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【金版学案】2014-2015学年高中数学苏教版必修三课时训练:1.4 算法案例]


数学· 必修 3(苏教版)

第1章

算法初步

1.4 算法案例

基 础 巩 固 1.高二年级两个班的学生一起排队出操,如果 9 人排一行,多出 一个人;如果 10 人排一行,同样多出一个人.已知每个班人数不超过 50,这两个班共有________人.

解析:如果将两个班的

人数减少 1 人,则 9 人一排或 10 人一排都 正好排完没有剩余,所以两班人数减 1 是 9 和 10 的公倍数,又因为每 个班人数不超过 50,可以求出 9 和 10 的最小公倍数,然后再加上 1. 所以,这两个班共有 9×10+1=91(人). 答案:91

2.把几十个苹果平均分成若干份,每份 9 个余 8 个,每份 8 个余 7 个,每份 4 个余 3 个.这堆苹果至少有________个.

解析:依题意知,这堆苹果总个数添进 1 个苹果后,正好是 9,8, 4 的倍数.因为 9,8,4 的最小公倍数是 9×8=72,所以这堆苹果至 少有 9×8-1=71(个). 答案:71

3.294 和 84 的最大公约数为________.

解析:294=84×3+42,84=42×2+0. 答案:42

4.两个整数 490 和 910 的最小公倍数是________.

解析:910=490×1+420,490=420×1+70,420=70×6+0. ∴490 与 910 的最大公约数是 70. ∴490 与 910 的最小公倍数是:(490×910)÷ 70=6 370. 答案:6 370

5.求方程 x3-2x=0 的近似解,要先将它近似地放在某两个连续 整数之间,最好应放在________之间.

答案:1 和 2

6.用辗转相除法和更相减损术求 80 和 36 的最大公约数.

解析:用辗转相除法: 80=36×2+8,36=8×4+4,8=4×2+0. 故 80 和 36 的最大公约数是 4. 用更相减损术: 80-36=44,44-36=8,36-8=28,28-8=20 20-8=12,12-8=4, 8-4=4.∴80 和 36 的最大公约数是 4.

7.写出用二分法求方程 x3-2x-3=0 在区间[1,2]内的一个近似 根(误差不超过 0.001)的一个算法伪代码.

解析:算法伪代码如下:

a←1 b←2 c←0.001 Do x0← a+b 2

f(a)←a3-2a-3 f(x0)←x03-2x0-3 If f(x0)=0 Then Exit Do If f(a)f(x0)<0 Then b←x0 Else a←x0 End If Until |a-b|<c End Do Print x0

能 力 升 级 8.现有长度为 2.4 m 和 5.6 m 两种规格的钢筋若干,要焊接一批 正方体模型, 问怎样设计, 才能保证正方体体积最大, 且不浪费材料?

解析:要焊接正方体,就是将两种规格的钢筋裁成长度相等的钢 筋条,为了保证不浪费材料,应使每一种规格的钢筋裁剪后无剩余, 因此裁剪的长度应是 2.4 和 5.6 的公约数,要使正方体的体积最大,亦 即棱长最长,就要使正方体的棱长为 2.4 和 5.6 的最大公约数.用欧几 里得辗转相除法求得 2.4 和 5.6 的最大公约数:5.6=2.4×2+0.8,2.4 =0.8×3+0, 即 2.4 和 5.6 的最大公约数为 0.8.因此将正方体的棱长设 为 0.8 m 时,体积最大且不浪费材料.

9. (2014· 武汉调考)分别用辗转相除法和更相减损术求(1)98 和 63; (2)8 251 和 6 105 的最大公约数,从中你有什么发现?

解析:辗转相除法是做两个数的带余除法,更相减损术是做两个 数的减法. (1)用辗转相除法: S1 S2 S3 S4 98=63×1+35, 63=35×1+28, 35=28×1+7, 28=4×7.

∴98 和 63 的最大公约数是 7. 用更相减损术:

S1 S2 S3 S4 S5 S6

98-63=35, 63-35=28, 35-28=7, 28-7=21, 21-7=14, 14-7=7,

∴98 和 63 的最大公约数为 7. (2)用辗转相除法: S1 S2 S3 S4 S5 S6 8 251=6 105×1+2 146, 6 105=2 146×2+1 813, 2 146=1 813×1+333, 1 813=333×5+148, 333=148×2+37, 148=37×4.

∴8 251 和 6 105 的最大公约数为 37. 用更相减损术: S1 S2 S3 S4 S5 S6 8 251-6 105=2 146, 6 105-2 146=3 959, 3 959-2 146=1 813, 2 146-1 813=333, 1 813-333=1 480, 1 480-333=1 147,

S7 S8 S9 S10 S11 S12 S13 S14

1 147-333=814, 814-333=481, 481-333=148, 333-148=185, 185-148=37, 148-37=111, 111-37=74, 74-37=37,

∴8 251 和 6 105 的最大公约数为 37. 发现:辗转相除法和更相减损术在本质上是一致的,但在实际操 作中,用辗转相除法比用更相减损术的计算步骤要少,但计算量相对 较大,因而二者各有千秋.

10.用辗转相除法或更相减损术求三个数 135,243,324 的最大 公约数.

解析: 方法一(辗转相除法): ∵324=243×1+81, 243=81×3+0, ∴324 与 243 的最大公约数为 81. 又∵135=81×1+54,81=54×1+27,54=27×2+0, ∴81 与 135 的最大公约数为 27. ∴三个数 135,243,324 的最大公约数为 27.

方法二(更相减损术):∵324-243=81,243-81=162,162-81 =81;135-81=54,81-54=27,54-27=27.∴三个数 135,243, 324 的最大公约数为 27.

1 3 2 11.有甲、乙、丙三种溶液,分别重 4 kg、3 kg、2 kg.现要 6 4 9 将它们分别全部装入小瓶中,每个小瓶装入液体的重量相同.问每瓶 最多装多少?

1 25 150 3 15 135 2 20 80 150 135 15 解析:4 = = ;3 = = ;2 = = ; - = ; 6 6 36 4 4 36 9 9 36 36 36 36 135 15 120 120 15 105 105 15 90 90 15 75 75 15 - = ; - = ; - = ; - = ; - = 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 60 60 15 45 45 15 30 30 15 15 ; - = ; - = ; - = ; 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 1 3 15 即 4 、3 的最大公约数是 . 6 4 36 80 15 65 65 15 50 50 15 35 35 15 20 20 15 5 - = ; - = ; - = ; - = ; - = ; 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 15 5 10 10 5 5 - = ; - = . 36 36 36 36 36 36 1 3 2 5 即 4 、3 、2 的最大公约数是 . 6 4 9 36 5 因此每瓶最多装 kg. 36

12.甲、乙、丙三种溶液分别重 147 g、343 g、133 g,现要将它 们分别全部装入小瓶中,每个小瓶装入液体的重量相同,问每瓶最多 装多少?

解析:由题意,每个小瓶应装的溶液的重量是三种溶液重量的最 大公约数.先求 147 与 343 的最大公约数:343=147×2+49,147= 49×3+0.所以 147 与 343 的最大公约数是 49.再求 49 与 133 的最大公 约数:133=49×2+35,49=35×1+14,35=14×2+7,14=7×2+ 0.所以 147,343,133 的最大公约数是 7. 因此每瓶最多装 7 g.

13.相传一片远古森林栖息着凤凰,麒麟和九头鸟,凤凰有 1 个 头,2 只脚,麒麟有 1 个头,4 只脚,九头鸟有 9 个头,2 只脚,它们 这 3 种动物的头共有 100 个,脚共有 100 只.问森林中 3 种动物各有 多少只?试设计一个算法并写出伪代码.

解析:设森林中有凤凰 x 只,麒麟 y 只,九头鸟 z 只.本题的关 键是如何考虑 x、y、z 三个变量之间的关系.由题意可知算法如下: S1 当凤凰 x=1 时,变量麒麟 y 的取值可以从 1 到 24; S2 让变量 y 从 1 开始取值(例如:y 的值为 1); S3 通过表达式(100-x-y)/9,计算 z 的值; S4 完成上述步骤后,x、y、z 三个变量都取到了自己相应的值,

但是这三个值是否是正确的呢?我们必须通过以下的两个条件来判 断:x+y+9z=100 且 2x+4y+2z=100; S5 如果两个条件全部满足,就输出 x、y、z 的值,如果不满足, 就让 y 值加 1,然后重复 S2 到 S4,直至 y 的取值超过 24. 然后让 x 的取值加 1 后,重复 S1 到 S5 的操作,直至 x 的取值超 过 50 为止,此时退出算法. 伪代码如下:

For

x y

From 1 From 1

To To

50 24

For

z←(100-x-y)/9 If 2x+4y+2z=100 x+y+9z=100 Print End If End For End For x,y,z And

Then

14.古希腊杰出的数学家丢番图的墓碑上有这样一首诗: 这里是一座古墓, 里面安葬着丢番图. “请你告诉我, 丢番图寿数几何?” “他的童年占去一生的六分之一, 接着十二分之一是少年时期, 又过了七分之一的时光, 他找到了终身伴侣. 五年之后, 婚姻之神赐给他一个儿子. 可是儿子命运不济, 只活到父亲寿数的一半, 就匆匆而去. 这对父亲是一个沉重的打击. 整整四年, 为失去爱子而悲伤, 终于告别数学, 离开人世.” 试写出其算法分析及流程图与伪代码.

解析:可设丢番图的寿数为 x,则 x 为正整数,并且依题意可有 1 1 1 1 x+ x+ x+5+ x+4=x.其算法为: 6 12 7 2

S1

x←1.

1 1 1 1 S2 判断 x+ x+ x+5+ x+4=x 是否成立. 6 12 7 2 如果成立,则输出 x,转至 S3; 如果不成立,则 x←x+1,转 S2. S3 结束. 其流程图与相应的伪代码如下.

x←1 If x/6+x/12+x/7+5+x/2+4=x Print x Else x←x+1 End If Then


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