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高考数学题型全归纳:等比数列典型例题(含答案)


高中数学
【例 1】已知 ?a n ? 为等比数列, a 2 【解析】方法 1: ∴ a10

等比数列典型例题素材
? 2, a6 ? 162 ,则 a10 ?


?? ? a ?q
4

a 2 ? a1q ? 2 ? q 4 ? 81 5 ? 6 ? a1q ? 162

? a1q 9 ? a6 q 4 ? 162 ? 81 ? 13122
? a6 162 ? ? 81 ,? a10 ? a 6 q 4 ? 162 ? 81 ? 13122 a2 2

方法 2:

方法 3:

? ?a ?为等比数列
n

a 2 ? a10 ? a6

2

a6 162 2 ? a10 ? ? ? 13122 a2 2

2

【例 2】等比数列 ?a n ? 中, a2 a5 【解析】方法 1:设公比为

? ?2 , a3 ? a4 ? ?1 ,求数列 ?a n ?的通项公式.
1 ?a1 ? ?8 ? ?a1 ? ? 4 或? ? 1 q?? ? ? ?q ? ?2 ? 2
n ?1

q,
解得

2 5 ? ?a1 q ? ?2 ? 2 3 ? ?a1q ? a1q ? ?1

1 n ?1 则 an ? ? ?2 ? 4
方法 2:设公比为

? 1? 或 an ? ?8 ? ? ? ? 2?

q ,知 a2 a5 ? a3a4 ? ?2 。
解得 ?

?a3 a4 ? ?2 ? ?a3 ? a4 ? ?1

?a3 ? 1 ?a4 ? ?2

或?

?a3 ? ?2 进而求出 a1 和 q . a ? 1 ? 4

【例 3】已知等比数列 ?a n ? 满足

an ? 0, n ? 1, 2,? ,且

a5 ? a2 n ?5 ? 22 n (n ? 3) ,则当 n ? 1 时,

log 2 a1 ? log 2 a2 ? ? ? log 2 an ?1 ? (



A. C.

n(2n ? 1)
n2
D.

B.

(n ? 1) 2

(n ? 1) 2

【解析】由 a5

2 ? a2 n ?5 ? 22 n (n ? 3) 得 a n ? 2 2 n , a n ? 0 ,则

a n ? 2 n , log 2

a1 ? log 2 a3 ? ? ? ? ?

log 2 a 2 n ?1 ? 1 ? 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? n 2 ,
选 C.

【例 4】 等比数列同时满足下列三个条件: ⑴ 1

a ? a6 ? 11

⑵ a3

? a4 ?

32 9

⑶三个数

2 4 a 2 , a 32 , a 4 ? 成等差数列.试求数 3 9

列 ?a n ? 的通项公式。

【解析】 1

a ? a6

1 ? ?a1 ? 3 ?a1 ? a 6 ? 61 ? 32 ? ? ? ?a 6 ? ? 32 ? a3 ? a4 , ?a1 ? a6 ? 3 或 ? 9 ? ?q ? 2 ? ?

32 ? a ? 1 ? 3 ? 1 ? ?a 6 ? 3 ? 1 ? q ? ? 2 ?

又?

2 4 2 4 a 2 , a32 , a 4 ? 成等差数列,? 2a32 ? a 2 ? a 4 ? …………① 3 9 3 9
?

当 a1

2 4 8 1 ? a3 ? , a 4 ? 代入① 时, a 2 ? a1 q ? 3 3 3 3

1 n ?1 4 2 2 8 4 n ?1 ? a ? a q ? ?2 . ? 2( ) 2 ? ? ? ? (成立) , n 1 3 3 3 3 3 9
32 ? a ? 1 ? ? 3 当? 时, 不成立. ?q ? 1 ? 2 ?

? a n ? a1 q n ?1 ?

1 n ?1 ?2 . 3



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