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直线与抛物线位置关系


2.4.1抛物线的几何性质

喷泉

练习:填空(顶点在原点,焦点在坐标轴上)
方程 焦点 准线 开口方向
3 2

y ? 6x
2

F ( ,0)
3 2

x??

开口向右 开口向左

y

? ?4 x
2

F (?1,0)

x ?1
y ? ?1

x ? 4y
2

F (0,1)
7 8

开口向上
开口向下

2 x ? 7 y ? 0 F (0,? )
2

y?

7 8

一、抛物线的几何性质
1、范围

y

P(x,y)

由抛物线y2 =2px(p>0)


o

F(

2 px ? y ? 0 p?0
2

p ,0 ) 2

x

所以抛物线的范围为 x ? 0
抛物线在y轴的右侧,当x的值增大时,︱y︱ 也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限 延伸。

x?0 ?

2、对称性

( x, y)

关于x轴

对称

( x, ? y )

y

P(x,y)

由于点( x, ? y ) 也满

o

足 y2 = 2px ,故抛物线 y2 = 2px
(p>0)关于x轴对称.

F(

p ,0 ) 2

x

3、顶点

定义:抛物线和它的轴的交点称为抛物线

的顶点。

由y2 = 2px (p>0)当 y=0时,x=0, 因此抛 物线的顶点就是坐 标原点(0,0)。

y

P(x,y)

o

F(

p ,0 ) 2

x

注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有 两个顶点不同。

4、

离心率

y
P(x,y)

抛物线上的点与 焦点的距离和它到准 线的距离之比,叫做 抛物线的离心率。 由定义知, 抛物线y2 = 2px (p>0)的离心率为e=1.

o

p F ( ,0 ) 2

x

下面请大家得出其余三种标准方程抛 物线的几何性质。

(二)归纳:抛物线的几何性质
图 形
y
l
O F

方程

焦点 准线 范围 顶点 对称轴
x≥0 y∈ R x≤0 x轴

e

y2 = 2px p p F ( , 0 ) x ? ? x (p>0) 2 2
l

y
F O

y2 = -2px p p F ( ? ,0 ) x ? 2 x(p>0) 2 x2 = 2py p p F (0, ) y ? ? 2 2 x (p>0) x2

y∈R
(0,0) 1

y
O

F

y≥0
x∈R y轴 y ≤0

l

y
O F

= -2py F (0,? p ) y ? p 2 x(p>0) 2

l

x∈R

特点:
y2=4x 1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 y2=2x y 限延伸,但它没有渐近线; y2=x 1 2 y = x 2.抛物线只有一条对称轴,没有
4 3 2 1

2

P(x,y)

-2

2

4

6

8

10

对称中心;

-1

-2

3.抛物线只有一个顶点、
-3 -4

o

p F ( ,0 ) 2

x

一个焦点、一条准线; 4.抛物线的离心率是确定的,为1; 思考:抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响. P越大,开口越开阔

-5

三、典例精析
例1:已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标 原点,并且经过点M(2, ?2 2 ),求它的标准方程.

解: 因为抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原
点,并且经过点M(2, ?2 2 ), 所以设方程为: y 2 ? 2 px ( p ? 0) 又因为点M在抛物线上:
所以: (?2
2

2) ? 2 p ? 2 ? p ? 2 2 因此所求抛物线标准方程为: y ? 4x

当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0) (x2=2my (m≠0)),可避免讨论

例题3
思考题 例3:图中是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离 水面2米,水面宽4米. 若在水面上有一宽为 水下降1米后,水面宽多少 2米,高 为 ?1.6米的船只,能否安全通过拱桥? A(2,-2) x2=-2y y=-3代入得 x ?
y o l

6

? 水面宽2 6
B(1,y) y=-0.5 B到水面的距离为1.5米

22

B A

x

不能安全通过

4

补充(1)通径: (标准方程中2p的几何意义)
y

通过焦点且垂直对称轴的直线, 与抛物线相交于两点,连接这 两点的线段叫做抛物线的通径。
O

P ( x 0 , y0 )
F
x

通径的长度:2P

P越大,开口越开阔

利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图。 (2)焦半径: 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做

抛物线的焦半径。
焦半径公式:|PF|=x0+p/2

二.直线与抛物线位置关系
问题:你能说出直线与抛物线位置关系吗?

1、相离;2、相切; y 3、相交(1交点,2交点)

x F

与双曲线的情况一样

三. 直线与抛物线的位置关系的判定
由方程组:

Ax+By+C=0

y2=2px
1.m=0时 2.m≠0时
方程组有一解

mx2+nx+r=0
一个交点

>0
=0 <0

方程组有两解 方程组有一解 方程组无解

两个交点 一个交点 无交点

相交 相切 相离

直线与抛物线有一个公共点的情况有两 种情形:

一种是直线平行于抛物线的对称轴;
另一种是直线与抛物线相切.
例1:判断直线 y = 6与抛 物线 y2 =4x的 位置关系及求交点坐标?
O

y

相交(9,6)

x

例 2.过点 M (0,1) 且和抛物线 C: y 2 ? 4 x 仅有一个公共点 的直线的方程是 __________________________. y ? 1或 x ? 0或 y ? x ?1

分析:(1)k不存在
(2)k存在
?y ? k x?1 联立 ? 2 ? y ? 4x 消去 x 得 ky 2 ? 4 y ? 4 ? 0

k

求过抛物线外一点的切线

斜率!

例 1 已知抛物线的方程为 y ? 4 x ,直线 l 过定点 P (?2,1) , 斜率为 k , k 为何值时 ,直线 l 与抛物线 y 2 ? 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶ 没有公共点?
2

分析:直线与抛物 线有一个公共点 的情况有两种情 形:一种是直线 平行于抛物线的 对称轴; 另一种是直线与 抛物线相切.

?

解:由题意,设直线 l的方程为y ?1 ? k ( x ? 2).

? y ? 1 ? k ( x ? 2) 2 由方程组? 可得 ky ? 4 y ? 4(2k ? 1) ? 0 2 y ? 4x ?
(1)当k ? 0时,由方程得 y ? 1.
1 这时,直线 l与抛物线只有一个公共 点( ,1) 4

1 把y ? 1代入 y ? 4 x, 得x ? . 4
2

(2)当k ? 0时,方程的判别式为 ?=?16(2k 2 ? k ?1).

10由?=0,即2k 2 ? k ?1 ? 0
1 解得 k ? ?1, 或k ? . 2 1 即当k ? ?1,或k ? 时,方程组只有一个解 , 2 即直线与抛物线只有一 个公共点。

20由? ? 0,即2k 2 ? k ?1 ? 0

分析:

1 直线与抛物线有两个 解得 ? 1 ? k ? . 2 公共点时△>0 1 即当 ? 1 ? k ? , 且k ? 0时,方程组有两个解, 2 即直线与抛物线有两个 公共点。 分析:

30由? ? 0,即2k 2 ? k ?1 ? 0

1 解得 k ? ?1,或 k ? . 2 1 即当k ? ?1或k ? 时,方程组没有实数解 , 2 即直线与抛物线没有公 共点。

直线与抛物线没有公 共点时△<0

1 综上所述,当 k ? ?1,或k ? ,或k ? 0时, 2 即直线与抛物线只有一 个公共点。
1 当 ? 1 ? k ? , 且k ? 0时, 2 即直线与抛物线有两个 公共点。 1 当k ? ?1或k ? 时, 2 即直线与抛物线没有公 共点。

注:在方程中,二次项系数含有k,所以要对k进行讨论
作图要点:画出直线与抛物线只有一个公共点时的情 形,观察直线绕点P转动的情形

练习:

?1? 过点p(0,2)且与抛物线y
的直线有几条? (3条)

2

? 4x只有一个公共点

2 2 x y 变式一:把抛物线换成椭圆 ? ? 1 结果如何? (2条) 4 3

x2 y2 变式二:把抛物线换成双曲线 ? ? 1结果 如何?(4条) 4 5

练习 1: 、求过定点(0,2),且与抛物线y2=4x相
切的直线方程.
说明:(1)联立方程组,结合判别式求解

(2)注意斜率不存在的情形

2、顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线,截直线 2x-y-4=0 所得弦长为 3 5 ,求抛物线方程.
说明: (1)联立方程组,结合韦达定理求解 (2)直线被曲线截得的弦︱AB︱= 1+k2 ︱x1-x2︱

二:弦长问题
例2、正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个 顶点在抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 上,求这个三角形的边长。
解:如图,设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上,且坐 y 标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),则

A (x1,y1)

y12 ? 2 px1 ,

y22 ? 2 px2
o x (x2,y2)

又|OA|=|OB|,所以x12+y12=x22+y22 即 x12-x22+2px1-2px2=0, (X12-x22)+2p(x1-x2)=0,

?

?

(x1-x2)(x1+x2+2p)=0. x1=x2.

x1>0,x2>0,2p>0,

B

由此可得|y1|=|y2|,,即线段AB关于x轴对称。

因为x轴垂直于AB,且

?AOX , ? 30?

所以

y12 x1 ? , 2p

? y1 ? 2 3 p,| AB |? 2 y1 ? 4 3 p.

y1 3 ? tan 30? ? x1 3

例7、斜率为1的直线 l 经过抛物线 y ? 4 x 的 焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线 y 段AB的长。 A
2
A`

解这题,你有什么方法呢?

O

B`

F B

x

法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大); 法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);
法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计 算弦长.

例8.(抛物线的焦点弦问题) 已知过抛物线y 2 ? 2 px ? p ? 0 ?的焦点F的直线l交抛 物线于A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点. 问题1:求证 :| AB |? x1 ? x2 ? p
解 : AB ? AF ? BF p p ? ( x1 ? ) ? ( x2 ? ) 2 2 ? x1 ? x2 ? p

解法4
FA = AA1 ? KH ? p ? FA cos?

p FA ? 1 ? cos ?

y
6

同理

p FB ? 1 ? cos ?

A1

5

4

A

3

p p AB ? ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? 2p 2? 2 ? ? ?8 2 2 sin ? sin 45

2

K
B1

1

F
O
1 2 3 4 5 6

H
7 8

-1

B

x

-2

三.抛物线的焦点弦 过抛物线焦点的弦叫焦点弦, 设焦点弦端点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 则 (1) y 2 ? 2 px , ( 2) y 2 ? ?2 px , (3) x ? 2 py ,
2

| AB |? x1 ? x2 ? p; | AB |? p ? x1 ? x2 | AB |? y1 ? y2 ? p | AB |? p ? y1 ? y2
的焦点,作倾斜角为 45
0

( 4) x 2 ? ?2 py ,
练.过抛物线

y2 = 8x

的直线,则被抛物线截得的弦长为____16 _____ _____

例8.(抛物线的焦点弦问题) 已知过抛物线y 2 ? 2 px ? p ? 0 ?的焦点F的直线l交抛 物线于A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点.
?

2p 问题2 : 若 l 的倾斜角为? , 则 AB ? 2 sin ?
解 : 若? ? 若? ? 2 , 则 AB ? 2 p, 此时AB为抛物线的通径 ? 结论得证 p y p )tan ? ,即x ? ? , 2 tan? 2

?
2

, 设直线l的方程为 : y ? ( x ?

代入抛物线方程得 : y 2 ? 2 py ? ? y1 y2 ? ? p 2 , y1 ? y2 ? ? AB ? 1 ? 2p , tan?

1 ? p 2 ? 0, tan?

1 1 2p y ? y ? 2 p ( 1 ? ) ? 1 2 tan 2 ? tan 2 ? sin 2 ?

例8.(抛物线的焦点弦问题) 已知过抛物线y 2 ? 2 px ? p ? 0 ?的焦点F的直线l交抛 物线于A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点. p 问题3 : 求证 : x1 ? x2 ? , y1 ? y2 ? ? p 2 . 4
2

解 :由问题 2的解法知:y1 ? y2 ? ? p ,
2

y12 y2 2 x1 ? , x2 ? , 2p 2p ( y1 y2 )2 P 2 ? x1 x2 ? ? 2 4P 4

例8.(抛物线的焦点弦问题) 已知过抛物线y 2 ? 2 px ? p ? 0 ?的焦点F的直线l交抛 物线于A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点. 1 1 2 问题4 : 求证 : ? ? FA FB p
解法1 : 过A, B作x轴的垂线, 垂足分别为R, S , 直线l的倾斜角为? , P , 1 ? cos? 1 1 ? cos? 1 1 ? cos? 1 1 2 ? ? ,同理 ? , ? ? . AF P BF P FA FB p ER ? EF ? FR ? P ? AF cos? ? AF ? AF ? 解法 2 : 若直线l的斜率不存在, 结论显然成立, p ? ? y ? k( x ? ) 若直线l的斜率存, 设为k , 则 ? 2 2 ? y ? 2 px ? k 2 p2 2 2 2 ? k x ? p( k ? 2 ) x ? ?0 4 1 1 1 1 2 ? ? ? ? ? p p FA FB p x1 ? x2 ? 2 2

练习、过抛物线y ? ax 2 (a ? 0)的焦点F 作一直线交抛物线 1 1 于P、Q两点,若线段PF , QF的长度分别是p, q,则 ? ? ? p q y

?x1 , y1 ? Q . F
?

?

P ? x 2 , y2 ?

O

x

答案:4a

例8.(抛物线的焦点弦问题) 已知过抛物线y ? 2 px ? p ? 0 ?的焦点F的直线l交抛
2

物线于A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点. 问题5 : 焦点弦中, 通径最短.
解 :由问题 2知: AB ? sin 2 ? ? 1? 2p sin 2 ? 2p ? 2 p, 2 sin ? ? AB 的最小值为2 p,即通径最短. 通径的性质 :

?1? 通径的长度 : 2 p; ? 2 ? 通径越大, 抛物线开口越大; ? 3? 通径是抛物线的所有焦点弦中最短的.

例8.(抛物线的焦点弦问题) 已知过抛物线y 2 ? 2 px ? p ? 0 ?的焦点F的直线l交抛 物线于A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点. 问题6 : 若 l 的倾斜角为?,S?AOB
解 : S ?OAB ? S ?OBF ? S ? 0 AF ? ? ? ? ? 1 1 OF ? BF ? sin ? ? OF ? AF ? sin ? 2 2 1 OF ? ? AF ? BF ? sin ? 2 1 OF ? AB ? sin ? 2 1 p 2p ? ? ? sin ? 2 2 2 sin ? p2 2 sin ?

p2 ? . 2 sin?

例8.(抛物线的焦点弦问题) 已知过抛物线y ? 2 px ? p ? 0 ?的焦点F的直线l交抛
2

物线于A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点. 问题7 : 求证 :以AB为直径的圆与准线相切
解 : 设AB的中点为M , 过A, B, M 分别作准线的垂线, 垂足分别为A1 , B1 , M1 , 则 MM1 ? AA1 ? BB1 2 ? AF ? BF 2 ? AB 2

结论得证.

例8.(抛物线的焦点弦问题 ) 已知过抛物线y 2 ? 2 px ? p ? 0 ?的焦点F的直线l交抛 物线于A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点. 问题8 : 过A, B分别作准线的垂线, 垂足分别为A1 , B1 , 则A1F ? B1F .
解 : AA1 ? AF ,??AA1F ? ?AFA1 AA1 / / OF ??AA1F ? ?A1FO ??A1FO ? ?A1FA, 同理?B1FO ? ?B 1 FB , ??A1FB1 ? 90?,? A1F ? B1F .

例3.(抛物线的焦点弦问题 ) 已知过抛物线y ? 2 px ? p ? 0 ?的焦点F的直线l交抛
2

物线于A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点. 问题9 : 设AB的中点为M , 过A, B , M 分别作准线的垂 线, 垂足分别为A1 , B1 , M1 , 则 (1) AM1 ? BM1;( 2) AB ? M1F ; (3) M1F ? AF ? BF ; ( 4)设AM1与A1F 交于H , BM1与B1F 交 于Q , 则M1 , Q , F , H四点共圆; (5) AM1 ? M1B ? 4 M1 M .
2 2 2 2

解 : (1) ( 2)

M1在以AB为直径的圆上,? AM1 ? BM1 .

?A1FB1为直角三角形, M1是斜边A1 B1的中点,

? A1 M1 ? M1F ,??M1FA1 ? ?M1 A1F , ?AA1F ? ?AFA1 , ?AA1F ? ?FA1 M1 ? ?AA1 M1 ? 90?, ??AFA1 ? ?A1FM1 ? 90?,? MF1 ? AB; (3) ? M1F ? AF ? BF ; ( 4) AM1 ? BM1 ,??AM1 B ? 90?又
2 2 2 2

A1F ? B1F ,

??A1FB1 ? 90?, M1 , Q , F , H四点共圆; (5) AM1 ? M1 B ? AB ? ? AF ? BF ? ? AA 1 ? BB1 ? ? ? 2 MM1 ? ? 4 MM1
2 2 2

?

2

例8.(抛物线的焦点弦问题) 已知过抛物线y 2 ? 2 px ? p ? 0 ?的焦点F的直线l交抛 物线于A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点. 问题10 : (1) A, O , B1三点共线;( 2) B, O , A1三点共线; (3)设直线AO与准线交于B1 , 则BB1平行x轴; ( 4)设直线BO与准线交于A1 , 则AA1平行x轴;
y1 y1 2 p y2 2 y2 解 : koA ? ? 2 ? , koB1 ? ?? , p x1 y1 y1 p ? 2 2p 2 y2 2p 而y1 y2 ? ? p 2 ,? koA ? ? ? ? koB1 , 2 ?p p y2 ? A, O , B1三点共线. 同理可证( 2),(3),( 4).

小结

抛物线的焦点弦的如下性质:

(1) | AB |? x1 ? x2 ? p ? 2 x0 ? p (2)以AB为直径的圆必与准线相切 y l 2P (1)若直线的倾斜角为?,则 | AB |? 2 . sin ? A1
(2) A、B两点间的横坐标之积,纵坐标之积均为 p2 定值,即x1x2 ? , y1 y2 ? ? p 2 . 4
p1
B1

A

?
F

p

1 1 2 (3)设 | AF |? m,| BF |? n, 则 ? ? . m n p

B

x

(4)所有的焦点弦中,通径是最短的.

(4) A, O , B1三点共线, B , O , A1三点共线

典型例题:

(

三 中点问题)

例6、已知抛物线C:y2=4x,设直线与抛物线两交点为A、 B,且线段AB中点为M(2,1),求直线l的方程.
解:由题意可知,直线 l斜率一定存在,故可设 l的方程为y -1 ? k(x - 2) (k ? 0) , 设直线与抛物线的交点 坐标A(x1 , y1 ), B(x2 , y 2 ),则x1 ? x 2 ? 4, y1 ? y 2 ? 2

? y 2 ? 4x 而由? 消x得ky 2 - 4y ? 4 - 8k ? 0( 1 ) ? y ? 1 ? k ( x ? 2)

4 由韦达定理可得 y1 ? y 2 ? ? 2 ? k ? 2 k

此时,方程( 1 )的判别式 ? ? 16 ? 4k(4- 8k) ? 112 ? 0
所以直线l的方程为y -1 ? 2(x - 2),即2x - y - 3 ? 0

典型例题:

三 中点问题)

例6、已知抛物线C:y2=4x,设直线与抛物线两交点为A、 B,且线段AB中点为M(2,1),求直线l的方程.
解法二:由题意可知, 直线l斜率一定存在,故可设 A(x1 , y1 ), B(x2 , y 2( ) x1 ? x 2) , 则x1 ? x 2 ? 4, y1 ? y 2 ? 2
2 ? y ? y2 4 ? y1 ? 4 x1 由? 2 ? 1 ? ?2 x1 ? x2 y1 ? y2 ? ? y 2 ? 4 x2

即k AB ? 2

此时直线l的方程为y -1 ? 2(x - 2),即2x - y - 3 ? 0
? y 2 ? 4x 由? 消x得y 2 - 2y - 6 ? 0 ? ? ? 0 ?2 x - y - 3 ? 0

说明:中点弦问题的解决方法:

所以直线l的方程为y -1 ? 2(x - 2),即2x - y - 3 ? 0

①联立直线方程与曲线方程,用韦达定理②点差法

典型例题:
例7、已知ΔABC的三个顶点都在抛物线y 2 = 32x上,顶点A(2,8), 三角形的重心恰好是抛物线的焦点,求BC所在直线方程.

解:由y 2 ? 32 x得焦点坐标为(8,0), 设B( x1 , y1 )、C ( x2 , y2 ),
? A(2,8), 三角形重心是(8,0),
? x1 ? x2 ? 2 ? 8, ? ? x1 ? x2 ? 22, ? 3 ?? 即? ? y1 ? y2 ? 8 ? 0. ? y1 ? y2 ? ?8. ? 3 ?

y
A(2,8)

故BC中点为(11,?4). 2 ? y1 ? y2 32 ? y1 ? 32x1 又由? 2 ? ? ? ?4 x1 ? x2 y1 ? y2 ? ? y 2 ? 32x2 ? k BC ? ?4. 故BC方程为4 x ? y ? 40 ? 0.

o
B

F

.

x

C

故BC所在直线的方程为4 x ? y ? 40 ? 0.

?4 x ? y ? 40 ? 0, 2 又由? 2 得 x ? 22 x ? 100 ? 0, ? ? 84 ? 0. ? y ? 32 x.

2、已知抛物线y2=2x,过Q(2,1)作直线与抛物线交 于A、B,求AB中点的轨迹方程.
y

解: 设A( x1 , y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x, y)
2 ? y ? 1 ? 2 x1 y1 ? y2 2 由? 2 相减得: ? ( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 y1 ? y2 ? y 2 ? 2 x2
?

?

A

O

.

M? Q

F
?

x
B

? k AB
又k AB

1 ? y

y ?1 ? x?2

1 y ?1 ? ? 即y 2 ? y ? x ? 2 ? 0 y x?2

当x1 ? x2 =2时, ( x, y)为(2,0)满足y2 ? y ? x ? 2 ? 0

?中点M轨迹方程为: y 2 ? y ? x ? 2 ? 0

最值问题
1、在抛物线y2=64x上求一点,使它到直线L: 4x+3y+46=0的距离最短,并求此距离.
解:直线与抛物线无交点设抛物线上一点P( x0 . y0 ),
则y0 2 ? 64x0
y0 2 将x0 ? 代入得: 64
2

4 x0 ? 3 y0 ? 46 4 x0 ? 3 y0 ? 46 d ?| |? 5 16 ? 9

y

y0 2 ? 3 y0 ? 46 y ? 48y0 ? 16? 46 ? 0 , ( y0 ? R ) d ? 16 80 5 ?当y0 ? ?24时, d min ? 2 此时P(9,?24)
另解: 设直线4 x ? 3 y ? m ? 0与抛物线相切

O

.

F

x

? y 2 ? 64x y2 ? ? 3y ? m ? 0 ? ?4 x ? 3 y ? m ? 0 16

由? ? 0得 : m ? 36

典型例题:
例4 设P是抛物线y = x 上的点, 若P点到直线 2x - y -4 = 0的距离最小, 求P点的坐标.
解 : 设P点坐标为 ? x0 , x0 2 ? ,
2

由点到直线的距离公式得 d= 2 x0 ? x0 2 ? 4 5 ? 5 2 x0 ? 2 x0 ? 4 5

5 2 ? ? x0 ? 1? ? 3 5 3 5 ? 5 3 5 由上式可知 : 当x0 ? 1时, d min ? 5 ? P点坐标为?1,1? .

例5、已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2,求AB中点纵坐标 的最小值. 解:设A( x1, y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x0 , y0 )
设l AB : y ? kx ? b
y
M A F

B

2 1 k 由弦长 | AB |? 1 ? k 2 k 2 ? 4b ? 2 ? b ? ? 2 1? k 4 k2 y1 ? y2 x1 ? x2 ? y0 ? ? k( )?b? ?b 2 2 2

? y ? kx ? b 2 ? x ? kx ? b ? 0 ? 2 ?y ? x

o

x

k2 1 1? k 2 1 1 1 3 ? y0 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? (当k ? ?1时,取等号 ) 2 2 4 1? k 4 1? k 4 4 4
? y0 min ? 2014-12-19 3 4

1 此时 l AB : y ? ? x ? 4

例5、已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2,求AB中点纵坐标 的最小值. 解法二: 设A( x1 , y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x0 , y0 )
2 MN ? AD ? BC , MN ?
1 AD ? BC ? 2( ? y0 ) 4
1 AF ? BF ? 2( ? y0 ) 4
p 1 ? y0 ? ? y0 , 2 4
A D

y
M F

B

o
N C

x

AD ? AF , BC ? BF

?ABF中, AF ? BF ? AB ? 2

? (| AF | ? | BF |) min ? 2 即y0 min
2014-12-19

3 ? 4

例6、抛物线y2 ? x和圆(x ? 3)2 ? y 2 ? 1上最近两点间的距离为?
分析:如图, 抛物线上任意一点 P与圆上任意一点 Q

y

| PQ |?| PA |
? | PQ | 最小值时,连线必经过 圆心

O F

.

P Q A
?

C

x

设P( x, y), C (3,0)
?| PC |? ( x ? 3) ? y ?
2 2

x ? 5 x ? 9 ( x ? 0)
2

5 11 ?当x ? 时, | PC |min ? 2 2
2014-12-19

11 ?| PQ |min ? ?1 2

(对称问题): 1 、 若 抛 物 线 y2 ? x 存 在 关 于 直 线 答案 : ? 2 ? k ? 0. k 的取值范围 l : y ? 1 ? k ( x ? 1) 对称的两点,求实数

分 析: 假设 存在 关于 直线 l : y ? 1 ? k ( x ? 1) 对 称 的 两 点 A、B,看 k 应满足什么条 件. 显然 k ? 0 不合题意,∴ k ? 0 1 ∴直线 AB 的方程为 y ? ? x ? b k 继续尝试估计主要也是设而不求,联立方程组,韦达定理找条件.
这里有两个东西可以运用:一是中点条件,二是根的判别式.

例4、已知抛物线y ? x 2上存在两个不同的点A, B关于 9 直线l:y ? k x ? 对称,求k的范围. 2

解: 设A( x1, y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x0 , y0 )

2 ? y ? x y1 ? y2 1 ? 1 1 相减得:kAB ? ? x1 ? x2 ? 2 x0 ? ? 由? 2 x1 ? x2 k ? ? y 2 ? x2 y 9 1 A 又y0 ? kx0 ? ? y0 ? 4 ? x0 ? ? 2 2k ? M

要使直线AB与抛物线有两交点, 则M(x0,y0)在抛物线内部, ? y0 >
2

l

P .
F

B

x

2 0

即4 >

x

2 0

1 ?4 ? 2 4k

O

x

1 ?k ? 16

1 1 ? k ? (?? ,? ) ? ( ,?? ) 4 4

例4、已知抛物线y ? x 2上存在两个不同的点A, B关于 y A 9 直线l:y ? k x ? 对称,求k的范围. M ?P 2 .

l

B

F

1 解法二:由题目k ? 0可设直线AB方程为y=- x ? b, k 1 1 2 2 与y=x 联立得x ? x ? b ? 0, ?? ? 2 ? 4b >0 k k

O

x

1 1 1 1 又x1 ? x2 ? ? ,y1 ? y2 ? (- x1 ? b)( ? - x2 ? b) ? 2 ? 2b k k k k

1 1 9 1 ? AB中点M ( ? , 2 ? b)代入y=kx+ 得,b=4- 2 , 2k 2k 2 2k

1 1 1 1 1 2 ?? ? 2 ? 4b ? 16- 2 >0, ? k > ? k < ? 或k > k k 16 4 4

x y 练习:椭圆 ? ? 1上存在关于直线 9 4 l : y ? 2 x ? m对称的两点A、B,求m的范围。
解法一:设A(x1 ,y1 ),B(x 2 ,y 2 ), AB中点M (x 0 ,y 0 )
2 2 2 2 x1 y1 x2 y2 ? ? 1, ? ? 1相减得 9 4 9 4 4 x0 1 9 8 k AB ? ? ? ? 又y0 =2x0 +m解得x 0 ? ? m, y0 ? ? m 9 y0 2 10 10 2 x2 y 点M 在椭圆内部,? 0 ? 0 ? 1 9 4 9 8 x 0 ? ? m, y0 ? ? m代入上式解得-2<m<2 10 10

2

2

1 x y 解法二:设AB方程为y= ? x ? n代入 ? ?1 2 9 4 25 2 25 2 2 得 x ? 9nx ? 9n ? 36 ? 0,由? ? 0得n ? , 4 4 36n 32n 又x1 ? x2 ? ,y1 ? y2 ? , 25 25 18n 16n AB中点M ( , )代入y=2x+m 25 25 5 25 2 可得n=- m代入n ? 得-2<m<2 4 4

x y 练习:椭圆 ? ? 1上存在关于直线 9 4 l : y ? 2 x ? m对称的两点A、B,求m 的范围。 2 2

2

2

:抛物线的定值问题 2 A 、B 是抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 上的两点,满足 3、 OA ? OB (O 为坐标原点). 求证 : ⑴ A 、B 两点的横坐标之积 , 纵坐标之 积分别为定值; ⑵直线 AB 经过一个定点.
解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),

kOA

y1 y2 ? , kOB ? x1 x2
∴ x1x2+y1y2=0

∵ OA⊥OB ∴ kOAkOB=-1 ∵ y12=2px1,y22=2px2 ∴ y1y2=-4p2

y12 y2 2 ? ? ? y1 y2 ? 0 2p 2p
∴ x1x2=4p2

∵ y1≠0,y2≠0

2 y A 、B 是抛物线 ? 2 px ( p ? 0) 上的两点,满足 3、 OA ? OB (O 为坐标原点). 求证 : ⑴ A 、B 两点的横坐标之积 , 纵坐标之

积分别为定值; ⑵直线 AB 经过一个定点.
解:⑵∵y12=2px1,y22=2px2
y1 ? y2 2p ∴ ? x1 ? x2 y1 ? y2

点差法

∴(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2)

∴ k AB ?

2p 2p ∴直线 AB: y ? y1 ? ( x ? x1 ) y1 ? y2 y1 ? y2

2 px1 2 px ∴ y? ? y1 ? y1 ? y2 y1 ? y2

y12 ? 2 px1 ? y1 y2 2 px ∴ y? ? y1 ? y2 y1 ? y2

∵ y1 ? 2 px1 , y1 y2 ? ?4 p
2

2

2p ∴ y? ( x ? 2 p) y1 ? y2

2 px ?4 p2 ∴y? ? y1 ? y2 y1 ? y2
∴ AB 过定点(2p,0).

2014-12-19

课堂练习
(1)过Q(4,1)点作抛物线y2 =8x的弦AB恰被Q点所平分, 求AB所在直线方程? 4x - y -15 ? 0

2.已知抛物线y 2 ? 6 x, 过点P(4,1)引一条弦,使它恰在点P被平 分,则这条直线的方程为

y ? 3x ? 11 .

3. AB为抛物线x 2 ? 4 y上的过焦点的弦,且 | AB |? 2m(m ? 2) 则弦AB的中点M 到x轴的距离为

m ? 1 .最短的距离为

1

.

课堂练习
1.设抛物线y 2 ? 4x截直线y ? 2x ? k所得的弦长| AB |? 3 5, 则k ?

?4

2.抛物线的一条弦所在直线是 y ? 2 x ? 5 ,且弦的中点的横坐标为

-3,则此抛物线的方程为

y 2 ? ?4 x

.

2 3.过抛物线 y ? 4x 的焦点 F ,作互相垂直的两条焦点弦 AB 和CD

则| AB | ? | CD |的最小值为

16

.

2. 已知正方形 ABCD 的一边 CD 在直线 y ? x ? 4 上 , 顶 B 在抛物线 y 2 ? x 上,求正方形的边长. 点 A、

解:设 AB 的方程为 y=x+b, ?y ? x?b 由? 2 消去 x 得 y2-y+b=0, ?y ? x

设 A(x1,y1) , B(x2,y2), 则 y1+y2=1 , y1y2=b,
1 ∴ AB ? 1 ? 2 k
又 AB 与 CD 的距离 d=

( y1 ? y1 )2 ? 4 y1 y2 = 2 ? 8b ,
,由 ABCD 为正方形有 2 ? 8b =

4?b 2

4?b 2

,

解得 b= -2 或 b=-6.∴正方形的边长为 3 2 或 5 2 .

二、抛物线中的直角三角形问题 例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的 两点,且OA⊥OB,

1. 求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积;
2. 求证:直线AB过定点;

3. 求弦AB中点P的轨迹方程;
4. 求△AOB面积的最小值;

5. 求O在AB上的射影M轨迹方程.

例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点,且 OA⊥OB,
(1) 求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积;

[解答] (1)设A(x1, y1),B(x2, y2),中点P(x0, y0),
kOA y1 y2 ? , kOB ? x1 x2

∵ OA⊥OB ∴ kOAkOB=-1,∴ x1x2+y1y2=0 ∵ y12 = 2px1,y22 = 2px2
y1 y2 ? ? ? y1 y2 ? 0 2p 2p
2 2

∵ y1≠0, y2≠0, ∴ y1y2=?4p2 ∴ x1x2=4p2.

例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点,且OA⊥OB,

(2) 求证:直线AB过定点;
[解答](2)∵ y12=2px1,y22=2px2∴ (y1?y2)(y1+y2) = 2p(x1?x2)

y1 ? y2 2p ? ? x1 ? x2 y1 ? y2

? k AB ?

2p y1 ? y2

2p ? 直 线AB : y ? y1 ? ( x ? x1 ) y1 ? y2
2 px y1 ? 2 px1 ? y1 y2 2 px 2 px1 ?y? ? ?y? ? y1 ? y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2
2 2 px ? 4 p 2 ? ? y1 ? 2 px1 , y1 y2 ? ?4 p2 ? y ? y1 ? y2 y1 ? y2
2

?y?

2p ( x ? 2 p) y1 ? y2

∴ AB过定点T(2p, 0).

例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点,且 OA⊥OB, (3) 求弦AB中点P的轨迹方程;
2p 2p ?A( 2 , ) (3)设OA∶y = kx,代入y2=2px 得: k ? 0, k k
1 ? 同理, k

以代k得B(2pk2, -2pk) .

1 ? 2 x ? p ( k ? ) ? ? 0 k2 ?? ? y ? p( 1 ? k ) 0 ? k ?

1 1 2 ? k ? 2 ? (k ? ) ? 2 ? k k
2

x0 y0 2 ?( ) ?2 p p

即 y02 = px0-2p2,

∴ 中点M轨迹方程 y2 = px-2p2

例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点,且OA⊥OB, (4)求△AOB面积的最小值;

(4)

? S ?AOB ? S ?AOM ? S ?BOM 1 ? | OT | (| y1 | ? | y2 |) ? p(| y1 | ? | y2 |) 2

? 2 p | y1 y2 | ? 4 p2
当且仅当|y1|=|y2|=2p时,等号成立.

例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点,且OA⊥OB, (5)求O在AB上的射影M轨迹方程. y (5)法一:设M(x3, y3), 则 kOM ? 3 x3 x

x3 ? AB : y ? y3 ? ? ( x ? x3 ) y3 y3 y3 即x ? ? ( y ? y3 ) ? x3代入y 2 ? 2 px得 x3 2 2 py3 2 py3 2, 2 由 (1) 知, y y =-4 p y ? y? ? 2 px3 ? 0, 1 2 x3 x3 2 2 py3 ? ? 2 px3 ? 4 p 2 整理得:x32+y32 -2px3=0, x3
? k AB ? ?
3

∴ 点M轨迹方程为x2+y2-2px=0(去掉(0, 0)).

7. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点,且OA⊥OB, (5)求O在AB上的射影M轨迹方程.

法二:∵ AB过定点T(2p, 0). ∴ ∠OMT=90?, 又OT为定线段 ∴ M在以OT为直径的圆上 ∴ 点M轨迹方程为(x-p)2+y2=p2, 去掉 (0, 0). 评注:此类问题要充分利用(2)的结论.

(1)直线l过抛物线y =2px (p>0)的焦点且与x轴垂直,

2

3 若l被抛物线截得的线段长为6,则p=__________
p ( , p) 2A
O
p F ( ,0) 2

y

y2=2px

x

p B ( ,? p ) 2 l

(2,0) (2) 已知抛物线方程 y 2=8x, 则它的焦点坐标为 _______, 准线方程为 x=-2 , ________

若该抛物线上一点到y轴距离等于5,则它到抛物线的 焦点的距 7 离为___________ ,

若该抛物线上一点M到焦点距离等于4,则M的坐标为__________.
y

(2,4),(2,-4)

H
O

Q p
F (2,0)

y ? 8x
2

y

y ? 8x
2

H
x
O

M
F (2,0)

x

l:x=-2

l

:x=-2

(3)抛物线的顶点在原点, 对称轴为y轴,焦点在 x+2y-12=0上, x2=24y 则它的方程为__________. o

y
F(0,6) x

L: x+2y-12=0 (4)抛物线y =2x上的两点A、B
2

到焦点的距离和为5,则线段AB
中点到y轴的距离是__________. 2
C

y

A

N

O F

M

x

D
L:x=1 2

B

(5) 一抛物线拱桥,当拱顶离水面2米时,水面宽
4米,则当水面下降1米后,水面宽__________米。
y l O

2

x
2

(-2,-2)A 2 G 1 C H

B(2,-2)
D

x2=-2y

? 6 ? (2010 合肥二检)直线l过抛物线y 2 = 2px ? p > 0 ?的焦点,且与抛物线交于A、B两点,若
线段AB的长是8,AB的中点到y轴的距离是2, 则此抛物线的方程是 ? A.y 2 =12x C.y 2 = 6x

?
B .y 2 = 8x D .y 2 = 4x

? 7 ?已知F是抛物线C:y 2 = 4x的焦点,A、B是C 上的两个点,线段AB的中点为M ? 2,2 ?,则
ΔABF的面积等于 .

书面作业:
2

例8 已知抛物线x = 2y, 过点Q(0,2)作一直线交抛物线于A、B两点, 试求弦AB中点的轨迹方程.



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