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2012年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)—数学(文)解析版


2012 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)

数学(文科)
第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1. 复数 ( 2 ? i ) 等于( )
2

A. 3 ? 4 i B. 5 ? 4

i C. 3 ? 2 i D. 5 ? 2 i 考点:复数的运算。 难度:易。 分析:本题考查的知识点为复数的计算,直接套用复数运算公式即可。 解答: ( 2 ? i ) ? i ? 4 i ? 4
2 2

? ?1 ? 4i ? 4 ? 3 ? 4i



2.

已知集合 M ? {1, 2 , 3, 4 } , N ? {? 2 , 2 } ,下列结论成立的是( A. N ? M B. M ? N ? M C. M ? N ? N



D. M ? N ? { 2 }

考点:集合交并补的定义。 难度:易。 分析:本题考查的知识点为集合交集、并集的定义,直接根据定义选择即可。 解答: M ? N ? {? 2 ,1, 2 , 3, 4 } , M ? N ? { 2 } 。 3. 已知向量 a ? ( x ? 1, 2 ) , b ? ( 2 ,1 ) ,则 a ? b 的充要条件是( A. x ? ?
1 2
? ?
? ?



B. x ? ? 1

C. x ? 5

D. x ? 0

考点:平面向量的垂直。 难度:易。 分析:本题考查的知识点为平面向量的垂直,若非零向量 a ? ( x 1 , y 1 ) , b ? ( x 2 , y 2 ) , 则 a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 。 解答:非零向量 a ? b ? a ? b ? 0 。
? 2 ( x ? 1) ? 2 ? 0 ? x ? 0
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?



4.

一个几何体的三视图形状都相同,大小均等,那么这个几何体不可以是( A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱



考点:空间几何体的三视图。 难度:易。 分析:本题考查的知识点为空间几何体的三视图,直接画出即可。 解答:圆的正视图(主视图) 、侧视图(左视图)和俯视图均为圆; 三棱锥的正视图(主视图) 、侧视图(左视图)和俯视图可以为全等的三角形; 正方体的正视图(主视图) 、侧视图(左视图)和俯视图均为正方形; 圆柱的正视图(主视图) 、侧视图(左视图)为矩形,俯视图为圆。 5. 已知双曲线
x a
3 14 14
2 2

?

y

2

? 1 的右焦点为 ( 3, 0 ) ,则该双曲线的离心率等于(



5
3 2 4
3 2 4 3

A.

B.

C.

D.

考点:双曲线的离心率。 难度:易。 分析:本题考查的知识点为圆锥曲线的性质,利用离心率 e ?
?c ? 3 ?a ? 2 3 ? ? ? e ? 。 2 2 2 ?c ? 3 ?a ? 5 ? c

c a

即可。

解答:双曲线中, ? 6.

阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出 s 值等于( ) A. ? 3 B. ? 10 C.0 D. ? 2 考点:算法初步。 难度:易。 分析:本题考查的知识点为算法中流程图的读法,直接根据箭头的指向运算即可。 解答: k ? 1, s ? 1 ; s ? 2 ? 1 ? 1 ? 1, k ? 2 ; s ? 2 ? 1 ? 2 ? 0, k ? 3 ; s ? 2 ? 0 ? 3 ? ? 3, k ? 4 ; 结束。

7.

直线 x ? A. 2 5

3 y ? 2 ? 0 与圆 x ? y
2

2

? 4 相交于 A, B 两点,则弦 AB 的长度等于(



B. 2 3

C. 3

D.1

考点:直线和圆。 难度:中。 分析:本题考查的知识点为直线被圆所截的弦长,利用几何意义, l ? 2 r ? d
2 2



解答: 图形如图所示,
y

圆心为 ( 0 , 0 ) ,半径为 2,
l

O

d

x

r

圆心到直线的距离
d ? |0 ?
2

3?0?2|
2

? 1,

1 ? ( 3)

所以 l ? 2 r ? d
2

2

? 2 2 ?1
2

2



? 2 3

8.

函数 f ( x ) ? sin( x ? A. x ?
?
4

?
4

) 的图像的一条对称轴是(

) D. x ? ?
?
2

B. x ?

?
2

C. x ? ?

?
4

考点:三角函数的对称性。 难度:中。 分析:本题考查的知识点为三角函数的性质,熟记三角函数的对称轴的公式即可。 ? ? ? ? k? (k ? Z ) , 解答:令 x ?
4 2 ? k? (k ? Z ) ,

则x ?

3? 4

当 k ? ? 1 时, x ? ?

?
4



9.

? 1, x ? 0 ?1, x 为有理数 ? 设 f ( x ) ? ?0, x ? 0 , g ( x ) ? ? ? 0 , x 为无理数 ? ? 1, x ? 0 ?

,则 f ( g ( ? )) 值为(



A.1 B.0 C. ? 1 D. x ? ? 考点:分段函数。 难度:中。 分析:本题考查的知识点为分段函数的理解,直接应用即可。 解答:令 f ( g (? )) ? f ( 0 ) ? 0 。
?x ? y ? 3 ? 0 ? 10. 若直线 y ? 2 x 上存在点 ( x , y ) 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则实数 m 的最大值为 ?x ? m ?



) B.1 C.
3 2

A. ? 1

D.2

考点:线性规划。 难度:中。 分析:本题考查的知识点为含参的线性规划,需要画出可行域的图形,含参的直线要能画出 大致图像。

解答:可行域如下:

( 0 , 3)

y ? 2x
( m ,3 ? m )

( 3, 0)
( 0, 3 2
?x ? y ? 3 ? 0 ? 所以,若直线 y ? 2 x 上存在点 ( x , y ) 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 , ?x ? m ?



则 3 ? m ? 2 m ,即 m ? 0 。 n? 11. 数列 { a n } 的通项公式 a n ? n cos ,其前 n 项和为 S n ,则 S 2012 等于(
2



A.1006 B.2012 C.503 D.0 考点:数列和三角函数的周期性。 难度:中。 分析:本题考查的知识点为三角函数的周期性和数列求和,所以先要找出周期,然后分组计 算和。 ( 4 n ? 1 )? ? ? ( 4 n ? 1 ) ? cos ? 0, 解答: a 4 n ? 1 ? ( 4 n ? 1 ) ? cos
2 2 a 4 n ? 2 ? ( 4 n ? 2 ) ? cos a 4 n ? 3 ? ( 4 n ? 3 ) ? cos a 4 n ? 4 ? ( 4 n ? 4 ) ? cos ( 4 n ? 2 )? 2 ( 4 n ? 3 )? 2 ( 4 n ? 4 )? 2 ? ( 4 n ? 3 ) ? cos 3? 2 ? ( 4 n ? 4 ) ? cos 2 ? ? 4 n ? 4 , ? 0, ? ( 4 n ? 2 ) ? cos ? ? ? ( 4 n ? 2 ) ,

所以 a 4 n ?1 ? a 4 n ? 2 ? a 4 n ? 3 ? a 4 n ? 4 ? 2 。 即 S 2012 ?
3

2012 4
2

? 2 ? 1006 。

12. 已知 f ( x ) ? x ? 6 x ? 9 x ? abc , a ? b ? c ,且 f ( a ) ? f ( b ) ? f ( c ) ? 0 ,现给出如下 结论: ① f ( 0 ) f (1) ? 0 ;② f ( 0 ) f (1) ? 0 ;③ f ( 0 ) f ( 3 ) ? 0 ;④ f ( 0 ) f ( 3 ) ? 0 。 其中正确结论的序号是( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 考点:导数。 难度:难。 分析:本题考查的知识点为导数的计算,零点问题,要先分析出函数的性质,结合图形来做。

解答: f ( x ) ? x ? 6 x ? 9 x ? abc , a ? b ? c ,
3 2

f ' ( x ) ? 3 x ? 12 x ? 9
2

? 3( x ? 4 x ? 3)
2

? 3 ( x ? 1 )( x ? 3 )

导数和函数图像如下:
f '(x)

( a ,0 )

( b ,0 )

( c ,0 )

f (x)

x ?1

x ? 3

由图 f (1) ? 1 ? 6 ? 9 ? abc ? 4 ? abc ? 0 ,
f ( 3 ) ? 27 ? 54 ? 27 ? abc ? ? abc ? 0 ,

且 f ( 0 ) ? ? abc ? f ( 3 ) ? 0 , 所以 f ( 0 ) f (1) ? 0 , f ( 0 ) f ( 3 ) ? 0 。

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)
3 ,则 AC ? _______。 【

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在答题卡的相应位置。
0 0 13. 在 ? ABC 中,已知 ? BAC ? 60 ,? ABC ? 45 ,BC ?

2 】

考点:正弦定理。 难度:易。 分析:本题考查的知识点为三角形中正弦定理的应用。 解答:在 ? ABC 中, 所以
BC sin ? BAC a sin A ? ? b sin B AC sin ? ABC ? c sin C ? 2R ,

解得 AC ?

2 。

14. 一支田径队有男女运动员 98 人,其中男运动员有 56 人。按男女比例用分层抽样的方法, 从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本,那么应抽取女运动员人数是_______。 【12】 考点:分成抽样。 难度:易。 分析:本题考查的知识点为统计中的分层抽样,直接按成比例计算即可。 解答:分层抽样,
98 28 ? 98 - 56 x



所以 x ? 12 。 15. 已知关于 x 的不等式 x ? ax ? 2 a ? 0 在 R 上恒成立, 则实数 a 的取值范围是_________。
2

【 ( 0 ,8 ) 】 考点:一元二次不等式。 难度:易。 分析:本题考查的知识点为一元二次函数的图像,开口朝上,无根即可。 解答:令 ?
?a ? 1 ? 0 ? ? ? b ? 4 ac ? ( ? a ) ? 4 ? 1 ? 2 a ? 0
2 2



所以 a ? ( 0 ,8 ) 。 16. 某地图规划道路建设,考虑道路铺设方案,方案设计图中,求表示城市,两点之间连线 表示两城市间可铺设道路,连线上数据表示两城市间铺设道路的费用,要求从任一城市 都能到达其余各城市,并且铺设道路的总费用最小。例如:在三个城市道路设计中,若 城市间可铺设道路的路线图如图 1,则最优设计方案如图 2,此时铺设道路的最小总费用 为 10。

现给出该地区可铺设道路的线路图如图 3, 则铺设道路的最小总费用为____________。 【16】

考点:演绎推理。 难度:中。 分析:本题考查的知识点为演绎推理,理解题意,直接计算最小值即可。

解答:题目要求联通所有的城市,且费用最小,则首先连接费用最小的城市, 连接方法如下: (1) 连接 F , G ,此时联通两个城市 F , G ,费用为 1 ; (2) 再连接 G , D ,此时联通三个城市 F , G , D ,费用为 1 ? 2 ? 3 ; (3) 再连接 G , C ,此时联通四个城市 F , G , D , C ,费用为 1 ? 2 ? 3 ? 6 ; (4) 再连接 F , A ,此时联通五个城市 F , G , D , C , A ,费用为 1 ? 2 ? 3 ? 3 ? 9 ; (5) 再连接 B , C ,此时联通六个城市 F , G , D , C , A , B ,费用为
1 ? 2 ? 3 ? 3 ? 5 ? 14 ;

(6) 再连接 E , A ,此时联通七个城市 F , G , D , C , A , B , E ,费用为
1 ? 2 ? 3 ? 3 ? 5 ? 2 ? 16 。

所以铺设道路的最小总费用为 16。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 在等差数列 { a n } 和等比数列 { b n } 中, a 1 ? b1 ? 1, b 4 ? 8 , { a n } 的前 10 项和 S 10 ? 55 。 (Ⅰ)求 a n 和 b n ; (Ⅱ)现分别从 { a n } 和 { b n } 的前 3 项中各随机抽取一项写出相应的基本事件,并求这两 项的值相等的概率。 考点:等差数列,等比数列,古典概型。 难度:易。 分析:本题考查的知识点为演绎推理,等差等比数列的定义和通项公式,前 n 项和公式和古 典概型,直接应用。 解答: (Ⅰ)设等差数列 { a n } 的公差为 d ,等比数列 { b n } 的公比为 q 则 S 10 ? 1 0 a1 ? 4 5 d ? 5 5 ? d ? 1 ? a n ? a1 ? ( n ? 1) d ? n
b 4 ? b1 q ? 8 ? q ? 2 ? b n ? b1 ? q ? 2
3 n n ?1

得: a n ? n , b n ? 2

n ?1

(Ⅱ) a1 ? 1, a 2 ? 2, a 3 ? 3, b1 ? 1, b 2 ? 2, b3 ? 4 ,各随机抽取一项写出相应的基本事件有
( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) ( 1 , 4 ) ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2( ) ,, (22) , , 4 ) 共(43个1 ) , 3 ( 3 ,, 9 ) ,

符合题意有 (1,1), ( 2, 2 ) 共 2 个 这两项的值相等的概率为
2 9

18. (本小题满分 12 分)

某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销, 得到如下数据:

(I)求回归直线方程 y ? bx ? a ,其中 b ? ? 20 , a ? y ? b x (II)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(I)中的关系,且该产品的成本是 4 元/ 件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入—成 本) 考点:线性回归,二次函数。 难度:易。 分析:本题考查的知识点为线性回归中回归直线的求解及二次函数的最值。 解答: (I) x ?
y ? 1 6 1 6 (8 ? 8 .2 ? 8 .4 ? 8 .6 ? 8 .8 ? 9 ) ? 8 .5 (9 0 ? 8 4 ? 8 3 ? 8 0 ? 7 5 ? 6 8) ? 8 0

?

?

?

? a ? y ? 2 0 x ? 8 0 ? 2 0 ? 8 .5 ? 2 5 0 ? ? ? ? 2 0 x ? 2 5 0 y

(II)工厂获得利润 z ? ( x ? 4) y ? ? 20 x ? 330 x ? 1000
2

当x ?

33 4

时, z m ax ? 361.25 (元)

19. (本小题满分 12 分) 如图,在长方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中, AB ? AD ? 1, AA 1 ? 2 ,
M 为棱 DD 1 上的一点。

(I)求三棱锥 A ? MCC 1 的体积; (II)当 A1 M ? MC 取得最小值时,求证: B 1 M ? 平面 MAC 。

考点:立体几何。 难度:中。 分析:本题考查的知识点为棱锥的体积,和垂直的判定。 解答: (I)点 A 到面 M C C 1 的距离为 A D ? 1 得:三棱锥 A ? MCC 1 的体积 V ?
1 3 S MCC ? A D ?
1

1 3

?

1 2

? C C1 ? C D ? A D ?

1 3

(II)将矩形 D D1C 1C 饶 D D 1 按逆时针旋转 9 0 展开,与矩形 D D1 A1 A 共面
A1 M ? M C ? A1C ,当且仅当点 M 是棱 D D 1 的中点时, A1 M ? MC 取得最小值

?

在 ? M B1 A 中, M A ?
2 2

2 , A B1 ?
2

5 , M B1 ?

B1C 1 ? C 1 D 1 ? D 1 M
2 2

2

?

3

得: A B1 ? M A ? M B1 ? M A ? M B1 同理: M C ? M B1 , M C ? M A ? M ? B1 M ? 面 MAC

20. (本小题满分 13 分) 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数。 (1) sin 13 ? cos 17 ? sin 13 cos 17 ;
2 0 2 0 0 0

(2) sin 15 ? cos 15 ? sin 15 cos 15 ;
2 0 2 0 0 0

(3) sin 18 ? cos 12 ? sin 18 cos 12 ;
2 0 2 0 0 0

(4) sin ( ? 13 ) ? cos 48 ? sin( ? 18 ) cos 48 ;
2 0 2 0 0 0

(5) sin ( ? 25 ) ? cos 55 ? sin( ? 25 ) cos 55 。
2 0 2 0 0 0

(I)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (II)根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论。 考点:三角恒等变换。 难度:中。 分析:本题考查的知识点恒等变换公式的转换及其应用。 解答: (I)选择(2) sin 1 5 ? co s 1 5 ? sin 1 5 co s 1 5 ? 1 ? :
2 0 2 0 0 0 2 2 0

10 2

sin 3 0 ?
0

3 4

(II)三角恒等式为: sin ? ? co s (3 0 ? ? ) ? sin ? co s(3 0 ? ? ) ?

3 4

sin ? ? co s (3 0 ? ? ) ? sin ? co s(3 0 ? ? )
2 2 0 0

? sin ? ? (
2

3 2 3 4

co s ? ? co s ? ?
2

1 2

sin ? ) ? sin ? (
2

3 2

co s ? ?

1 2

sin ? )

?

3 4

sin ? ?
2

3 4

21. (本小题满分 12 分) 如图,等边三角形 OAB 的边长为 8 3 ,且其三个顶点均在抛 物线 E : x ? 2 py ( p ? 0 ) 上。
2

(I)求抛物线 E 的方程; (II)设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P ,与直线 y ? ? 1 相交于 点 Q 。证明:以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点。

考点:圆锥曲线的定义,直线和圆锥曲线的位置关系,定值的证明。 难度:难。 分析:本题考查的知识点为抛物线方程的求解,直线和圆锥曲线的联立,定值的表示及计算。 解答: (I)设 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ;则 x1 ? 2 py1 , x 2 ? 2 py 2
2 2

O A ? O B ? x1 ? y 1 ? x 2? y 2 2 p y ?1 y ?1 2 p y ? 2 ? y
2 2 2 2 2

2 2

? ( y 1 ? y 2)( 2 p ? y 1 y )2 ? 0 ? y ?1 y (? 2 p , y , y 1 ? 0 ) ? 2 2

得:点 A , B 关于 y 轴对称
O A ? O B ? A B ? 8 3 ? A ( ? 4 3 ,1 2 ), B ( 4 3 ,1 2 )

代入抛物线 E 的方程得: p ?

x

2

? 2 ? 抛物线 E 的方程为 x ? 4 y
2

2y

(II)设 P ( x 0 ,

x0 4

2

) ;则 y ?

1 4

x ? y? ?
2

1 2

x 1 2 1 4

过点 P 的切线方程为 y ?
x0 ? 4
2

1 4

x0 ?
2

1 2

x0 ( x ? x0 ) 即 y ?

x0 x ?

x0

2

令 y ? ?1 ? Q (

, ? 1)

2 x0

设 M (0, t ) 满足: M P ?M Q ? 0 及 M P ? ( x 0 , y 0 ? t ), M Q ? ( 得: 4( t ? t ? 2) ? (1 ? t ) x 0 ? 0 对 x 0 ? 0 均成立
2 2

???? ???? ?

????

???? ?

x0 ? 4
2

, ?1 ? t)

2 x0

? t ? t ? 2 ? 0,1 ? t ? 0 ? t ? 1
2

以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上定点 M (0,1)

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? a x sin x ?
3 2 ( a ? R ), 且在 [ 0 ,

?
2

] 上的最大值为

? ?3
2



(I)求函数 f ( x ) 的解析式; (II)判断函数 f ( x ) 在 ( 0 , ? ) 内的零点个数,并加以证明。 考点:导数,函数与方程。 难度:难。 分析:本题考查的知识点为导数的计算,利用函数与方程的思想解决根个数的问题。 解答: 3 ? ?3 ? (I) f ( x ) ? a x sin x ? ? 在 [ 0 , ] 上恒成立,且能取到等号
2 2 2 ? g ( x) ? x s i nx? 在 [ 0 , ] 上恒成立,且能取到等号 2 2a ?

?

?

?
2a

? g ( x ) m ax

g ? ( x ) ? sin x ? x cos x ? 0 ? y ? g ( x ) 在 [ 0 ,

?
2 3 2

] 上单调递增

?
2a

? g(

?
2

)?

?
2

? a ? 1 ? f ( x ) ? x sin x ? 3 2

(II) f ( x ) ? x sin x ? ①当 x ? [ 0 ,
f (0 ) f (

? h ( x ) ? f ?( x ) ? sin x ? x co s x

?
2

] 时, f ? ( x ) ? 0 ? y ? f ( x ) 在 ( 0 , 3 2 ?

?
2

] 上单调递增 ] 上有唯一零点

?
2

)? ?

? ?3
2

? 0 ? y ? f ( x) 在 (0,

?
2

②当 x ? [

?
2

, ? ] 时, h ? ( x ) ? 2 cos x ? x sin x ? 0 ? f ?( x ) 当 x ? [

?
2

, ? ] 上单调递减

f ?(? ) f (

?
2

)? ?

?

2

2

? 0 ? 存在唯一 x 0 ? (

?
2

, ? ) 使 f ?( x 0 ) ? 0

f ?( x ) ? 0 ?

?
2

? x ? x 0 , f ?( x ) ? 0 ? x 0 ? x ? ?

得: f ( x ) 在 [
f(

?
2

, x 0 ) 上单调递增, ( x 0 , ? ] 上单调递减 3 2 ?0

?
2

) ? 0, f ( ? ) ? ?

得: x ? [

?
2

, x 0 ] 时, f ( x ) ? 0 ,

x ? [ x 0 , ? ] 时, f ( x 0 ) f (? ) ? 0 , y ? f ( x ) 在 [ x 0 , ? ] 上有唯一零点

由①②得:函数 f ( x ) 在 ( 0 , ? ) 内有两个零点。


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