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椭圆,双曲线,抛物线,导数知识点


高中数学选修 1-1 知识点

一、圆锥曲线:椭圆和双曲线的基本知识 椭圆 焦点的位置 定义 标准方程 焦点在 x 轴 椭圆 焦点在 y 轴 双曲线 焦点在 x 轴 双曲线 焦点在 y 轴

到顶点的距离之和等于常数 2a 的轨迹叫做椭圆 (2a>2c)

到两点距离之差的绝对值等于常数 2a(0<2a<

;2c)的点的 轨迹叫做双曲线

x2 y2 ? ?1 a 2 b2

y2 x2 ? ?1 a2 b2

x2 y2 ? ?1 a 2 b2

y2 x2 ? ?1 a 2 b2

图形

x,y 取值范围

? a ? x ? a,?b ? y ? b
A1 ( ? a,0), A2 ( a,0) B1 ( ?b,0), B2 (b,0) F ( 1 ? c,0), F2 (c,0)

? b ? x ? b,?a ? y ? a

x ? a或x ? ?a, y ? R

y ? a或y ? ?a, x ? R

顶点坐标

A1 (0,? a ), A2 (0, a ) B1 ( ?b,0), B2 (b,0) F1 (0,?c ), F2 (0, c )

(- a,0) , (a,0)

(0,?a), (0, a)

焦点坐标 通径

( ? c,0)
PQ ? 2b 2 a

(0,?c)
PQ ? 2b 2 a

(0, c), (0,?c)
PQ ? 2b 2 a

(c, o), (?c,0)
PQ ? 2b 2 a

对称轴

x,y 轴 对称中心:原点

x,y 轴 对称中心:原点 长轴长 2a,短轴长 2b

x,y 轴 对称中心:原点

x,y 轴 对称中心:原点

长轴、短轴 长轴长 2a,短轴长 2b (实轴、虚轴) 焦半径公式

实轴长=2a,虚轴长=2b.
c x a c y a

PF ? a ?

c x a

PF ? a ?

c y a

PF ? a ?

PF ? a ?

离心率

e?
几个常数关系 渐近线 焦点三角形

c b2 ? 1? 2 a a

e?

c b2 ? 1? 2 a a

e?

c b2 ? 1? 2 a a

e?

c b2 ? 1? 2 a a

a 2 ? b2 ? c 2


a 2 ? b2 ? c 2


c 2 ? a 2 ? b2

c 2 ? a 2 ? b2

y??

S ? b 2 tan

?
2
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b x a

y??

S ? b 2 cot

?
2

a x b

高中数学选修 1-1 知识点

二、椭圆与直线的位置关系 判断直线 l 椭圆 C 的位置关系时,可将直线 l 的方程代入椭圆 C 的方程消去 y 得到一个关于 变量 x 的方程 ax ? bx ? c ? 0
2

(1) ? ? 0 , l 与 C 相交, ? ? 0 , l 与 C 相切, ? ? 0 l 与 C 相离 (2)弦长公式 AB ? 1 ? k x1 ? x2 ? 1 ? k
2 2

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2

? a

三、双曲线与直线的位置关系 判断直线 l 双曲线 C 的位置关系时,可将直线 l 的方程代入椭圆 C 的方程消去 y 得到一个关 于变量 x 的方程 ax ? bx ? c ? 0
2

(1) a ? 0 时,则有 ? ? 0 , l 与 C 相交; ? ? 0 , l 与 C 相切; ? ? 0 l 与 C 相离 (2) a ? 0 时,即得到一个方程则 l 与 C 相交,并且只有一个焦点 l 平行于双曲线的渐近线 四、抛物线的基础知识 定义 标准方程 平面内到顶点 F 和定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点 F 不在直线 l 上)定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线

y 2 ? 2 px( p ? 0) y 2 ? ?2 px( p ? 0)

x 2 ? 2 py( p ? 0)

x 2 ? ?2 py( p ? 0)

图形

对称轴 焦点 顶点 准线 离心率 通径 焦半径公式

x轴

x轴

y轴

y轴

p F( ,0) 2 x?? p 2

F( ? p 2

p ,0) 2

p F(0, ) 2
顶点(0,0)

p F(0,? ) 2 y? p 2

x?

y??

p 2

e ?1
2p,这是抛物线的过焦点的所有弦中最短的弦

x0 ?

p 2

p ? x0 2

y0 ?

p 2

p ? y0 2

五、导数的定义: 1.函数的平均变化率 已知函数 y ? f ( x) 在 x0 及其附近有定义,则比值 函数的平均变化率
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?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? (?x ? 0) 叫做 ?x ?x

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2.平均速度与瞬时速度 设物体运动路程与时间的关系是 s ? s (t ) , 从 t 0 到 t0 ? ?t 这段时间内,物体的平均速度

?s s(t0 ? ?t ) ? s(t0 ) ?s s(t0 ? ?t ) ? s(t0 ) 当 ?t ? 0 时,比值 ? ? 常数 ,那么把这个 ? ?t ?t ?t ?t
常数称为 s ? s (t ) 在 t 0 处的瞬时速度 3.导数 f ' ( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim ? x ? o ?x ?x

4.求函数 y ? f ( x) 在 x0 处的导数的步骤 ①求函数值的变化量 ?y ? f ( xo ? ?x) ? f ( x0 )

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ?x ?x ?y ③求导数: f ' ( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x
②求平均变化率 六、导数的运算 1.基本函数的导数

C ' ? 0(C为常数) , ( x n )' ? nxn ?1 , (sin x)' ? cos x, (cos x)' ? ? sin x
(e x )' ? e x , (a x )' ? a x ln a, (ln x)' ?
2.运算法则:① ?u ( x) ? v( x)?' ? u ' ( x) ? v' ( x) ② ?u ( x)v( x)? ? u ' ( x)v( x) ? u ( x)v' ( x) ③?

1 1 x , (log a )' ? x x ln a

? u ( x ) ? u ' ( x )v ( x ) ? u ( x )v ' ( x ) ? '? v( x) 2 ? v( x) ?

3.复合函数的求导数步骤:分解—求导—回代。法则:

dy dy du ? ? dx du dx

4.导数的几何意义;曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 七、函数的应用 1.单调性 一般地,设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导 如果在这个区间内 f ' ( x) ? 0 ,则 y ? f ( x) 在这个区间上是增函数 如果在这个区间内 f ' ( x) ? 0 ,则 y ? f ( x) 在这个区间上是减函数 函数 y ? f ( x) 在(a,b)有 f ' ( x) ? 0 ? f ( x) 在(a,b)上单调递增 ? f ' ( x) ? 0 在(a,b)上恒成立

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