 0 ?? ? 0

(B) ?

?a ? 0 ?? ? 0

(C) ?

?a ? 0 ?? ? 0

(D) ?

?a ? 0 ?? ? 0


2、若 0 ? t ? 1 ,则不等式 ( x ? t )( x ? ) ? 0 的解集为(

1 t

3、已知不等式 x ? px ? q ? 0的解集是?x | ?3 ? x ? 2?, 则
2

1 1 1 1 A. {x | ? x ? t} B. {x | x ? 或x ? t} C. {x | x ? t或x ? } D. {x | t ? x ? } t t t t
( )

A. p ? ?1, q ? 6

B.p=1,q=6 C.p=1,q= ? 6 D.p= ?1,q= ? 6
2 2

4.当 a 为______值时,不等式 (a ? 3) x ? 5 x ? 2 ? 0的解集是 ? x |

? ?

1 ? ? x ? 2? 2 ?
,不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解
2

5.若(m-2)x2+2(m-2)x -4<0 对任何实数 x 恒成立,则实数 m 的取值范围是 6.不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解为 ?
2

1 1 ? x ? ,则 a ? b ? 2 3



.

7.已知关于 x 的不等式 mx 2 ? 2 x ? 6m ? 0 ⑴若不等式的解集为 {x | 2 ? x ? 3} ,求实数 m 的值;
1 ⑵若不等式的解集为 {x | x ? ? } ,求实数 m 的值; m ⑶若不等式的解集为 R,求实数 m 的取值范围; (4)若不等式的解集为 ? ,求实数 m 的取值范围。

8.已知关于 x 的不等式 (a2 ? 4) x2 ? (a ? 2) x ?1 ? 0 的解集是空集,求实数 a 的取值范围。


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