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温州中学高三数学自选模块(不等式选讲)训练一 班级 姓名


温州中学高三数学自选模块(不等式选讲)训练一 班级
一、选择题 1.下列各式中,最小值等于 2 的是( A.

姓名


x y ? y x

B.

x2 ? 5 x ?4
2

C. tan ? ?

1 tan ?

>y

D. 2 ? 2
x

?x

2.若 x, y ? R 且满足 x ? 3 y ? 2 ,则 3 ? 27 ? 1 的最小值是(
x



A. 3 3 9

B. 1 ? 2 2

C. 6

D. 7 )

3.设 x ? 0, y ? 0, A ? A. A ? B C. A ? B

x? y x y ? , B? ,则 A, B 的大小关系是( 1? x ? y 1? x 1? y

B. A ? B D. A ? B

4.若 x, y, a ? R? ,且 x ?

y ? a x ? y 恒成立,则 a 的最小值是(
C. 1 D.



A.

2 2

B. 2

1 2

5.函数 y ? x ? 4 ? x ? 6 的最小值为( A. 2 B. 2 C. 4

) D. 6 )

6.不等式 3 ? 5 ? 2 x ? 9 的解集为( A. [?2,1)

[4,7)

B. (?2,1]

(4,7]

C. (?2, ?1] [4,7) 二、填空题 1.若 a ? b ? 0 ,则 a ?

D. (?2,1] [4,7)

1 的最小值是_____________。 b( a ? b)
a b b?m a?n , , , 按由小到大的顺序排列为 b a a?m b?n

2.若 a ? b ? 0, m ? 0, n ? 0 ,则

2 2 3.已知 x, y ? 0 ,且 x ? y ? 1,则 x ? y 的最大值等于_____________。

4.设 A ?

1 1 1 ? 10 ? 10 ? 10 2 2 ?1 2 ? 2

?

1 ,则 A 与 1 的大小关系是_____________。 2 ?1
11

1

5.函数 f ( x) ? 3 x ? 三、解答题

12 ( x ? 0) 的最小值为_____________。 x2
2 2 2

1.已知 a ? b ? c ? 1 ,求证: a ? b ? c ?

1 3

2.解不等式 x ? 7 ? 3x ? 4 ? 3 ? 2 2 ? 0

3.求证: a ? b ? ab ? a ? b ? 1
2 2

4.证明: 2( n ? 1 ? 1) ? 1 ?

1 1 1 ? ? ... ? ?2 n 2 3 n

2

温州中学高三数学自选模块(不等式选讲)训练二 班级
一、选择题 1.设 a ? b ? c, n ? N ,且 A. 2 B. 3

姓名
1 1 n ? ? 恒成立,则 n 的最大值是( a?b b?c a?c C. 4 D. 6
) D.最小值 ?1 ) )

x2 ? 2 x ? 2 2. 若 x ? (??,1) ,则函数 y ? 有( 2x ? 2
A.最小值 1 B.最大值 1 C.最大值 ?1

3.设 P ? 2 , Q ? 7 ? 3 , R ? 6 ? 2 ,则 P, Q, R 的大小顺序是( A. P ? Q ? R C. Q ? P ? R B. P ? R ? Q D. Q ? R ? P
3 3 2 2

4.设不等的两个正数 a , b 满足 a ? b ? a ? b ,则 a ? b 的取值范围是( A. (1, ??) C. [1, ] B. (1, ) D. (0,1)



4 3

4 3

? 5.设 a, b, c ? R ,且 a ? b ? c ? 1 ,若 M ? ( ? 1)( ? 1)( ? 1) ,则必有(

1 a

1 b

1 c



A. 0 ? M ?

1 8

B.

1 ? M ? 1 C. 1 ? M ? 8 8

D. M ? 8

6.若 a, b ? R ? ,且 a ? b, M ? A. M ? N 二、填空题 B. M ? N

a b ? , N ? a ? b ,则 M 与 N 的大小关系是 b a
D. M ? N

C. M ? N

1.设 x ? 0 ,则函数 y ? 3 ? 3 x ?

1 的最大值是__________。 x

2.比较大小: log3 4 ______ log6 7 3.若实数 x, y, z 满足 x ? 2 y ? 3z ? a(a为常数) ,则 x ? y ? z 的最小值为
2 2 2

4.若 a, b, c, d 是正数,且满足 a ? b ? c ? d ? 4 ,用 M 表示

a ? b ? c, a ? b ? d , a ? c ? d , b ? c ? d 中的最大者,则 M 的最小值为__________。
5.若 x ? 1, y ? 1, z ? 1, xyz ? 10 ,且 x
lg x

? ylg y ? z lg z ? 10 ,则 x ? y ? z ? _____ 。
3

三、解答题 1.如果关于 x 的不等式 x ? 3 ? x ? 4 ? a 的解集不是空集,求参数 a 的取值范围。

a 2 ? b2 ? c 2 a ? b ? c 2.求证: ? 3 3

3.当 n ? 3, n ? N 时,求证: 2n ? 2(n ? 1)

4.已知实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ,且有 a ? b ? c ? 1, a ? b ? c ? 1
2 2 2

求证: 1 ? a ? b ?

4 3

4

温州中学高三数学自选模块(不等式选讲)训练三 班级
一、选择题 1.若 log x y ? ?2 ,则 x ? y 的最小值是( )

姓名

A. C.

33 2 2
3 2

B. D.

23 3 3
2 3

3

2
a b c d ? ? ? , a?b?c b?c?d c?d ?a d ?a?b

? 2. a, b, c ? R ,设 S ?

则下列判断中正确的是( ) A. 0 ? S ? 1 B. 1 ? S ? 2 C. 2 ? S ? 3 D. 3 ? S ? 4 3.若 x ? 1 ,则函数 y ? x ? A. 16 C. 4 B. 8 D.非上述情况

1 16 x ? 的最小值为( x x2 ? 1



4. 设b ? a ? 0, 且P ?

a?b a 2 ? b2 , , M ? ab , N ? , , R? Q? 1 1 1 1 2 2 ? ? a 2 b2 a b

2

2

则它们的大小关系是( A. P ? Q ? M ? N ? R C. P ? M ? N ? Q ? R 二、填空题 1.函数 y ?

) B. Q ? P ? M ? N ? R D. P ? Q ? M ? R ? N

3x ( x ? 0) 的值域是 x ? x ?1
2

.

2.若 a, b, c ? R ? ,且 a ? b ? c ? 1 ,则 a ? b ? c 的最大值是 3.已知 ?1 ? a, b, c ? 1 ,比较 ab ? bc ? ca 与 ?1 的大小关系为 4.若 a ? 0 ,则 a ? .

1 1 ? a 2 ? 2 的最大值为 a a

.

5.若 x, y, z 是正数,且满足 xyz ( x ? y ? z ) ? 1 ,则 ( x ? y)( y ? z ) 的最小值为______。

5

三、解答题 1. 设 a, b, c ? R ? ,且 a ? b ? c ,求证: a 3 ? b 3 ? c 3
2 2 2

2.已知 a ? b ? c ? d ,求证:

1 1 1 9 ? ? ? a ?b b ?c c ?a a ?d

3.已知 a, b, c ? R ? ,比较 a ? b ? c 与 a b ? b c ? c a 的大小。
3 3 3 2 2 2

4.求函数 y ? 3 x ? 5 ? 4 6 ? x 的最大值。

5.已知 x, y, z ? R ,且 x ? y ? z ? 8, x ? y ? z ? 24
2 2 2

求证:

4 4 4 ? x ?3 , ? y ?3 , ?z ?3 3 3 3

6

温州中学高三数学自选模块(极坐标与参数方程)训练四 班级
一、选择题 1、已知点 M 的极坐标为 ? 5, ? ,下列所给出的四个坐标中能表示点 M 的坐标是(

姓名

? ?? ? 3?

) 。

?? ? A. ? 5, ? ? ? 3?

4? ? ? B. ? 5, ? ? 3?

2? ? ? C. ? 5, ? ? ? 3?

D. ? 5, ?

? ?

5? ? ? 3 ?

2、直线:3x-4y-9=0 与圆: ? A.相切 B.相离

? x ? 2 cos? ,(θ 为参数)的位置关系是( ? y ? 2 sin ?
C.直线过圆心

)

D.相交但直线不过圆心

3、在参数方程 ?

? x ? a ? t cos? (t 为参数)所表示的曲线上有 B、C 两点,它们对应的参数 ? y ? b ? t sin ?


值分别为 t1、t2,则线段 BC 的中点 M 对应的参数值是(

4、曲线的参数方程为 ?

? x ? 3t 2 ? 2 (t 是参数),则曲线是( 2 y ? t ? 1 ?
C、圆
2 2



A、线段

B、双曲线的一支
2 2

D、射线

5、实数 x, y 满足 3x ? 2 y ? 6 x ,则 x ? y 的最大值为(



A、

7 2

B、4

C、

9 2

D、5

二、填空题

?? ?? ? ? 6、若 A ? 3, ? ,B ? 4, (其中 O 是极点) ? ? ,则|AB|=__________,S?AOB =__________。 ? 3? 6? ?
7、椭圆 ?

? x ? 3 ? 3cos ? ??为参数? 的两个焦点坐标是________ ? y ? ?1 ? 5sin ?
7

_____。

8、极坐标方程 ? sin 2 ? ? 2 ? cos? ? 0 表示的曲线是_______

_____。 ____。

?? ? 9、圆心为 C ? 3, ? ,半径为 3 的圆的极坐标方程是______ ? 6?
10、直线 l 过点 M 0 ?1,5? ,倾斜角是 为 。 三、解答题 11、已知直线 l 经过点 P(1,1),倾斜角 ? ? (1)写出直线 l 的参数方程。

? ,且与直线 x ? y ? 2 3 ? 0 交于 M ,则 MM 0 的长 3
?
6



(2)设 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交与两点 A、B,求点 P 到 A、B 两点的距离之积。

12、求椭圆

x2 y2 1, 0)之间距离的最小值。 ? ? 1 上一点P与定点( 9 4

8

温州中学高三数学自选模块(极坐标与参数方程)训练五 班级
一、选择题 1.在极坐标系中,点 P( ? ,? ) 关于极轴对称的点的一个坐标是 ( )

姓名

A. (? ? ,?? )

B. ( ? ,?? )

C. ( ? , ? ? ? )

D. ( ? , ? ? ? )

2.极坐标方程 4 ? sin 2

?
2

? 5 表示的曲线是

(

)

A.圆

B.椭圆

C. 双曲线的一支圆

D.抛物线

? x ? 3 ? t sin 20 0 3.直线 ? (t 为参数)的倾斜角是 0 ? y ? 1 ? t cos 20

(
0

)

A.20

0

B.70

0

C.110

D.160

0

x ? 5 cos? ? 4.曲线 ? ( 为参数)的焦距是 ? ? y ? 4 sin ?

( C.10 D.8

)

A.3

B.6

? x? ? 5.当 t ? R 时,参数方程 ? ? ?y ? ? ?

? 8t 4 ? t 2 (t 为参数) ,表示的图形是 4 ?t2 4 ? t2

(

)

A.双曲线 二.填空题: 6.柱坐标 ? 2,

B.椭圆

C.抛物线

D.圆

? ?

2? ? ,1? 对应的点的直角坐标是 3 ?
?

_______ _____.

? 7.将参数方程 ?

x ? cos ? sin 2 2 ( ? 为参数)化为普通方程 ? 1 ? y ? (1 ? sin ? ) ? 2 ?

?

?

_______ _____.

8. 若直线的极坐标方程为 ? sin ? ? ?

? ?

??

2 , 则极点到该直线的距离是 _______ _____. ?? 4? 2

9

9.椭圆 ?

? x ? 5 ? 3cos ? ??为参数? 的离心率是_______ _____. ? y ? ?2 ? 4sin ?

2 2 x ? ?1 ? 2t 10. ? (t为参数) 与曲线(y-2) -x =1 相交于 A,B 两点,则点 M(-1,2)到弦 AB 的距离 ? ? y ? 3 ? 4t

是_____________ 三、解答题

,线段 AB 的中点坐标是

_______ _____.

11.设 O 是直径为 a 的圆上的一点,过 0 点任意作直线交圆于点 P,在射线 OP 上取一点 M,使

MP ? a ,当点 P 在圆上移运一周时,求相应的点 M 的轨迹方程.

12. 椭 圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与 x 轴 正 半 轴 交 于 点 A, 若 这 个 椭 圆 上 存 在 点 P, 使 a2 b2

OP ? AP (O 为原点),求椭圆的离心率 e 的取值范围.

10

温州中学高三数学自选模块(极坐标与参数方程)训练六 班级
一.选择题 1.曲线的极坐标方程 ? ? 4 sin ? 化为直角坐标为( A. x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 C. ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 2.直线 y ? 2 x ? 1 的参数方程是(
2 ? A. ? x ? t 2 ? y ? 2t ? 1

姓名

) 。

B. x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 D. ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 ) 。

? x ? 2t ? 1 B. ? ? y ? 4t ? 1

? x ? t ?1 C. ? ? y ? 2t ? 1

x ? sin ? D. ? ? ? y ? 2 sin ? ? 1
) 。

3.参数方程 ?

? x ? 2 ? sin 2 ? ( ? 为参数)化为普通方程是( ? y ? ?1 ? cos 2?
B. 2 x ? y ? 4 ? 0

A. 2 x ? y ? 4 ? 0 C. 2 x ? y ? 4 ? 0 x ? [2,3]

D. 2 x ? y ? 4 ? 0 x ? [2,3] ) 。

4.直线 l: y ? kx ? 2 ? 0 与曲线 C: ? ? 2 cos? 相交,则 k 的取值范围是( A. k ? ?

3 4

B. k ? ?

3 4

C. k ? R

D. k ? R 但 k ? 0

5.若圆的方程为 ? ( ) 。

? x ? ?1 ? 2 cos? ? x ? 2t ? 1 ,直线的方程为 ? ,则直线与圆的位置关系是 ? y ? 3 ? 2 sin? ? y ? 6t ? 1

A.过圆心 二.填空题

B.相交而不过圆心

C.相切

D.相离

6.点 ?2, ? 2? 的极坐标为



7 . 在 同 一 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 直 线 x ? 2 y ? 2 变 成 直 线 2 x? ? y ? ? 4 的 伸 缩 变 换 是 。

8.在极坐标中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线 ? ? 4 cos? 于 A、B 两点,则

11

|AB|=



t ? ? x ? 2? 2 ? 9.设直线参数方程为 ? ( t 为参数) ,则它的斜截式方程为 3 ?y ? 3 ? t ? 2 ?
x ? cos? 10.曲线 C: ? ( ? 为参数)的普通方程为 ? ? y ? ?1 ? sin ?



;如果曲线 C 与直线

x ? y ? a ? 0 有公共点,那么实数 a 的取值范围为
三.解答题



11.如图,连结原点 O 和抛物线 y ? 2 x 2 上的动点 M,延长 OM 到点 P,使|OM|=|MP|,求 P 点的轨迹方程,并说明曲线类型。 (14 分) y P M 0 x

2 12.如图,过抛物线 y ? 2 px ( p >0)的顶点作两条互相垂直的弦 OA、OB。

⑴设 OA 的斜率为 k,试用 k 表示点 A、B 的坐标; ⑵求弦 AB 中点 M 的轨迹方程。 (14 分)

y A 0 M x

B

12

温州中学高三数学自选模块(极坐标与参数方程)训练七 班级
一.选择题 1.已知点 P 的极坐标是(1, ? ) ,则过点 P 且垂直极轴的直线方程是( A. ? ? 1 B. ? ? cos? C. ? ? ? ) 。 ) 。

姓名

1 cos ?

D. ? ?

1 cos ?

1 ? x ? t ? 表示的曲线是( 2.方程 ? ? t ? ? y?2

A.一条直线

B.两条射线

C.一条线段

D.抛物线的一部分

3.设点 P 对应的复数为-3+3i,以原点为极点,实轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点 P 的极 坐标为( A.( 3 2 , )

3 ?) 4

B. ( ? 3 2 ,

5 ?) 4

C. (3,

4.在极坐标系中,曲线 ? ? 4 sin(? ? A.直线 ? ?

?

5 ?) 4
) 。

D. (-3,

3 ?) 4

?
3

对称

B.直线 ? ?

5? ? 对称 C.点(2, )中心对称 D.极点中心对称 6 3
) 。

3

) 关于(

1 ? x? ? t 5.参数方程 ? ( t 为参数)所表示的曲线是( 1 2 ?y ? t ?1 t ?
y y y

y

0

x

0

x

0

x

0

x

A 二.填空题 6.球坐标 ? 2,

B

C

D

? ?

? ??

, ? 对应的点的直角坐标是 6 3?
t

_______ _____.

? et x? ? 7.将参数方程 ? ? t ?y ? e ? ?

? e? (t 为参数)化为普通方程: 2 ?t ?e 2
13

_______ _____.

8.在极坐标中,过点 ?1,

3? ? ?? ? ? 和点 ? 2, 8 ? 8? ?

? ? 的直线的倾斜角是 _______ _____. ?

9.直线 x ? y ? 1 的一个参数方程是 _______ _____. 10.O 是坐标原点,P 是椭圆 ?

? x ? 3cos ? ? ? 为参数? 上离心角为- 所对应的点,那么直 ? 6 ? y ? 2sin ?

线 OP 的倾斜角的正切值是_______ _____. 三.解答题 11. 已知三点 A(5,

? 11 7 ) ,B(-8, ? ) ,C(3, ? ) ,求证Δ ABC 为正三角形。 2 6 6

12. 在气象台 A 正西方向 300 千米处有一台风中心,它以每小时 40 千米的速度向东北方向 移动,距台风中心 250 千米以内的地方都要受其影响。问:从现在起,大约多长时间后,气 象台 A 所在地将遭受台风影响?持续多长时间? (注: 7 ? 2.65, 2 ? 1.41)

14

温州中学高三数学自选模块(不等式选讲)训练一答案
一、选择题 2.D 3.B 1.D

2x ? 0, 2? x ? 0,? 2x ? 2? x ? 2 2x 2? x ? 2

3x ? 33 y ?1 ? 2 3x ? 33 y ?1 ? 2 3x ?3 y ?1 ? 7
B? x y x y x? y ? ? ? ? ? A ,即 A ? B 1? x 1? y 1? x ? y 1? y ? x 1? x ? y

4.B

x2 ? y 2 x ? y 2 ? ,即 x2 ? y 2 ? ( x ? y) , 2 2 2
? x? y ? 2 ( x ? y ) ,而 x ? y ? a x ? y , 2
1 1 2 ( x ? y ) 恒成立,得 ? ,即a ? 2 a a 2

即 x? y ? 5.A

y ? x ?4 ? x ?6 ? x ?4?6? x ? 2
? 2 x ? 5 ? 9 ??9 ? 2 x ? 5 ? 9 ??2 ? x ? 7 ? ?? ?? ,得 (?2,1] [4,7) ? 2 x ? 5 ? 3, 或 2 x ? 5 ? ? 3 x ? 4, 或 x ? 1 2 x ? 5 ? 3 ? ? ? ?
1. 3

6.D

二、填空题

(a ? b) ? b ?

1 1 ? 3 3 (a ? b) ? b ? ?3 b(a ? b) b(a ? b)

2.

b b?m a?n a b b? m ? ? ? ? 1, 由糖水浓度不等式知 ? a a?m b?n b a a? m b b?n a a?n a?n a ? 1 ,得 ? ? 1 ,即 1 ? ? 且 ? a a?n b b?n b?n b

3. 2 4. A ? 1

x? y ? 2

x2 ? y 2 , x ? y ? 2 x2 ? y 2 ? 2 2

A?

1 1 1 ? 10 ? 10 ? 10 2 2 ?1 2 ? 2

?

1 1 1 1 ? 10 ? 10 ? 10 ? 2 ?1 2 2 2
11 210 个

?

1 ?1 210

5. 9

12 3 x 3 x 1 2 3 x3 x3 1 2 f ( x)? 3x? 2 ? ? ?2 ? 3 ? ? 9 ? x 2 2 x 2 2 x2
1.证明:

三、解答题

a2 ? b2 ? c2 ? (a ? b ? c)2 ? (2ab ? 2bc ? 2ac) ? (a ? b ? c)2 ? 2(a2 ? b2 ? c2 )

15

?3(a2 ? b2 ? c2 ) ? (a ? b ? c)2 ? 1
另法一:

? a 2 ? b 2 ? c 2?

1 3

1 ( a ? b ? c) 2 a 2 ? b2 ? c 2 ? ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 3 3

1 1 ? (2a 2 ? 2b 2 ? 2c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ac) ? [( a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (a ? c) 2 ] ? 0 3 3 1 ? a 2 ? b 2 ? c 2? 3
另法二:

(12 ? 12 ? 12 )(a2 ? b2 ? c2 ) ? (a ? b ? c)2 ? 1
2 2 2

即3( a2 ? b 2 ? c 2 ) ? , 1 ?a ? b ? c ?

1 3

2.解:原不等式化为 x ? 7 ? 3x ? 4 ? 2 ? 1 ? 0 当x?

4 2 4 2 时,原不等式为 x ? 7 ? (3x ? 4) ? 2 ?1 ? 0 得 x ? 5 ? ,即 ? x ? 5 ? ; 3 2 3 2 4 1 2 时,原不等式为 x ? 7 ? (3x ? 4) ? 2 ?1 ? 0 得 x ? ? ? , 3 2 4

当 ?7 ? x ?

即?

1 2 4 ? ?x? ; 2 4 3 2 ,与 x ? ?7 矛盾; 2

当 x ? ?7 时,原不等式为 x ? 7 ? (3x ? 4) ? 2 ?1 ? 0 得 x ? 6 ?

所以解为 ? 3.证明:

1 2 2 ? ? x ? 5? 2 4 2

(a2 ? b2 ) ? (ab ? a ? b ?1)

1 2 ? a 2 ? b 2 ? ab ? a ? b ? 1 ? (2a 2? 2b ? 2ab ? 2a ? 2b ? 2) 2 1 1 2 2 ? [(a 2 ? 2ab ? b 2) ? (a 2? 2a ? 1) ? (b ? 2b ? 1)] ? [(a ? b) ? (a ? 1) ?2(b ? 1) ] ?2 0 2 2 2 2 ? a ? b ? ab ? a ? b ? 1
4.证明:

1 1 1 ? ? k ?1 ? k 2 k k ?1 ? k 1 1 1 1 ? 2( k ? k ? 1) ? 2( n ? 1 ? 1) ? 1 ? ? ? ... ? ?2 n k 2 3 n
16

? 2( k ? 1 ? k ) ?

温州中学高三数学自选模块(不等式选讲)训练二答案
一、选择题 1.C

a ?c a ?c a ?b ?b ?c a ?b ?b ?c b ?c a ?b ? ? ? ? 2? ? ?4 a ?b b?c a ?b b?c a ?b b ?c 1 1 4 1 1 n ? ? ? ? ? ,而 恒成立,得 n ? 4 a ? b b? c a ? c a?b b?c a?c

2.C

( x ? 1)2 1 x ?1 1 1? x 1 y? ? ? ? ? ?2 ? ? ?1 2x ? 2 2x ? 2 2 2( x ? 1) 2 2(1 ? x)

3.B 又

2 ? 2 ? 2 2 ? 6,? 2 ? 6 ? 2 ,即 P ? R ;

6? 3? 7? 2, ?

6?

2?

7? ,即 3 R ? Q ,所以 P ? R? Q
( a ? b) 2 4

4.B

a2 ? ab ? b2 ? a ? b,(a ? b)2 ? (a ? b) ? ab ,而 0 ? ab ?
4 ( a ? b) 2 ,得 1 ? a ? b ? 3 4

所以 0 ? (a ? b) ? (a ? b) ?
2

5.D

M ?(

a?b?c a?b?c a?b?c (b ? c)(a ? c)(a ? b) ? 1)( ? 1)( ? 1) ? a b c abc

?

8 ab bc ac ?8 abc
a b ? b ? 2 a, ? a ?2 b b a

6.A

a ? b,?

?

a b a b ? b? ? a ? 2 b ? 2 a ,即 ? ? b? a b a b a

二、填空题 1. 3 ? 2 3 2. ?

y ? 3 ? 3x ?

1 1 ? 3 ? 2 3x ? ? 3 ? 2 3 ,即 ym a x? 3 ? 2 3 x x
a b b b

a b 设 log3 4 ? a,log6 7 ? b ,则 3 ? 4 , 6? ,得 7 7? 3 ? 4? 6 ? 4? 2 ? 3

即3

a ?b

?

4 ? 2b 4 ? 2b a ?b b ?1? a ? b ? 0 ? a ? b ,显然 b ? 1, 2 ? 2 ,则 3 ? 7 7
2 2 2 (1 ? 2 ? 3 x ) ( 2 ?y 2

a2 3. 14

?z

2

) ? x( ? y 2 ? z3 2 )?a 2
a2 14

2 ?x ? y ? z ? 即1 4 x ( 2 ? y 2 ? z 2 )? a,
2 2 2

17

4. 3

M?

1 (a ? b ? c ? a ? b ? d ? a ? c ? d ? b ? c ? d ) 4 3 ? (a ? b ? c ? d ) ? 3 ,即 M m i n? 3 4
lz g 2 2 )? 1? l gx ? lg y ? 2 lg z ?

5. 12

g lgx ( l gx ? y l y ?z

1

而 lg2 x ? lg2 y ? lg2 z ? (lg x ? lg y ? lg z)2 ? 2(lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x)

? [lg( xyz )]2 ? 2(lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x) ? 1 ? 2(lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x) ? 1

即 lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x ? 0 ,而 lg x,lg y,lg z 均不小于 0 得 lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x ? 0 , 此时 lg x ? lg y ? 0 ,或 lg y ? lg z ? 0 ,或 lg z ? lg x ? 0 , 得 x ? y ? 1, z ? 10 ,或 y ? z ? 1, x ? 10 ,或 x ? z ? 1, y ? 10 三、解答题 1.解:

? x ? y ? z ? 12

x ? 3 ? x ? 4 ? ( x ? 3) ? ( x ? 4) ? 1

?( x ? 3 ? x ? 4 m )i n? 1
当 a ? 1 时, x ? 3 ? x ? 4 ? a 解集显然为 ? , 2.证明: 所以 a ? 1

(12 ? 12 ? 12 )(a2 ? b2 ? c2 ) ? (a ? b ? c)2
a 2 ? b 2 ? c 2 (a ? b ? c ) ? 3 9
2

?
3.证明:



a2 ? b 2? c 2 a ? b ? c ? 3 3

1 2 n 1 n?1 n 2n ? (1 ?1)n ? 1 ? Cn ? Cn ? ...Cn ? 1 ? Cn ? Cn ? Cn ? 2(n ? 1)

(本题也可以用数学归纳法) ? 2n ? 2 n ( ?1 )

4.证明:

a ? b ? 1 ? c, ab ?

( a ? b) 2 ? ( a 2 ? b 2 ) ? c2 ? c 2

? a, b 是方程 x2 ? (1 ? c) x ? c2 ? c ? 0 的两个不等实根, 则 ? (1 ? c)2 ? 4(c2 ? c) ? 0 ,得
1 ? ? c ?1 3
2 2

而 (c ? a) (c? b)? c ? ( a? b ) c ? ab ?0
2

即 c ? (1 ? c)c ? c ? c ? 0 ,得 c ? 0, 或c ?

2 3

所以 ?

1 4 ?c ?0 ,即 1 ? a ? b ? 3 3

18

温州中学高三数学自选模块(不等式选讲)训练三答案
一、选择题 1.A 由 log x y ? ?2 得 y ? 而x? y ? x? 2.B

1 , x2

1 x x 1 x x 1 1 3 ? ? ? 2 ? 33 ? ? 2 ? 33 ? 3 2 2 x 2 2 x 2 2 x 4 2

a b c d ? ? ? a ?b?c b?c ?d c ?d ?a d ?a ?b a b c d ? a ? b ? c d ? ? ? ? ? 1? a ? b ? c ? d b? c? d ? a c ? d? a ? b d ? a ? b ? c ? a ? b ? c a a c c b b d d ? ? ? ? 即 S ? 1, , , , a?b?c a?c c?d ?a a?c b?c?d b?d d ?a?b d ?b a c c a b d d b ? ? ? ?1, ? ? ? ?1 得 a?b?c c?d ?a a?c a?c b?c?d d ?a ?b d ?b b?d a b c d ? ? ? ? 2 ,得 S ? 2 ,所以1 ? S ? 2 即 a?b?c b?c?d c?d ?a d ?a?b 1 16 x 1 16 3.B y ? x? ? 2 ? x? ? ? 2 16 ? 8 x x ?1 x x? 1 x R 为平方平均数,它最大 4.A
二、填空题 1. [?3, 0)

d

1 1 3x 3 ? x ? ? ? 2得 , x ? ? 1 ? ?1 , x?0, ? x x x ? x ?1 x ? 1 ?1 x 1 3 ?1 ? ? 0 ? ?3 ? ? 0 ? ?3 ? y ? 0 1 1 x ? ?1 x ? ?1 x x

y?

2

2. 3 3. ?

2 2 (1 ? a ? 1? b ?1 ? c2 ) ?2( 1 ? 1 ? 1a ) ( b ? c ?

)? 3

? b? c ,则 1 f (1) ? (? 1b ) ? (1 c ?), 0 构造单调函数 f ( x)? (b? c) x f (?1) ? (?1 ? b)(?1 ? c) ? (1 ? b)(1 ? c) ? 0 ,即 ?1 ? x ? 1 , f ( x) ? 0 恒成立,
所以 f (a) ? (b ? c)a ? bc ? 1 ? 0 ,即 ab ? bc ? ca ? ?1

4. 2 ? 2

设 a ?
2

1 1 1 2 2 2 ,则 a ? 2 ? t ,即 a ? ? t ? 2 ? t( t ? 2 ) 2 a a a

再令 y ? a ? 即 t ?[

1 1 t ?1 ? 0 ? a 2 ? 2 ? t 2 ? 2 ? t (t ? 2) , y ' ? a a t2 ? 2

2 ,? ?时, ) y 是 t 的减函数,得 t ? 2 时, ym a x? 2 ? 2
19

5. 2

( x ? y) ( y? z)? x y ?2 y ? y ? z
a b a , b, c ? R ? , ? ? 1 c c
2 2 2 a b ? 1, 0 ? ? a 13, b 3, c 3, ? c c
2 3

z? x ( y ?x ?y ) ? z

2 ? zx (

y ?x? )y

z2 ?z x

三、解答题 1.证明:

?0 ?
2 3

0

a ?b
2

c3
2.证明:

2 2 2 a 2 b 2 a b a ?b 3 3 3 3 ?( ) ?( ) ? ? ? ? 1, ? a ? b ? c 3 c c c c c

a ? b ? c ? d ,? a ? b ? 0, b ? c ? 0, c ? d ? 0

?(

1 1 1 1 1 1 ? ? )(a ? d ) ? ( ? ? )[( a ? b) ? (b ? c) ? (c ? d )] a ?b b?c c ?a a ?b b ?c c ?a

? 33
?

1 1 1 ? ? ? 3 3 (a ? b)(b ? c)(c ? d ) ? 9 a ?b b ?c c ?a

1 1 1 9 ? ? ? a ?b b?c c ?a a ?d
3 3 3

3.解:取两组数: a, b, c 与 a 2 , b2 , c 2 ,显然 a ? b ? c 是同序和,
2 a2 b? b ? c 2 2 c a a3 ? b3 ? c3 ? a 2 b? b2 c ? c a 是乱序和,所以

4.解:函数的定义域为 [5, 6] ,且 y ? 0

y ? 3? x ? 5 ? 4 ? 6 ? x

? 32 ? 42 ? ( x ? 5) 2 ? ( 6 ? x ) 2 ?5
5.证明:显然 x ? y ? 8 ? z, xy ?

ymax ? 5

( x ? y)2 ? ( x 2 ? y 2 ) ? z 2 ? 8 z ? 20 2

? x, y 是方程 t 2 ? (8 ? z) x ? z 2 ? 8z ? 20 ? 0 的两个实根,
由 ? 0得

4 4 4 ? z ? 4 ,同理可得 ? y ? 4 , ? x ? 4 3 3 3

20

21


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