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2011年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国新课标[1].理)含详解


2011 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学
第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 (1)复数
2?i 的共轭复数是 1 ? 2i

(A) ?

3 i 5

(B) i

3 5

/>(C) ?i

(D) i

(2)下列函数中,既是偶函数又在 +?) (0, 单调递增的函数是 (A) y ? x3 (B) y ? x ? 1 (C) y ? ? x 2 ? 1
?x (D) y ? 2

(3)执行右面的程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的

p是
(A)120 (B)720 (C)1440 (D)5040

(4)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各 个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 (A)
1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

(5)已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y ? 2 x 上,则
cos 2? =

(A) ?

4 5

(B) ?

3 5

(C)

3 5

(D)

4 5

(6)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示, 则相应的俯视图可以为

(7) 设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点, 且与 C 的一条对称轴垂直, 与 C 交于 A ,B L 两点, AB 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为 (A) 2 (B) 3
5

(C)2

(D)3

a ?? 1? ? (8) ? x ? ? ? 2 x ? ? 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为 x ?? x? ?

(A)-40

(B)-20

(C)20

(D)40

(9)由曲线 y ? x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为 (A)
10 3

(B)4

(C)

16 3

(D)6

(10)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 ? ,有下列四个命题
? 2? ? P : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, 1 ? ? 3 ? ? ?? P3 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, ? ? 3? ? 2? ? P2 : a ? b ? 1 ? ? ? ? ,? ? ? 3 ? ?? ? P4 : a ? b ? 1 ? ? ? ? , ? ? ?3 ?

其中的真命题是 (A) P , P4 1 (B) P , P3 1 (C) P2 , P3 (D) P2 , P4

(11)设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0, ? ?
f (? x) ? f ( x) ,则
? ?? (A) f ( x) 在 ? 0, ? 单调递减 ? 2? ? ?? (C) f ( x) 在 ? 0, ? 单调递增 ? 2?

?
2

) 的最小正周期为 ? ,且

? ? 3? ? (B) f ( x) 在 ? , ? 单调递减 ?4 4 ? ? ? 3? (D) f ( x) 在 ? , ?4 4 ? ? 单调递增 ?

(12)函数 y ? 和等于 (A)2

1 的图像与函数 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的图像所有交点的横坐标之 x ?1

(B) 4

(C) 6 第Ⅱ卷

(D)8

本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考 生都必须做答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。
?3 ? 2 x ? y ? 9, (13)若变量 x, y 满足约束条件 ? 则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ?6 ? x ? y ? 9,



(14)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1 , F2 在 x 轴上,离 心率为 程为
2 。过 F1 的直线 L 交 C 于 A, B 两点,且 V ABF2 的周长为 16,那么 C 的方 2



(15) 已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上, AB ? 6, BC ? 2 3 , 且 则棱锥 O ? ABCD 的体积为 。 。

(16)在 VABC 中, B ? 60? , AC ? 3 ,则 AB ? 2BC 的最大值为
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 等比数列 ? an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a3 ? 9a2 a6 .
2

(Ⅰ)求数列 ? an ? 的通项公式;

?1? (Ⅱ)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ...... ? log3 an , 求数列 ? ? 的前 n 项和. ? bn ?
(18)(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四 边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值。

(19) (本小题满分 12 分) 某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大 于或等于 102 的产品为优质品,现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各生 产了 100 件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果:

(Ⅰ)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (Ⅱ)已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为

从用 B 配方生产的产品中任取一件,其利润记为 X(单位:元) ,求 X 的分布列及数学期 望.(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概 率) (20) (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1),B 点在直线 y = -3 上,M 点满足 MB / / OA ,

uuu r

uur

uuu uur uuu uur r u r MA ? AB ? MB ? BA ,M 点的轨迹为曲线 C。
(Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离的最小值。

(21) (本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x) ? 。 x ? 2 y ? 3? 0 (Ⅰ)求 a 、 b 的值; (Ⅱ)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x) ?

a ln x b f ? , 曲 线 y ? f ( x) 在 点 ( 1 , x ?1 x

( 1处)的 切 线 方 程 为 )

ln x k ? ,求 k 的取值范围。 x ?1 x

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时 请写清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, D , E 分别为 ?ABC 的边 AB , AC 上的点,且 不与 ?ABC 的顶点重合。已知 AE 的长为 n , AD , AB 的长 是关于 x 的方程 x ? 14 x ? mn ? 0 的两个根。
2

(Ⅰ)证明: C , B , D , E 四点共圆; (Ⅱ)若 ?A ? 90? ,且 m ? 4, n ? 6 ,求 C , B , D , E 所在圆的半径。

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为

? x ? 2 cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? 2 ? 2sin ?
M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2 (Ⅰ)求 C2 的方程 (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ?

uuv u

uuuv

?
3

与 C1 的异于极点的

交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB .

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 。 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ? x | x ? ?1

?

,求 a 的值。

2011 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试卷参考答案 一、选择题 (1)C (7)B 二、填空题 (13)-6 三、解答题 (17)解:
2 (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 ? 9a2 a6 得 a3 ? 9a4 所以 q ?
2 3 2

(2)B (8)D

(3)B (9)C

(4)A (10)A

(5)B (11)A

(6)D (12)D

(14)

x2 y2 ? ?1 16 8

(15) 8 3

(16) 2 7

1 。 9

由条件可知 a>0,故 q ?

1 。 3 1 。 3

由 2a1 ? 3a2 ? 1 得 2a1 ? 3a2 q ? 1 ,所以 a1 ? 故数列{an}的通项式为 an=

1 。 3n

(Ⅱ ) bn ? log 3 a1 ? log 3 a2 ? ... ? log 3 an

? ?(1 ? 2 ? ... ? n) ?? n(n ? 1) 2



1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1
所以数列 { (18)解: (Ⅰ)因为 ?DAB ? 60?, AB ? 2 AD , 由余弦定理得 BD ? 3 AD 从而 BD +AD = AB ,故 BD ? AD
2 2 2

1 2n } 的前 n 项和为 ? bn n ?1

又 PD ? 底面 ABCD,可得 BD ? PD 所以 BD ? 平面 PAD. 故 PA ? BD (Ⅱ)如图,以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角 坐标系 D- xyz ,则

A ?1, 0, 0 ? , B 0,3, 0 , C ?1, 3, 0 , P ? 0, 0,1? 。
uuv u uuv uuu v AB ? (?1, 3, 0), PB ? (0, 3, ?1), BC ? (?1, 0, 0)
uur u 设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z) ,则 {n?PB ? 0, uuu r n ? AB ? 0,

?

? ?

?



?x ? 3y ? 0 3y ? z ? 0

因此可取 n= ( 3,1, 3)
m? PB ? 0, r 设平面 PBC 的法向量为 m,则 {m?uuu ? 0, BC uur u

可取 m=(0,-1, ? 3 )

cos m, n ?

?4 2 7 ?? 7 2 7

故二面角 A-PB-C 的余弦值为 (19)解

?

2 7 7

(Ⅰ)由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质的平率为 生产的产品的优质品率的估计值为 0.3。 由试验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 生产的产品的优质品率的估计值为 0.42

22 ? 8 =0.3 ,所以用 A 配方 100

32 ? 10 ? 0.42 ,所以用 B 配方 100

( Ⅱ ) 用 B 配 方 生 产 的 100 件 产 品 中 , 其 质 量 指 标 值 落 入 区 间

?90,94 ? , ?94,102 ? , ?102,110? 的频率分别为 0.04,,054,0.42,因此
P(X=-2)=0.04, 即 X 的分布列为 P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42,

X 的数学期望值 EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 (20)解: (Ⅰ)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1). 所以 MA =(-x,-1-y), MB =(0,-3-y), AB =(x,-2). 再由题意可知( MA + MB )? AB =0, 即(-x,-4-2y)? (x,-2)=0.

uuu r

uuu r

uur u

uuu uuu r r

uur u

1 2 x -2. 4 1 2 1 ' 1 (Ⅱ)设 P(x 0 ,y 0 )为曲线 C:y= x -2 上一点,因为 y = x,所以 l 的斜率为 x 0 4 2 2 1 2 因此直线 l 的方程为 y ? y0 ? x0 ( x ? x0 ) ,即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? x0 ? 0 。 2
所以曲线 C 的方程式为 y= 则 O 点到 l 的距离 d ?
2 | 2 y0 ? x0 | 2 x0 ? 4

.又 y0 ?

1 2 x0 ? 2 ,所以 4

1 2 x0 ? 4 1 4 2 d?2 ? ( x0 ? 4 ? ) ? 2, 2 2 x0 ? 4 2 x0 ? 4
当 x0 =0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的最小值为 2. (21)解:
2

(Ⅰ) f '( x) ?

?(

x ?1 ? ln x) b x ? 2 2 ( x ? 1) x

? f (1) ? 1, 1 ? 由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率为 ? ,且过点 (1,1) ,故 ? 1 即 2 ? f '(1) ? ? 2 , ?

?b ? 1, ? ?a 1 ?2 ?b ? ? 2 , ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ?

解得 a ? 1 , b ? 1。

ln x 1 ? ,所以 x ?1 x
ln x k 1 (k ? 1)( x 2 ? 1) ? )? (2 ln x ? )。 x ?1 x 1 ? x2 x

f ( x) ? (

(k ? 1)( x 2 ? 1) 考虑函数 h( x) ? 2ln x ? ( x ? 0) ,则 x
h '( x) ? (k ? 1)( x 2 ? 1) ? 2 x 。 x2 k ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1) 2 知,当 x ? 1 时, h '( x) ? 0 。而 h(1) ? 0 ,故 x2

(i)设 k ? 0 ,由 h '( x) ?

1 h( x ) ? 0 ; 1 ? x2 1 当 x ? (1,+ ? )时,h(x)<0,可得 h(x)>0 1? x2 ln x k ln x k 从而当 x>0,且 x ? 1 时,f(x)-( + )>0,即 f(x)> + . x ?1 x x ?1 x 1 2 ' (ii)设 0<k<1.由于当 x ? (1, )时, (k-1) (x +1)+2x>0,故 h (x)>0,而 1? k 1 1 h(1)=0,故当 x ? (1, )时,h(x)>0,可得 h(x)<0,与题设矛盾。 1? k 1? x2
当 x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,可得 (iii)设 k ? 1.此时 h (x)>0,而 h(1)=0, 故当 x ?(1,+ ? )时,h (x)>0,可得
'

1 1? x2

h(x)<0,与题设矛盾。 综合得,k 的取值范围为(- ? ,0] (22)解: (I)连接 DE,根据题意在△ADE 和△ACB 中, AD×AB=mn=AE×AC, 即

AD AE .又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB ? AC AB
因此∠ADE=∠ACB 所以 C,B,D,E 四点共圆。

(Ⅱ)m=4, n=6 时,方程 x -14x+mn=0 的两根为 x1=2,x2=12.

2



AD=2,AB=12.

取 CE 的中点 G,DB 的中点 F,分别过 G,F 作 AC,AB 的垂线,两垂线相交于 H 点,连接 DH.因为 C,B,D,E 四点共圆,所以 C,B,D,E 四点所在圆的圆心为 H,半径为 DH. 由于∠A=90 ,故 GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5,DF= 故 C,B,D,E 四点所在圆的半径为 5 2 (23)解: (I)设 P(x,y),则由条件知 M(
0

1 (12-2)=5. 2

X Y , ).由于 M 点在 C1 上,所以 2 2
? x ? 4 cos ? ? ? ? ? y ? 4 ? 4 sin ? ?

?x ? ? 2 ? 2 cos ?, ? ? ? ? ? ? y ? 2 ? 2 sin ? ?2 ? ? ?
从而 C 2 的参数方程为



? x ? 4 cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? 4 ? 4sin ?
(Ⅱ)曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? 。 射线 ? ? 射线 ? ?

? ?
3 3

与 C1 的交点 A 的极径为 ? 1 ? 4sin 与 C 2 的交点 B 的极径为 ? 2 ? 8sin

?

?
3

3

, 。

所以 | AB |?| ? 2 ? ? 1 |? 2 3 . (24)解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 2 可化为

| x ? 1|? 2 。
由此可得

x ? 3 或 x ? ?1 。

故不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集为

{x | x ? 3 或 x ? ?1} 。
( Ⅱ) 由 f ( x) ? 0 得

x ? a ? 3x ? 0
此不等式化为不等式组

?x ? a ? ? x ? a ? 3x ? 0

或?

?x ? a ?a ? x ? 3x ? 0

?x ? a ? ? a 即 x? ? ? 4

?x ? a ? ? a 或 a?? ? ? 2

因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x | x ? ? 由题设可得 ?

a 2

?

a = ?1 ,故 a ? 2 2

2011 年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标)理科数学解析
第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 (1)复数

2?i 的共轭复数是 1 ? 2i

(A) ?

3 i 5

(B) i

3 5

(C) ?i

(D) i

解析:

2 ? i (2 ? i )(1 ? 2i ) ? i, 共轭复数为 C = 5 1 ? 2i
?x

(2)下列函数中,既是偶函数又在 +?) (0, 单调递增的函数是 (A) y ? x3 (B) y ? x ? 1 (C) y ? ? x 2 ? 1 (D) y ? 2

解析:由图像知选 B (3)执行右面的程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的

p是
(A)120 (B)720

(C)1440 (D)5040 解析:框图表示 an ? n ? an ?1 ,且 a1 ? 1 所求 a6 ? 720 选B (4)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各 个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 (A)

1 3

(B)

1 2 3 1 ? 选A 9 3

(C)

2 3

(D)

3 4

解析;每个同学参加的情形都有 3 种,故两个同学参加一组的情形有 9 种,而参加同一组 的情形只有 3 种,所求的概率为 p=

(5)已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y ? 2 x 上,则
cos 2? =

cos2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan 2 ? 3 解析:由题知 tan ? ? 2 , cos 2? ? ? ?? 选B 2 2 2 cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 5

(A) ?

4 5

(B) ?

3 5

(C)

3 5

(D)

4 5

(6)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示, 则相应的侧视图可以为

解析:条件对应的几何体是由底面棱长为 r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分 与底面为半径为 r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。故选 D (7) 设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点, 且与 C 的一条对称轴垂直, 与 C 交于 A ,B L 两点, AB 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为 (A) 2 解析:通径|AB|= (B) 3 (C)2 (D)3

2b 2 ? 2a 得 b2 ? 2a 2 ? a 2 ? c2 ? 2a 2 ,选 B a

a ?? 1? ? (8) ? x ? ? ? 2 x ? ? 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为 x ?? x? ?

5

(A)-40

(B)-20

(C)20

(D)40

1 1 1 1 解析 1.令 x=1 得 a=1.故原式= ( x ? )(2 x ? )5 。 ( x ? )(2 x ? )5 的通项 x x x x
Tr ?1 ? C5r (2 x )5?2 r (? x ?1 )r ? C5 r (?1)r 25? r x5? 2 r ,由 5-2r=1 得 r=2,对应的常数项=80,

由 5-2r=-1 得 r=3,对应的常数项=-40,故所求的常数项为 40 ,选 D 解析 2.用组合提取法,把原式看做 6 个因式相乘,若第 1 个括号提出 x,从余 下的 5 个括号中选 2 个提出 x,选 3 个提出 号中选 2 个提出

1 1 ;若第 1 个括号提出 ,从余下的括 x x

1 ,选 3 个提出 x. x 1 1 2 1 2 3 3 故常数项= X ? C5 (2 X )2 ? C3 ( ? )3 ? ? C5 ( ? )2 ? C3 (2 X )3 =-40+80=40 X X X
(9)由曲线 y ? x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为 (A)

10 3

(B)4
4

(C)

16 3

(D)6

2 3 1 16 4 解析;用定积分求解 s ? ? ( x ? x ? 2)dx ? ( x 2 ? x 2 ? 2 x ) |0 ? ,选 C 3 2 3 0

(10)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 ? ,有下列四个命题
? 2? ? P : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, 1 ? ? 3 ? ? ?? P3 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, ? ? 3? ? 2? ? P2 : a ? b ? 1 ? ? ? ? ,? ? ? 3 ? ?? ? P4 : a ? b ? 1 ? ? ? ? , ? ? ?3 ?

其中的真命题是 (A) P , P4 1 (B) P , P3 1 (C) P2 , P3 (D) P2 , P4

1 解析: a ? b ? a 2 ? b2 ? 2ab cos ? ? 2 ? 2 cos ? ? 1 得, cos ? ? ? , 2
? 2? ? ? ? ?0, ? 3

1 ? 2 2 ? 。由 a ? b ? a ? b ? 2ab cos ? ? 2 ? 2 cos ? ? 1 得 cos ? ? 2 ?
选A

?? ? ? ? ? ? ,? ? 。 ?3 ?

(11)设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos( x ? ? )( ? 0,? ? ? ?

?
2

)的最小正周期为 ? ,且

f (? x) ? f ( x) ,则
? ?? (A) f ( x) 在 ? 0, ? 单调递减 ? 2? ? ?? (C) f ( x) 在 ? 0, ? 单调递增 ? 2? ? ? 3? (B) f ( x) 在 ? , ?4 4 ? ? 3? (D) f ( x) 在 ? , ?4 4 ? ? 单调递减 ?

? ? 单调递增 ?

解 析 : f ( x )?

2 s?i n ? ? ?( x

?
4

, 所 以 ? ? 2 , 又 f(x) 为 偶 函 数 , )

?? ?

?
4

?

?
2

? k? ? ? ?

?

? k? , k ? z ,? f ( x ) ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 cos 2 x ,选 A 4 2

?

(12)函数 y ? 之和等于 (A)2

1 的图像与函数 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的图像所有交点的横坐标 1? x
(B) 4 (C) 6 (D)8

解析:图像法求解。 y ?

1 的对称中心是(1,0)也是 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的 x ?1

中心,?2 ? x ? 4 他们的图像在 x=1 的左侧有 4 个交点, x=1 右侧必有 4 个交点。 则 不 妨 把 他 们 的 横 坐 标 由 小 到 大 设 为 x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 , 则
x1 ? x8 ? x2 ? x7 ? x3 ? x6 ? x4 ? x5 ? D 2 ,所以选

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。
?3 ? 2 x ? y ? 9, (13)若变量 x, y 满足约束条件 ? 则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ?6 ? x ? y ? 9,



解析:画出区域图知,
?2 x ? y ? 3 当直线 z ? x ? 2 y 过 ? 的交点(4,-5)时, zmin ? ?6 ?x ? y ? 9

(14)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 上,离心率为 的方程为

F1 , F2 在 x 轴

2 。过 F1 的直线 L 交 C 于 A, B 两点,且 V ABF2 的周长为 16,那么 C 2



?c 2 x2 y2 ? ? 解析:由 ? a 得 a=4.c= 2 2 ,从而 b=8,? ? ? 1 为所求。 2 16 8 ? 4a ? 16 ?

(15) 已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上, AB ? 6, BC ? 2 3 , 且 则棱锥 O ? ABCD 的体积为 。

解析:设 ABCD 所在的截面圆的圆心为 M,则 AM=

1 (2 3)2 ? 62 ? 2 3 , 2

1 OM= 4 2 ? (2 3 ) 2 ? 2 , VO ? ABCD ? ? 6 ? 2 3 ? 2 ? 8 3 . 3
(16)在 VABC 中, B ? 60? , AC ? 3 ,则 AB ? 2BC 的最大值为 解析: A ? C ? 1200 ? C ? 1200 ? A , A? (0,1200 ) , 。

BC AC ? ? 2 ? BC ? 2sin A sin A sin B

AB AC ? ? 2 ? AB ? 2sin C ? 2sin(1200 ? A) ? 3 cos A ? sin A ; sin C sin B
? AB ? 2BC ? 3 cos A ? 5sin A ? 28 sin( A ? ? ) ? 2 7 sin( A ? ? ) ,故最大值是 2 7
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 等比数列 ? an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a3 ? 9a2 a6 .
2

(Ⅰ)求数列 ? an ? 的通项公式;

?1? (Ⅱ)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ...... ? log3 an , 求数列 ? ? 的前 n 项和. ? bn ?
2 3 2 2 解析: (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 ? 9a2 a6 得 a3 ? 9a4 所以 q ?

1 。 9

由条件可知 a>0,故 q ?

1 。 3 1 。 3

由 2a1 ? 3a2 ? 1 得 2a1 ? 3a2 q ? 1 ,所以 a1 ? 故数列{an}的通项式为 an=

1 。 3n

(Ⅱ ) bn ? log 3 a1 ? log 3 a2 ? ... ? log 3 an

? ?(1 ? 2 ? ... ? n) ?? n(n ? 1) 2



1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1
所以数列 {

1 2n } 的前 n 项和为 ? bn n ?1

(18)(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四 边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值。 解析 1: (Ⅰ)因为 ?DAB ? 60?, AB ? 2 AD , 由余弦定理得 BD ? 3 AD 从而 BD +AD = AB ,故 BD ? AD;又 PD ? 底面 ABCD,可得 BD ? PD
2 2 2

所以 BD ? 平面 PAD. 故 PA ? BD (Ⅱ)如图,以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角 坐标系 D- xyz ,则

A ?1, 0, 0 ? , B 0,3, 0 , C ?1, 3, 0 , P ? 0, 0,1? 。

?

? ?

?

z P

uuv u uuv uuu v AB ? (?1, 3, 0), PB ? (0, 3, ?1), BC ? (?1, 0, 0)
??? ? ? n ? AB ? 0 ? 设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z) ,则 ? ??? , ? ? n ? PB ? 0 ?
即 D C

?x ? 3y ? 0 3y ? z ? 0

x

A

B

y

因此可取 n= ( 3,1, 3)

??? ? ? m ? PB ? 0 ? 设平面 PBC 的法向量为 m,则 ? ??? ? ? m ? BC ? 0 ?
可取 m=(0,-1, ? 3 )

cos m, n ?

?4 2 7 ?? 7 2 7

故二面角 A-PB-C 的余弦值为 (19) (本小题满分 12 分)

?

2 7 7

某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大 于或等于 102 的产品为优质品,现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各生 产了 100 件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果:

(Ⅰ)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (Ⅱ)已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为

从用 B 配方生产的产品中任取一件,其利润记为 X(单位:元) ,求 X 的分布列及数学期 望.(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概 率) 解析: (Ⅰ)由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质的平率为 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3。 由试验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 生产的产品的优质品率的估计值为 0.42 ( Ⅱ ) 用 B 配 方 生 产 的 100 件 产 品 中 , 其 质 量 指 标 值 落 入 区 间

22 ? 8 =0.3 ,所以用 A 100

32 ? 10 ? 0.42 ,所以用 B 配方 100

?90,94 ? , ?94,102 ? , ?102,110? 的频率分别为 0.04,,054,0.42,因此 X 的可能值为-2,2,4
P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42,

即 X 的分布列为

X P

-2 0.04

2 0.54

4 0.42

X 的数学期望值 EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 (20) (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1),B 点在直线 y = -3 上,M 点满足 MB / / OA ,

uuu r

uur

uuu uur uuu uu r u r r MA ? AB ? MB ? BA ,M 点的轨迹为曲线 C。
(Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离的最小值。 解析; (Ⅰ)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1). 所以 MA =(-x,-1-y), MB =(0,-3-y), AB =(x,-2). 再由题意可知( MA + MB )? AB =0, 即(-x,-4-2y)? (x,-2)=0.

uuu r

uuu r

uur u

uuu uuu r r

uur u

1 2 x -2. 4 1 1 1 (Ⅱ)设 P(x 0 ,y 0 )为曲线 C:y= x 2 -2 上一点,因为 y ' = x,所以 l 的斜率为 x 0 4 2 2 1 2 因此直线 l 的方程为 y ? y0 ? x0 ( x ? x0 ) ,即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? x0 ? 0 。 2
所以曲线 C 的方程式为 y= 则 o 点到 l 的距离 d ?
2 | 2 y0 ? x0 | 2 x0 ? 4

.又 y0 ?

1 2 x0 ? 2 ,所以 4

1 2 x0 ? 4 1 4 2 d?2 ? ( x0 ? 4 ? ) ? 2, 2 2 x0 ? 4 2 x0 ? 4
当 x0 =0 时取等号,所以 o 点到 l 距离的最小值为 2. (21) (本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x) ?
2

a ln x b ? , 曲 线 y ? f ( x) 在 点 ( 1 , f x ?1 x

( 1处)的 切 线 方 程 为 )

x ? 2y ? 3 ? 0 。
(Ⅰ)求 a 、 b 的值; (Ⅱ)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x) ?

ln x k ? ,求 k 的取值范围。 x ?1 x

解析: (Ⅰ) f '( x) ?

?(

x ?1 ? ln x) b x ? 2 2 ( x ? 1) x

? f (1) ? 1, 1 ? 由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率为 ? ,且过点 (1,1) ,故 ? 1 即 2 ? f '(1) ? ? 2 , ? ?b ? 1, ? ?a 1 ?2 ?b ? ? 2 , ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 解得 a ? 1 , b ? 1。

ln x 1 ? ,所以 x ?1 x

ln x k 1 (k ? 1)( x 2 ? 1) f ( x) ? ( ? )? (2 ln x ? )。 x ?1 x 1 ? x2 x
考虑函数 h( x) ? 2ln x ?

(k ? 1)( x 2 ? 1) (k ? 1)( x 2 ? 1) ? 2 x 。 ( x ? 0) ,则 h '( x) ? x2 x

(i)设 k ? 0 , h '( x) ? 由

k ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1) 2 知, x ? 1 时,h '( x) ? 0 , 当 h(x)递减。 h(1) ? 0 而 x2

故当 x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,可得

1 h( x ) ? 0 ; 1 ? x2 1 当 x ? (1,+ ? )时,h(x)<0,可得 h(x)>0 1? x2 ln x k ln x k 从而当 x>0,且 x ? 1 时,f(x)-( + )>0,即 f(x)> + . x ?1 x x ?1 x
2 2

x (ii)设 0<k<1.由于 (k ? 1)(x ? 1)? 2 = (k ? 1) x ? 2 x ? k ? 1 的图像开口向下,且
2 ? ? 4 ? 4(k ? 1) ? 0,对称轴 x=

1 1 2 ? 1 当 x ? (1, )时, (k-1) +1)+2x>0,故 (x 1? k 1? k . 1 )时,h(x)>0,可 1? k


h ' (x)>0,而 h(1)=0,故当 x ? (1,
1 h(x)<0,与题设矛盾。 1? x2

(iii)设 k ? 1.此时 x ? 1 ? 2 x , (k ? 1)( x ? 1) ? 2 x ? 0 ? h (x)>0,而 h(1)=0,
2
2

'

故当 x ? (1,+ ? )时,h(x)>0,可得

1 h(x)<0,与题设矛盾。 1? x2

综合得,k 的取值范围为(- ? ,0] 点评;求参数的范围一般用离参法, 然后用导数求出最值进行求解。 若求导后不易得到极值点,

可二次求导,还不行时,就要使用参数讨论法了。即以参数为分类标准,看是否符合题意。 求的答案。此题用的便是后者。 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时 请写清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲如图, D , E 分别为 ?ABC 的边 AB ,AC 上的点, 且不与 ?ABC 的顶点重合。 已知 AE 的长为 m ,AC 的长为 n, AD , AB 的长是关于 x 的方程

x2 ? 14 x ? mn ? 0 的两个根。
(Ⅰ)证明: C , B , D , E 四点共圆; (Ⅱ)若 ?A ? 90? ,且 m ? 4, n ? 6 ,求 C , B , D , E 所在圆的半径。 解析: (I)连接 DE,根据题意在△ADE 和△ACB 中, AD ? AB ? mn ? AE ? AC 即

AD AE .又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB ? AC AB
所以 C,B,D,E 四点共圆。

(Ⅱ)m=4, n=6 时,方程 x -14x+mn=0 的两根为 x1=2,x2=12. 故 AD=2,AB=12. 取 CE 的中点 G,DB 的中点 F,分别过 G,F 作 AC,AB 的垂 线,

2

两垂线相交于 H 点,连接 DH.因为 C,B,D,E 四点共圆,所以 C,B,D,E 四点所在圆的圆心 为 H,半径为 DH. 由于∠A=90 ,故 GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5,DF= 故 C,B,D,E 四点所在圆的半径为 5 2 (23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为
0

1 (12-2)=5. 2

? x ? 2 cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? 2 ? 2sin ?
M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2 (Ⅰ)求 C2 的方程

uuv u

uuuv

(Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB . 解析; (I)设 P(x,y),则由条件知 M(

?
3

与 C1 的异于极点的

x y , ).由于 M 点在 C1 上,所以 2 2
? x ? 4 cos ? ? ? ? ? y ? 4 ? 4 sin ? ?

?x ? ? 2 ? 2 cos ? , ? ? ? ? ? ? y ? 2 ? 2sin ? ? ?2 ? ? ?
从而 C 2 的参数方程为



? x ? 4 cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? 4 ? 4sin ?
(Ⅱ)曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? 。 射线 ? ? 射线 ? ?

? ?
3 3

与 C1 的交点 A 的极径为 ?1 ? 4sin 与 C 2 的交点 B 的极径为 ? 2 ? 8sin

?

?
3

3

, 。

所以 | AB |?| ? 2 ? ? 1 |? 2 3 .

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 。 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ? x | x ? ?1

?

,求 a 的值。

解析: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 2 可化为 | x ? 1|? 2 。 由此可得

x ? 3 或 x ? ?1 。

故不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集为 {x | x ? 3 或 x ? ?1} 。 ( Ⅱ) 由 f ( x) ? 0 得

x ? a ? 3x ? 0

此不等式化为不等式组 ?

?x ? a ? x ? a ? 3x ? 0

或?

?x ? a ?a ? x ? 3x ? 0

?x ? a ? ? a 即 x? ? ? 4

?x ? a ? ? a 或 x?? ? ? 2

因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x | x ? ? 由题设可得 ?

a 2

?

a = ?1 ,故 a ? 2 2


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