当前位置:首页 >> 数学 >>

北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编23:抛物线(教师版)


北京市 2014 届高三理科数学一轮复习试题选编 23:抛物线
一、选择题 1 . (北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试理科数学试题 ) 已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0和直线

l2 : x ? ?1 ,抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是
A.

/>




3 5 5

B. 2

C.

11 5

D. 3

【答案】B 【 解析】因为抛物线的方程为 y 2 ? 4 x ,所以焦点坐标 F (1,0) ,准线方程为 x ? ?1 。所以设 P 到准 线的距离为 PB ,则 PB ? PF 。 P 到直线 l : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 的距离为 PA , 1 所以 PA PB ? ?

P? A

其中 P? , F D FD 为 焦 点 到 直 线 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 的 距 离 , 所 以 F , 所 以 距 离 之 和 最 小 值 是 2 , 选

FD ?

4?0?6 32 ? 42

?

10 ?2 5

B.

2 . (2013 北京东城高三二模数学理科)过抛物线 y = 4 x 焦点的直线交抛物线于 A , B 两点,若 AB ? 10 ,
2

则 AB 的中点到 y 轴的距离等于 A. 1
【答案】

( C. 3 D. 4



B. 2 D.

3 . (2013 北京西城高三二模数学理科) 已知正六边形 ABCDEF 的边长是 2 ,一条抛物线恰好经过该六边形

的四个顶点,则抛物线的焦点到准线的距离是 A.

( D. 2 3



3 4
B;

B.

3 2

C. 3

【答案】

4 . (北京市朝阳区 2013 届高三第一次综合练习理科数学)抛物线 y ? 2 px (
2

p > 0 )的焦点为 F ,已知点

第 1 页,共 10 页

A , B 为抛物线上的两个动点,且满足 ?AFB ? 120? .过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN ,
垂足为 N ,则

| MN | 的最大值为 | AB |
2 3 3





A.

3 3

B.1

C.

D.2

【答案】A 5 . (北京市石景山区 2013 届高三一模数学理试题)对于直线 l:y=k (x+1)与抛物线 C:y = 4x,k=±1 是直线
2

l 与抛物线 C 有唯一交点的(
A.充分不必要 【答案】A

)条件 B.必要不充分

( C.充要条件 D.既不充分也不必要



2 6 . (2013 届北京海滨一模理科) 抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F , Pxy ) 为该抛物线上的动点, 点 (, 又点 A( ?1,0) ,



| PF | 的最小值是 | PA |





1 A. 2
【答案】B 二、填空题

2 B. 2

3 C. 2

2 2 D. 3

7 . (北京市顺义区 2013 届高三第一次统练数学理科试卷(解析) 在平面直角坐标系 xOy 中,设抛物线 )

y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,准线为 l, P 为抛物线上一点, PA ? l , A 为垂足.如果直线 AF 的倾斜角为
120 ? ,那么 PF ? _______.
【答案】 答案 4 抛物线的焦点坐标为 F (1,0) ,准线方程为 x ? ?1 .因为直线 AF 的倾斜角为 120 ,所以
?

?AFO ? 600 , 又 tan 60? ?

yA , 所 以 y A ? 2 3 . 因 为 PA ? l , 所 以 yP ? y A ? 2 3 , 代 入 1 ? (?1)

y 2 ? 4 x ,得 xA ? 3 ,所以 PF ? PA ? 3 ? (?1) ? 4 .
8 . (2013 北京房山二模数学理科试题及答案)抛物线 C : y 2 ? 2 px 的焦点坐标为 F ( ,0) ,则抛物线 C 的方

1 2

程为___,若点 P 在抛物线

C 上运动,点 Q 在直线 x ? y ? 5 ? 0 上运动,则 PQ 的最小值等于____.
【答案】

y 2 ? 2 x,

9 2 4

y ? ax ? b 与抛物线 9 . 北京市海淀区 2013 届高三 5 月查缺补漏数学 ( (理) 直线 )
2 2 P 的横坐标为整数,那么 a ? b 的最小值为______.

y?

1 2 x ?1 4 相切于点 P . 若

第 2 页,共 10 页

【答案】

1

10. (2013 届北京西城区一模理科) 在直角坐标系 xOy 中, B 与点 A(?1, 0) 关于原点 O 对称. P( x0 , y0 ) 点 点

在抛物线 y ? 4 x 上,且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 2 ,则 x0 ? ______.
2

【答案】 1 ? 三、解答题

2;

11. (北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ) (本小题满分 13 分)已知椭圆 M 的对称轴为

坐 标轴, 离心率为

2 , 且抛物线 y 2 ? 4 2 x 的焦点是椭圆 M 的一个焦点. 2

(Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 M 相交于 A、B 两点,以线段 OA, OB 为邻边作平行四边形 OAPB,其中点 P 在 椭圆 M 上, O 为坐标原点. 求点 O 到直线 l 的距离的最小值.

【答案】解: (I)由已知抛物线的焦点为 ( 2, 0) ,故设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2



c ? 2,由e ?

2 x2 y 2 , 得a ? 2, b 2 ? 2. 所以椭圆 M 的方程为 ? ? 1. ……5 分 2 4 2

(II)当直线 l 斜率存在时,设直线方程为 y ? kx ? m , 则由 ?

? y ? kx ? m, ? x2 y 2 ? 1. ? ? ?4 2
2 2 2

消去 y 得, (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 4 ? 0 ,

…………………6 分

? ? 16k 2 m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 4) ? 8(2 ? 4k 2 ? m2 ) ? 0 , ①…………7 分 ( ( 设 A、B、P 点的坐标分别为 ( x1 , y1 )、x2 , y2 )、x0 , y0 ) ,则:
x0 ? x1 ? x2 ? ? 4km 2m …………8 分 , y0 ? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 ,
2 2 x0 y0 ? ?1 . 4 2

由于点 P 在椭圆 M 上,所以

……… 9 分

4k 2 m 2 2m 2 ? ? 1 ,化简得 2m2 ? 1 ? 2k 2 ,经检验满足①式. 从而 2 2 2 2 (1 ? 2k ) (1 ? 2k )
第 3 页,共 10 页

………10 分 又点 O 到直线 l 的距离为:

d?

|m| 1? k 2

?

1 2 ?k 1 1 2 2 ? 1? ? 1? ? 2 2(1 ? k ) 2 2 1? k 2

………11 分 ………12 分

当且仅当 k ? 0 时等号成立 当直线 l 无斜率时,由对称性知,点 P 一定在 x 轴上,

从而点 P 的坐标为 (?2,0)或(2,0) ,直线 l 的方程为 x ? ?1 ,所以点 O 到直线 l 的距离为 1 .

所以点 O 到直线 l 的距离最小值为

2 . 2

………13 分

12. (北京市海淀区 2013 届高三 5 月查缺补漏数学 (理) 如图,已知 M ( ?3m,0)(m ? 0) , N , P 两点分别在 y 轴 )

???? ???? ? ??? 1 ??? ? ? 和 x 轴上运动,并且满足 MN ? NQ ? 0 , NP ? PQ . 2
(Ⅰ)求动点 Q 的轨迹方程; (Ⅱ)若正方形 ABCD 的三个顶点 A,B, C 在点 Q 的轨迹上,求正方形 ABCD 面积的最小值.
y N P M O Q x

? 1 ??? y PQ, 所以N (0, ? ), 2 2 ???? ? y ???? 3y 又M ( ?3m,0), 所以MN ? (3m, ? ), NQ ? ( x, ), 2 2 ???? ???? ? 3 由已知 MN ? NQ ? 0, 则 3mx ? y 2 ? 0 4
【答案】解:(I) 设Q( x, y ),因为NP ?

??? ?

y 2 ? 4mx,即Q点轨迹方程为y 2 ? 4mx.
(Ⅱ)如图,不妨设正方形在抛物线上的三个顶点中 A、B 在 x 轴的下方(包括 x 轴), 记 A B、C 的坐标分别为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),( x3 , y3 ) ,其中 y3 ? 0 ? y2 ? y1 [来源:学、科、网] 、 并设直线 AB 的斜率为 (k<0) k

第 4 页,共 10 页

y

C D O B A x

? y2 ? y1 ? k ( x2 ? x1 ) ? 则有 ? ① 1 ? y3 ? y2 ? ? k ( x3 ? x2 ) ?
又因为 A B、C 在抛物线 y 2 ? 4mx 上,故有 、

y12 y2 y2 , x2 ? 2 , x3 ? 3 代入①式得 4m 4m 4m 4m y1 ? ? y2 , y3 ? ?4mk ? y2 ② k 因为 | AB |?| BC | x1 ?
即 ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? ( x3 ? x2 ) 2 ? ( y3 ? y2 ) 2 所以 1 ?

1 ( y2 ? y1 ) ? 1 ? k 2 ( y3 ? y2 ) 2 k

所以 ( y2 ? y1 ) ? ?k ( y3 ? y2 ) 将②代入可得:

4m ? y2 ? ?k ( ?4mk ? 2 y2 ) k 4m 即 ?4mk 2 ? ? ?2(?k ? 1) y2 , k 4m 4mk 2 ? k 得 y2 ? 2( ?k ? 1) y2 ?
正方形的边长为 | AB |? 1 ? k 2 ( y3 ? y2 ) ? 1 ? k 2 ( ?4mk ? 2 y2 )

? 1 ? k 2 ( ?4mk ?

4mk 2 ?

4m k ) ? 4m 1 ? k 2 ?k ? 1

? k3 ?1 ? ?k ? ? k ( ?k ? 1) ? ? ?

? 4m

1 ? k 2 ( k 2 ? 1) ?k ( ?k ? 1)

易知

1 ? k 2 ( k 2 ? 1) (k 2 ? 1) 1? k2 2 ? 4 2m ? 2, ? , 所以 4m ?k ( ?k ? 1) ?k ?k ? 1 2
第 5 页,共 10 页

所以正方形 ABCD 面积的最小值为 32m 2 .
13. (北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题)如图,已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F .过
2

点 P(2,0) 的直线交抛物线于 A( x1 , y1 ) ,

B( x2 , y2 ) 两点,直线 AF , BF 分别与抛物线交于点 M , N .
(Ⅰ)求 y1 y2 的值; (Ⅱ)记直线 MN 的斜率为 k1 ,直线 AB 的斜率为 k 2 .证明:

k1 为 k2

定值.

【答案】 (Ⅰ)解:依题意,设直线 AB 的方程为 x ? my ? 2 .

………………1 分 ………………4 分 ………………5 分

将其代入 y ? 4 x ,消去 x ,整理得 y ? 4my ? 8 ? 0 .
2 2

从而 y1 y2 ? ?8 . (Ⅱ)证明:设 M ( x3 , y3 ) , N ( x4 , y4 ) .



y3 ? y4 k1 y3 ? y4 x1 ? x2 ? ? ? 2 k2 x3 ? x4 y1 ? y2 y3 y4 2 ? 4 4

y12 y2 2 ? 4 ? y1 ? y2 . ? 4 y1 ? y2 y3 ? y4

………………7 分

设直线 AM 的方程为 x ? ny ? 1 ,将其代入 y ? 4 x ,消去 x ,
2

整理得 y ? 4ny ? 4 ? 0 .
2

………………9 分 ………………10 分 ………………11 分

所以 y1 y3 ? ?4 . 同理可得 y2 y4 ? ?4 . 故

k1 y1 ? y2 y ? y2 yy ? ? 1 ? 1 2. k2 y3 ? y4 ?4 ? ?4 ?4 y1 y2
k1 ? 2 ,为定值. k2

………………13 分

由(Ⅰ)得

………………14 分

14. (北京市海淀区 2013 届高三 5 月查缺补漏数学(理) 动圆过点 F (0,2) 且在 x 轴上截得的线段长为 4 ,记 )

动圆圆心轨迹为曲线 C .
第 6 页,共 10 页

(Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)已知 P, Q 是曲线 C 上的两点,且 PQ ? 2 ,过 P, Q 两点分别作曲线 C 的切线,设两条切线交于点

M ,求△ PQM 面积的最大值.
2 2 2 2 【答案】解:(Ⅰ)设圆心坐标为 ( x, y ) ,那么 2 ? y ? ( y ? 2) ? x ,化简得 x ? 4 y 2

(Ⅱ)解法一:设 P( x1,y1 ),Q( x2,y2 ) 设直线 PQ 的方程为 y ? kx ? b ,代入曲线 C 的方程得 x 2 ? 4kx ? 4b ? 0 , 所以 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4b, ? ? 16k 2 ? 16b ? 0 因为 PQ ? 2 ,所以 (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ] ? 4,?(1 ? k 2 )[16k 2 ? 16b] ? 4 所以, 4(1 ? k 2 )[k 2 ? b] ? 1,? k 2 ? b ?

1 4(1 ? k 2 )

过 P、Q 两点曲线 C 的切线方程分别为 y ? y1 ? 两式相减,得 y2 ? y1 ?

x1 x ( x ? x1 ), y ? y2 ? 2 ( x ? x2 ) 2 2

x x 2 ? x12 ( x1 ? x2 ) ? 2 2 2 2 2 2 2 x ? x2 x ? x1 x x ? x1 ,? x1 ? x2 ,? x ? 1 ? 2k ? 2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 4 2 2 2 x x ? x2 代入过 P 点曲线 C 的切线方程得, y ? y1 ? 1 ( 1 ? x1 ) 2 2 xx x2 x x ?x ? y ? 1 ? 1 ( 1 2 ? x1 ) ,? y ? 1 2 ? ?b 4 2 2 4 即两条切线的交点 M 的坐标为( 2k , ?b ),所以点 M 到直线 PQ 的距离为

d?

2k 2 ? 2b 1? k
2

?

2 k2 ? b 1? k
2

?

1 2(1 ? k 2 ) 2
3

当 k ? 0 时, d max ?

1 1 1 ,此时 ?PQM 的面积的取最大值 Smax ? ? PQ ? d max ? 2 2 2

解法二: 设 P( x1,y1 ),Q( x2,y2 ) ,则过 P、Q 两点曲线 C 的切线方程分别为

x1 x ( x ? x1 ), y ? y2 ? 2 ( x ? x2 ) 2 2 x x 2 ? x12 两式相减得 y2 ? y1 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 , 2 2 x ? x2 x 2 ? x12 x x 2 ? x12 ,? x1 ? x2 ,? x ? 1 ? 2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 4 2 2 2 x x ? x2 代入过 P 点曲线 C 的切线方程得, y ? y1 ? 1 ( 1 ? x1 ) 2 2 xx x2 x x ?x ? y ? 1 ? 1 ( 1 2 ? x1 ) ,? y ? 1 2 4 2 2 4 y ? y1 ?
第 7 页,共 10 页

x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 2 2 x ? x2 y1 ? y2 设 PQ 中点为 C,则 C 的坐标为( 1 , ),所以 MC 平行于 y 轴,所以 2 2
即两条切线的交点 M 的坐标为(

MC ?

x1 x2 y1 ? y2 xx x 2 ? x2 2 ( x ? x )2 ( x ? x )2 ? ? 1 2? 1 ? 1 2 ? 1 2 4 2 4 8 8 8

设点 M 到直线 PQ 的距离为 d,那么 d ? MC ?

( x1 ? x2 )2 (当且仅当 x1 ? x2 ? 0 时等号成立) . 8

又因为 PQ ? 2 ,所以 ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 2 , 即 ( x1 ? x2 )2 ?

( x1 ? x2 )2 ( x1 ? x2 ) 2 ( x ? x2 ) 2 ? 2 ,? ( x1 ? x2 ) 2 [1 ? 1 ] ? 2. 16 16

所以 ( x1 ? x2 )2 ? 4 (当且仅当 x1 ? x2 ? 0 时等号成立) .

1 1 1 1 1 , S?PQM ? PQ ? d ? ? 2 ? ? , 2 2 2 2 2 1 所以 ?PQM 的面积的最大值为 . 2
因此 d ?
15. (北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )已知 E ? 2,2 ? 是抛物线 C : y 2 ? 2 px 上一点,经

过点 (2, 0) 的直线 l 与抛物线 C 交于 A, B 两点(不同于点 E ) ,直线 EA, EB 分别交直线 x ? ?2 于点

M,N .
(Ⅰ)求抛物线方程及其焦点坐标; (Ⅱ)已知 O 为原点,求证: ?MON 为定值.

【答案】解: (Ⅰ)将 E ? 2, 2 ? 代入 y ? 2 px ,得
2 2 所以抛物线方程为 y ? 2 x ,焦点坐标为 ( ,0)

p ?1
………………3 分

1 2

2 y12 y2 (Ⅱ)设 A( , y1 ) , B( , y2 ) , M ( xM , y M ), N ( x N , y N ) , 2 2

法一: 因为直线 l 不经过点 E ,所以直线 l 一定有斜率 设直线 l 方程为 y ? k ( x ? 2) 与抛物线方程联立得到 ?

? y ? k ( x ? 2)
2 ? y ? 2x

,消去 x ,得:

第 8 页,共 10 页

ky 2 ? 2 y ? 4k ? 0
则由韦达定理得:

y1 y2 ? ?4, y1 ? y2 ?

2 k

………………6 分 直线 AE 的方程为: y ? 2 ?

2 y1 ? 2 ? x ? 2? ? 2 , ? x ? 2 ? ,即 y ? 2 y1 ? 2 y1 ?2 2
x ? ?2
, 得 …



yM ?

2 y1 ? 4 y1 ? 2
理 可 得

……………9 分 同



yN ?

2 y2 ? 4 y2 ? 2 ???? ?4 ), ym
2 y1 ? 4 2 y2 ? 4 ? y1 ? 2 y2 ? 2

………………10 分 又 OM ? ( ?2, ym ), ON ? ( ?2,

???? ?

所以 OM ? ON ? 4 ? y M y N ? 4 ?

???? ???? ?

?4?

4[ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4] [ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4]

4 ? 4) k ? 4? 4 4( ?4 ? ? 4) k ?0 4( ?4 ?
所以 OM ? ON ,即 ?MON 为定值 法二: 设直线 l 方程为 x ? my ? 2 与抛物线方程联立得到 ?

………………13 分

π 2

………………14 分

? x ? my ? 2
2 ? y ? 2x

,消去 x ,得:

y 2 ? 2my ? 4 ? 0
则由韦达定理得:
第 9 页,共 10 页

y1 y2 ? ?4, y1 ? y2 ? 2m
………………6 分 直线 AE 的方程为: y ? 2 ?

2 y1 ? 2 ? x ? 2? ? 2 , ? x ? 2 ? ,即 y ? 2 y1 ? 2 y1 ?2 2
, 得 …



x ? ?2

yM ?

2 y1 ? 4 y1 ? 2

……………9 分 同 理 可 ………………10 分 又 OM ? ( ?2, ym ), ON ? ( ?2, 得 :

yN ?

2 y2 ? 4 y2 ? 2

???? ?

????

?4 ), ym

???? ???? ? 4( y1 ? 2)( y2 ? 2) OM ? ON ? 4 ? y M y N ? 4 ? ( y1 ? 2)( y2 ? 2)
?4? 4[ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4] [ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4]

?4?

4( ?4 ? 2m ? 4) 4( ?4 ? 2m ? 4)


?0
……………12 分 所以 OM ? ON ,即 ?MON 为定值

π 2

………………13 分

第 10 页,共 10 页


相关文章:
2014届高三理科数学一轮复习试题选编23:抛物线(学生版)...
2014 届高三理科数学一轮复习试题选编 23:抛物线 一、选择题 1 . (北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试理科数学试题 ) 已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? ...
北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编23:抛物线
北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编23:抛物线_数学_高中教育_教育专区。北京市 2014 届高三理科数学一轮复习试题选编 23:抛物线 一、选择题 1 . (北京市...
北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编6:函数的综...
北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编6:函数的综合问题(教师版)_数学_高中教育_教育专区。北京市 2014 届高三理科数学一轮复习试题选编 6:函数的综合问题一...
北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编22:双曲线(...
北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编22:双曲线(教师版)_数学_高中教育_...2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线与抛物线 y ? x ? 2 有 a b 公共...
北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编29:定积分的...
北京市 2014 届高三理科数学一轮复习试题选编 29:...(2013 届北京大兴区一模理科)抛物线 y = x (- ...23 .北京市东城区 2013 届高三上学期期末考试数学...
北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编9:正余弦定...
北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编9:正余弦定理(教师版)_高三数学_数学...7 ? sin ? 2 4 2 23 . 2013 北京丰台二模数学理科试题及答案)已知 ?ABC...
北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编2:函数的定...
北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编2:函数的...解析式及图像(教师版)_高三数学_数学_高中教育_...0, c ? 0 , 所以抛物线开口向上 , 排除 A, C...
北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编19:空间角与...
北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编19:空间角与空间距离(教师版)_数学_...抛物线的一部分 3 . (北京市东城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题)...
北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编10:平面向量...
北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编10:平面向量的数量积(教师版)_数学_高中教育_教育专区。北京市 2014 届高三理科数学一轮复习试题选编 10:平面向量的数量...
北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编11:平面向量...
北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编11:平面向量的平行与垂直(教师版)_...1 23. (2013 届北京市高考压轴卷理科数学)已知 a =(3,2), b =(-1,0...
更多相关标签: