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湖北省武汉外国语学校2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年湖北省武汉外国语学校高一(上)期中数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. (5 分)函数 f(x)=lg(x﹣1)的定义域是() A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.[1,+∞) D.[2,+∞) 2. (5 分)设集合 A={x|1<x<4},集

合 B={x|x ﹣2x﹣3≤0},则 A∩(?RB)=() A.(1,4) B.(3,4) C.(1,3) D.(1,2)∪(3,4) 3. (5 分)设函数 f(x) ,g(x)的定义域都为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则 下列结论正确的是() A.f(x)?g(x)是偶函数 B. |f(x)|?g(x)是奇函数 C. f(x)?|g(x)|是奇函数 D.|f(x)?g(x)|是奇函数
2

4. (5 分)已知函数

,则 f[f( )]=()

A.4

B.

C . ﹣4

D.﹣

5. (5 分)若函数 f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16) , (0,8) , (0,4) , (0,2)内, 那么下列命题中正确的是() A.函数 f(x)在区间(0,1)内没有零点 B. 函数 f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点 C. 函数 f(x)在区间(1,16)内有零点 D.函数 f(x)在区间(2,16)内没有零点 6. (5 分)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是() A.f(x)= B.f(x)=x
3

C.f(x)=

D.f(x)=3

x

7. (5 分)已知函数 A. B.

的最大值为 M,最小值为 m,则 的值为() C.
a b c

D.

8. (5 分)设 a,b,c 都是正数,且 3 =4 =6 ,那么() A. = + B. = + C. = + D. = +

9. (5 分)函数 f(x)=loga(ax ﹣x)在区间[2,4]上是增函数,则实数 a 的取值范围是() A. ≤a< 或 a>1 B. ≤a<1 或 a>1 C.0<a≤ 或 a>1 D.a>1

2

10. (5 分) 设函数 f (x) =﹣

(x∈R) , 区间 M=[a, b] (a<b) , 集合 N={y|y=f (x) , x∈M},

则使 M=N 成立的实数对(a,b)有() A.0 个 B. 1 个

C. 2 个

D.无数多个

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (5 分)若 xlog34=1,则 4 +4 12. (5 分)已知幂函数 y=x 则 m=.
m﹣3 x
﹣x

的值为.
*

(m∈N )的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上单调递减,

13. (5 分)函数

的单调递增区间为.

14. (5 分)[x]表示不超过 x 的最大整数,定义函数 f(x)=x﹣[x].则下列结论中正确的有 ①函数 f(x)的值域为[0,1]; ②方程 f(x)= 有无数个解 ③函数 f(x)的图象是一条直线; ④函数 f(x)是 R 上的增函数. 15. (5 分)已知函数 f(x)是定义为在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)= (|x﹣a |+|x﹣2a | ﹣3a ) ,若 x∈R,都有 f(x﹣1)≤f(x+1)成立,则实数 a 的取值范围是.
2 2 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 16. (12 分)已知集合 A={x ,2x﹣1,﹣4},B={x﹣5,1﹣x,9},C={x|mx=1},且 A∩B={9}. (Ⅰ)求 A∪B; (Ⅱ)若 C?(A∩B) ,求实数 m 的值. 17. (12 分)如图,△ OAB 是边长为 4 的正三角形,记△ OAB 位于直线 x=t(0<t<6)左侧 的图形的面积为 f(t) ,试求 f(t)的解析式.

18. (12 分)武汉地铁三号线预期 2015 年底开通,到时江汉二桥的交通压力将大大缓解.已 知该车每次拖 4 节车厢,一日能来回 16 次,如果每次拖 7 节车厢,则每日能来回 10 次.若 每日来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数, 每节车厢能载乘客 110 人. 问这列火车 每天来回多少次才能使运营人数最多?并求出每天最多运营人数. (注:来一次回一次为来回 两次) . 19. (12 分)已知定义在正实数集 R 上的减函数 f(x)满足: ①f( )=1; ②对任意正实数 x,y 都有 f(xy)=f(x)+f(y) . (1)若 f(x)=﹣2,求 x 的值; (2)求不等式 f(2x)+f(5﹣2x)≥﹣2 的解集.
+

20. (13 分)已知定义域为 R 的函数 (Ⅰ)求 a 值; (Ⅱ)判断并证明该函数在定义域 R 上的单调性; (Ⅲ)设关于 x 的函数 F(x)=f(4 ﹣b)+f(﹣2 21. (14 分)设函数 f(x)=x|x﹣a|+b,设常数 恒成立,求实数 a 的取值范围.
x x+1

是奇函数.

)有零点,求实数 b 的取值范围. ,且对任意 x∈[0,1],f(x)<0

2014-2015 学年湖北省武汉外国语学校高一(上)期中数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. (5 分)函数 f(x)=lg(x﹣1)的定义域是() A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.[1,+∞) D.[2,+∞)

考点: 对数函数的定义域. 专题: 计算题. 分析: 根据函数定义域的定义,我们易列出关于 x 的不等式,解不等式即可得到答案. 解答: 解:要使函数的解析式有意义, 自变量 x 须满足: x﹣1>0 即 x>1 故函数 f(x)=lg(x﹣1)的定义域是(1,+∞) 故选 B 点评: 本题考查的知识点是对数函数的定义域,当函数是由解析式给出时,其定义域是使 解析式有意义的自变量的取值集合. 2. (5 分)设集合 A={x|1<x<4},集合 B={x|x ﹣2x﹣3≤0},则 A∩(?RB)=() A.(1,4) B.(3,4) C.(1,3) D.(1,2)∪(3,4) 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 由题意,可先解一元二次不等式,化简集合 B,再求出 B 的补集,再由交的运算规 则解出 A∩(?RB)即可得出正确选项 2 解答: 解:由题意 B={x|x ﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3},故?RB={x|x<﹣1 或 x>3}, 又集合 A={x|1<x<4}, ∴A∩(?RB)=(3,4) 故选 B 点评: 本题考查交、并、补的混合运算,属于集合中的基本计算题,熟练掌握运算规则是 解解题的关键 3. (5 分)设函数 f(x) ,g(x)的定义域都为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则 下列结论正确的是() A.f(x)?g(x)是偶函数 B. |f(x)|?g(x)是奇函数 C. f(x)?|g(x)|是奇函数 D.|f(x)?g(x)|是奇函数 考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性的性质即可得到结论. 解答: 解:∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, ∴f(﹣x)=﹣f(x) ,g(﹣x)=g(x) , f(﹣x)?g(﹣x)=﹣f(x)?g(x) ,故函数是奇函数,故 A 错误, |f(﹣x)|?g(﹣x)=|f(x)|?g(x)为偶函数,故 B 错误, f(﹣x)?|g(﹣x)|=﹣f(x)?|g(x)|是奇函数,故 C 正确. |f(﹣x)?g(﹣x)|=|f(x)?g(x)|为偶函数,故 D 错误, 故选:C 点评: 本题主要考查函数奇偶性的判断,根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键.
2

4. (5 分)已知函数

,则 f[f( )]=()

A.4

B.

C . ﹣4

D.﹣

考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的值. 分析: 将函数由内到外依次代入,即可求解 解答: 解:根据分段函数可得: , 则 ,

故选 B 点评: 求嵌套函数的函数值,要遵循由内到外去括号的原则,将对应的值依次代入,即可 求解. 5. (5 分)若函数 f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16) , (0,8) , (0,4) , (0,2)内, 那么下列命题中正确的是() A.函数 f(x)在区间(0,1)内没有零点 B. 函数 f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点 C. 函数 f(x)在区间(1,16)内有零点 D.函数 f(x)在区间(2,16)内没有零点 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 压轴题;阅读型. 分析: 由题意可确定 f (x) 唯一的一个零点在区间 (0, 2) 内, 故在区间[2, 16) 内无零点. 其 他不能确定. 解答: 解:由题意可确定 f(x)唯一的一个零点在区间(0,2)内,故在区间[2,16)内无 零点. D 正确, A 不能确定, B 中零点可能为 1, C 不能确定. 故选 D 点评: 本题考查对函数零点的判定定理的理解,属基础知识的考查.属基础题. 6. (5 分)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是() A.f(x)= B.f(x)=x
3

C.f(x)=

D.f(x)=3

x

考点: 抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 根据题意,要求找到符合“对任意的 x>0,y>0,函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)f (y)”的函数;分析选项.再根据指数函数的单调性即可得答案 解答: 解:对于选项 A:
3 3 3



=,∴选项 A 不满足 f(x+y)=f(x)?f(y) ;

对于选项 B: (x+y) ≠x y ,∴选项 B 不满足 f(x+y)=f(x)?f(y) ; 对于选项 C: = , ∴选项 C 满足 ( f x+y) =f (x) ?( f y) ; y=

为单调递减函数, x y x+y x 对于选项 D:3 ?3 =3 ,∴选项 D 满足 f(x+y)=f(x)?f(y) ;y=3 为单调递增函数 故选 D. 点评: 本题考查了有理指数幂的运算性质,考查了基本初等函数的运算性质,是基础题.

7. (5 分)已知函数 A. B.

的最大值为 M,最小值为 m,则 的值为() C. D.

考点: 函数的值域. 专题: 计算题. 分析: 函数问题定义域优先,本题要先确定好自变量的取值范围;然后通过函数的单调性 分别确定出 m 与 n 即可. 解答: 解:根据题意,对于函数 有 , ,

所以当 x=﹣1 时,y 取最大值 当 x=﹣3 或 1 时 y 取最小值 m=2∴



故选 C. 点评: 任何背景下,函数问题定义域优先,建函数模型是求解函数最值问题有效手段之一. 8. (5 分)设 a,b,c 都是正数,且 3 =4 =6 ,那么() A. = + B. = + C. = + D. = +
a b c

考点: 专题: 分析: 解答:

指数函数综合题. 计算题. 利用与对数定义求出 a、b、c 代入到四个答案中判断出正确的即可. a b c M M M 解:由 a,b,c 都是正数,且 3 =4 =6 =M,则 a=log3 ,b=log4 ,c=log6 = ,

代入到 B 中,左边= =

而右边=

=

+

=

=



左边等于右边,B 正确; 代入到 A、C、D 中不相等. 故选 B. 点评: 考查学生利用对数定义解题的能力,以及换底公式的灵活运用能力. 9. (5 分)函数 f(x)=loga(ax ﹣x)在区间[2,4]上是增函数,则实数 a 的取值范围是() A. ≤a< 或 a>1 B. ≤a<1 或 a>1 C.0<a≤ 或 a>1 D.a>1
2

考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意,y=ax ﹣x 的对称轴为 x= 解答: 解:y=ax ﹣x 的对称轴为 x= 当 a>1 时, ,解得,a>1; 当 0<a<1, , 无解, 故选 D. 点评: 本题考查了对数函数性质及二次函数的性质,同时考查了复合函数的单调性应用, 属于基础题. (x∈R) , 区间 M=[a, b] (a<b) , 集合 N={y|y=f (x) , x∈M},
2 2

;从而复合函数的单调性确定函数的单调性.



10. (5 分) 设函数 f (x) =﹣

则使 M=N 成立的实数对(a,b)有() A.0 个 B. 1 个 考点: 集合的相等. 专题: 计算题. 分析: 由已知中函数

C. 2 个

D.无数多个

,我们可以判断出函数的奇偶性及单调

性,再由区间 M=[a,b](a<b) ,集合 N={y|y=f(x) ,x∈M},我们可以构造满足条件的关于 a,b 的方程组,解方程组,即可得到答案. 解答: 解:∵x∈R,f(﹣x)= =﹣f(x) ,

∴f(x)为奇函数, ∵x≥0 时,f(x)= 当 x<0 时,f(x)= = =1﹣ ,

∴f(x)在 R 上单调递减 ∵函数在区间[a,b]上的值域也为[a,b],则 f(a)=b,f(b)=a 即﹣ ,﹣

解得 a=0,b=0 ∵a<b 使 M=N 成立的实数对 (a,b)有 0 对 故选 A 点评: 本题考查的知识点是集合相等,函数奇偶性与单调性的综合应用,其中根据函数的 性质,构造出满足条件的关于 a,b 的方程组,是解答本题的关键. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (5 分)若 xlog34=1,则 4 +4
x
﹣x

的值为



考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 由已知,若 xlog34=1,解方程易得 x 的值,代入即可求出 4 +4 解答: 解:∵xlog34=1∴x=log4 则 4 +4 =3+ = 故答案为: 点评: 本题考查对数的运算,指数的运算,函数值的求法.掌握常用的对数式的性质是解 决本题的关键:如 ,
m﹣3 * 3 x
﹣x=

x

﹣x

的值.

12. (5 分)已知幂函数 y=x 则 m=1.

(m∈N )的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上单调递减,

考点: 幂函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由幂函数 y=x 的图象关于 y 轴对称,可得出它的幂指数为偶数,又它在(0,+∞) 递减,故它的幂指数为负,由幂指数为负与幂指数为偶数这个条件,即可求出参数 m 的值. 解答: 解:幂函数 y=x 的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)递减, ∴m﹣3<0,且 m﹣3 是偶数
m﹣3 m﹣3

由 m﹣3<0 得 m<3,又由题设 m 是正整数,故 m 的值可能为 1 或 2 验证知 m=1 时,才能保证 m﹣3 是偶数 故 m=1 即所求. 故答案为:1. 点评: 本题考查幂函数的性质,已知性质,将性质转化为与其等价的不等式求参数的值属 于性质的变形运用,请认真体会解题过程中转化的方向.

13. (5 分)函数

的单调递增区间为(﹣∞,﹣1) .

考点: 复合函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: 先求函数的定义域为{x|x>3 或 x<﹣1},要求函数 的单调递增区间,只要求解函数 t=x ﹣2x﹣3 在(﹣∞,﹣1)单调递减区间即可 解答: 解:函数的定义域为{x|x>3 或 x<﹣1} 令 t=x ﹣2x﹣3,则 y= 因为 y=
2 2 2

在(0,+∞)单调递减

t=x ﹣2x﹣3 在(﹣∞,﹣1)单调递减,在(3,+∞)单调递增 由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为(﹣∞,﹣1) 故答案为: (﹣∞,﹣1) 点评: 本题考查复合函数的单调性,对数函数的单调性,解本题时容易漏掉对函数的定义 域的考虑,写成函数的单调增区间为: (﹣∞,1) ,是基础题. 14. (5 分)[x]表示不超过 x 的最大整数,定义函数 f(x)=x﹣[x].则下列结论中正确的有 ② ①函数 f(x)的值域为[0,1]; ②方程 f(x)= 有无数个解 ③函数 f(x)的图象是一条直线; ④函数 f(x)是 R 上的增函数. 考点: 命题的真假判断与应用;函数的值域;函数单调性的判断与证明;函数的零点. 专题: 新定义. 分析: 在解答时要先充分理解[x]的含义,从而可知针对于选项注意对新函数的最值、单调 性以及周期性加以分析即可. 解答: 解:∵函数 f(x)的定义域为 R,又∵f(x+1)=(x+1)﹣[x+1]=x﹣[x]=f(x) , ∴函数{x}=x﹣[x]是周期为 1 的函数,每隔一个单位重复一次, 所以方程 f(x)= 有无数个解,故②正确;

当 0≤x<1 时,f(x)=x﹣[x]=x﹣0=x,∴函数{x}的值域为[0,1) ,故①错误; 函数{x}是周期为 1 的函数,∴函数{x}不是单调函数,当然图象也不可能为一条直线, 故③④错误. 故答案为:② 点评: 本题考查分段函数知识和函数值域等性质的综合类问题,属中档题.
2 2

15. (5 分)已知函数 f(x)是定义为在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)= (|x﹣a |+|x﹣2a | ﹣3a ) ,若 x∈R,都有 f(x﹣1)≤f(x+1)成立,则实数 a 的取值范围是[﹣
2



].

考点: 函数恒成立问题. 专题: 计算题;数形结合;分类讨论;函数的性质及应用. 分析: 由于当 x≥0 时,f(x)= (|x﹣a |+|x﹣2a |﹣3a ) .可得当 0≤x≤a 时,f(x)=﹣x; 当 a <x≤2a 时,f(x)=﹣a ;当 x>3a 时,f(x)=x﹣3a .画出其图象.由于函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数, 即可画出 x<0 时的图象. 由于 x∈R,f(x﹣1)≤f(x+1) ,即有?x∈R, f(x﹣2)≤f(x) ,可得 6a ≤2,解出即可. 解答: 解:∵当 x≥0 时,f(x)= (|x﹣a |+|x﹣2a |﹣3a ) . ∴当 0≤x≤a 时,f(x)= (a ﹣x+2a ﹣x﹣3a )=﹣x; 当 a <x≤2a 时,f(x)=﹣a ; 2 2 当 x>3a 时,f(x)=x﹣3a . 画出其图象. 由于函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,即可画出 x<0 时的图象, 与 x>0 时的图象关于原点对称. ∵?x∈R,f(x﹣1)≤f(x+1) , 即有?x∈R,f(x﹣2)≤f(x) , 2 ∴6a ≤2, 解得﹣ ≤a . , ].
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

∴实数 a 的取值范围为[﹣ 故答案为:[﹣ , ].

点评: 本题考查了函数奇偶性、周期性,考查了分类讨论的思想方法,考查了数形结合的 思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 16. (12 分)已知集合 A={x ,2x﹣1,﹣4},B={x﹣5,1﹣x,9},C={x|mx=1},且 A∩B={9}. (Ⅰ)求 A∪B; (Ⅱ)若 C?(A∩B) ,求实数 m 的值. 考点: 并集及其运算;集合的包含关系判断及应用;交集及其运算. 专题: 规律型. 分析: (Ⅰ)利用 A∩B={9},解出 x,然后利用集合的运算求求 A∪B; (Ⅱ)求 A∩B,利用 C?(A∩B) ,求实数 m 的值. 解答: 解: (Ⅰ)由 A∩B={9}得 9∈A,可得 x =9 或 2x﹣1=9, ∴x=±3 或 x=5 当 x=3 时,A={9,5,﹣4},B={﹣2,﹣2,9},故舍去; 当 x=﹣3 时,A={9,﹣7,﹣4},B={﹣8,4,9},∴A∩B={9}满足题意; 当 x=5 时,A={25,9,﹣4},B={0,﹣4,9},∴A∩B={﹣4,9},不满足题意,故舍去. ∴A∪B={﹣8,﹣7,﹣4,4,9} (Ⅱ)∵A∩B={9}. ∴当 C=?时,得 m=0;此时满足 C?(A∩B) , 当 C≠?时,C={ },此时由 ∴ . ,解得 ;
2

点评: 本题主要考查集合的基本运算以及集合关系的应用,考查分类讨论的思想. 17. (12 分)如图,△ OAB 是边长为 4 的正三角形,记△ OAB 位于直线 x=t(0<t<6)左侧 的图形的面积为 f(t) ,试求 f(t)的解析式.

考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据“0<t<6”和图形,分三种情况进行讨论. 解答: 解:当 0<t<2 时,f(t)= 当 2≤t≤4 时, = , 当 4<t<6 时, , = ,

所以 f(t)的解析式为



点评: 本题考察分段函数解析式的求解,求解时让“直线 x=t”动起来,先观察直线左侧图形 是什么图形,再根据对应的面积公式来求解. 18. (12 分)武汉地铁三号线预期 2015 年底开通,到时江汉二桥的交通压力将大大缓解.已 知该车每次拖 4 节车厢,一日能来回 16 次,如果每次拖 7 节车厢,则每日能来回 10 次.若 每日来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数, 每节车厢能载乘客 110 人. 问这列火车 每天来回多少次才能使运营人数最多?并求出每天最多运营人数. (注:来一次回一次为来回 两次) . 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 设这列火车每天来回 x 次, 每次拖 z 节车厢, 运营人数为 y 人; 则由题意, 设 z=kx+b; 从而可得 z=﹣ x+12,从而可得 y=110x?(﹣ x+12)=55x(24﹣x) , (0<x<24,x 是偶数) , 再由基本不等式求最值即可. 解答: 解:设这列火车每天来回 x 次,每次拖 z 节车厢,运营人数为 y 人;

则由题意,设 z=kx+b; 则 4=16k+b,7=10k+b; 解得,k=﹣ ,b=12; 故 z=﹣ x+12; 故 y=110x?(﹣ x+12) =55x(24﹣x) , (0<x<24,x 是偶数) x(24﹣x)≤ =144;

(当且仅当 x=24﹣x,即 x=12 时,等号成立) 故 55x(24﹣x)≤7920; 即当这列火车每天来回 12 次才能使运营人数最多,每天最多运营人数为 7920 人. 点评: 本是考查了实际问题转化为数学问题的能力及基本不等式的应用,属于中档题. 19. (12 分)已知定义在正实数集 R 上的减函数 f(x)满足: ①f( )=1; ②对任意正实数 x,y 都有 f(xy)=f(x)+f(y) . (1)若 f(x)=﹣2,求 x 的值; (2)求不等式 f(2x)+f(5﹣2x)≥﹣2 的解集. 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)令 x=y=1 得 f(1)=0,令 x=2,y= ,求得 f(2)=﹣1,再令 x=y=2,得到 f (4)=﹣2,再由单调性,即可得到 x 的值; (2)原不等式等价为 f[2x?(5﹣2x)]≥f(4) ,再由函数的单调性,得到不等式组,注意定义 域的运用,解出它们,求交集即可. 解答: 解: (1)由于对任意正实数 x,y 都有 f(xy)=f(x)+f(y) , 则令 x=y=1 得,f(1)=2f(1) ,即 f(1)=0, 又 f(1)=f(2× )=f(2)+f( )=f(2)+1=0,即有 f(2)=﹣1, 则 f(4)=2f(2)=﹣2, 由于 f(x)在 R 上是单调递减函数, 则 f(x)=﹣2 时,即有 x=4; (2)f(2x)+f(5﹣2x)≥﹣2=f(4) , 即 f[2x?(5﹣2x)]≥f(4) ,
+ +

又由于 f(x)是 R 的减函数,则

+

,即



故原不等式的解集为(0, ]∪[2, ) . 点评: 本题考查抽象函数及运用,考查函数的单调性及运用:解方程和解不等式,注意定 义域的限制,考查运算能力,属于中档题.

20. (13 分)已知定义域为 R 的函数

是奇函数.

(Ⅰ)求 a 值; (Ⅱ)判断并证明该函数在定义域 R 上的单调性; x x+1 (Ⅲ)设关于 x 的函数 F(x)=f(4 ﹣b)+f(﹣2 )有零点,求实数 b 的取值范围. 考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明;函数的零点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)利用函数是奇函数,由 f(0)=0,即可求 a 值; (Ⅱ)利用函数单调性定义判断并证明该函数在定义域 R 上的单调性; (Ⅲ)利用函数的奇偶性和函数零点的定义,求 b 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)的定义域为 R 且为奇函数, ∴f(0)= =0,解得 a=1,经检验符合.

(Ⅱ)∵ 证明:设 x1<x2, 则

,f(x)在 R 上位减函数



(∵



∴f(x)在 R 上是减函数. (Ⅲ)由 F(x)=0, x x+1 得 f(4 ﹣b)+f(﹣2 )=0, ∵函数 f(x)是奇函数 x x+1 ∴f(4 ﹣b)=f(2 ) x x+1 即 4 ﹣b=2 有解, x x+1 x 2 x ∴b=4 ﹣2 =(2 ) ﹣2?2 ≥﹣1, ∴实数 b 的取值范围是 b≥﹣1 点评: 本题主要考查函数奇偶性的应用,以及函数单调性的应用,利用函数奇偶性和单调 性的定义是解决本题的关键. 21. (14 分)设函数 f(x)=x|x﹣a|+b,设常数 恒成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 带绝对值的函数;函数恒成立问题. ,且对任意 x∈[0,1],f(x)<0

专题: 计算题;综合题;函数的性质及应用. 分析: 由于 b<0,于是当 x=0 时 f(x)<0 恒成立,此时 a∈R;只需讨论 x∈(0,1]时,f

(x)<0 恒成立即可,即

即可.对(1) (2)两式分别研究讨

论即可求得实数 a 的取值范围. 解答: 解:∵b<2 ﹣3<0, ∴当 x=0 时,a 取任意实数不等式恒成立,故考虑 x∈(0,1]时,原不等式变为|x﹣a|<﹣ , 即 x+ <a<x﹣ ,

∴只需对 x∈(0,1]满足



对(1)式,由 b<0 时,在(0,1]上,f(x)=x+ 为增函数, ∴ =f(1)=1+b

∴a>1+b. (3) 对 (2) 式, ①当﹣1≤b<0 时, 在 (0, 1]上, x﹣ =x+ 时取等号) ; ∴ ∴a<2 =2 . (4) . ≥2 (当且仅当 x=﹣ , 即 x=

由(3) 、 (4) ,要使 a 存在,必须有

,解得﹣1≤b<﹣3+2



∴当﹣1≤b<﹣3+2

时,1+b<a<2



②当 b<﹣1 时,在(0,1]上,f(x)=x﹣ 为减函数, ∴ =f(1)=1+b,

∴当 b<﹣1 时,1+b<a<1﹣b. 综上所述,当﹣1≤b<2 ﹣3 时 a 的取值范围是(1+b,2 ) ;

当 b<﹣1 时,a 的取值范围是(1+b,1﹣b) .

点评: 本题考查带绝对值的函数,考查函数恒成立问题,突出考查转化思想与分类讨论思 想、方程思想的综合应用应用,考查逻辑思维能力与运算能力,属于难题.


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