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3.1随机事件的概率


一、教学目标: 1、知识与技能:(1)了解随机事件、必然事件、不 可能事件的概念;(2)正确理解事件A出现的频率的 意义;(3)正确理解概率的概念和意义,明确事件A 发生的频率fn(A)与事件A发生的概率P(A)的区别 与联系. 2、过程与方法:发现法教学,通过在抛硬币的试验 中获取数据,归纳总结试验结果,发现规律,真正做 到在探索中学习,在探索中提高.
接4

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3、情感态度与价值观:(1)通过学生自己动手、 动脑和亲身试验来理解知识,体会数学知识与现实 世界的联系;(2)培养学生的辩证唯物主义观点, 增强学生的科学意识. 二、重点与难点: (1)教学重点:事件的分类;概率的定义以及和 频率的区别与联系; (2)教学难点:用概率的知识解释现实生活中的 具体问题.

1名数学家=10个师

在第二次世界大战中,美国曾经宣布:一名优秀 数学家的作用超过10个师的兵力.这句话有一个非同 寻常的来历. 1943年以前,在大西洋上英美运输船队常常受到 德国潜艇的袭击,当时,英美两国限于实力,无力增 派更多的护航舰,一时间,德军的“潜艇战”搞得盟 军焦头烂额. 为此,有位美国海军将领专门去请教了几位数学 家,数学家们运用概率论分析后得出,舰队与敌潜艇 相遇是一个随机事件,从数学角度来看这一问题,它 具有一定的规律性.一定数量的船(为100艘)编队规 模越小,编次就越多(为每次20艘,就要有5个编次), 编次越多,与敌人相遇的概率就越大.

美国海军接受了数学家的建议,命 令舰队在指定海域集合,再集体通过 危险海域,然后各自驶向预定港口.结 果奇迹出现了:盟军舰队遭袭被击沉 的概率由原来的25%降为1%,大大减 少了损失,保证了物资的及时供应.

? 在自然界和实际生活中,我们会遇 到各种各样的现象. 如果从结果能否预知的角度来看, 可以分为两大类: 一类现象的结果总是确定的,即在一 定的条件下,它所出现的结果是可以预 知的,这类现象称为确定性现象; 另一类现象的结果是无法预知的,即 在一定的条件下,出现那种结果是无法预 先确定的,这类现象称为随机现象.

一.随机事件:
? ? ? ? ? ? ? ?

我们来看下面的一些事件: (1)“导体通电时,发热”; (2)“抛一块石头,下落”; (3)“标准大气压下且温度低于0℃时,冰融化”; (4)“海南七月下雪”; (5)“某人射击一次,中靶”; (6)“掷一枚硬币,出现正面”。 上面事件发生与否,各有什么特点?

? 在一定条件S下,一定会发生的事件,叫做相 对于条件S的必然事件,简称必然事件. ? 在一定条件S下,一定不会发生的事件,叫做 相对于条件S的不可能事件,简称不可能事件. ? 在一定条件S下可能发生也可能不发生的事 件,叫做相对于条件S的随机事件;简称随 机事件. ? 确定事件和随机事件统称为事件,一般用大 写字母A,B,C……表示.

? ? ? ? ?

例1:指出下列事件是必然事件,不可能事 件,还是随机事件? (1)某同学竞选学生会主席的成功性; (2)当x是实数时,x2≥0; (3)技术充分发达后,不需要任何能量的 “永动机”将会出现; (4)一个电影院某天的上座率超过50%. (5)某人给朋友打电话,却忘记了电话号码 的最后一个数,就随意的按了一个数字,刚 好是朋友的电话号码。

必然事件发生的概率为1;不可能事 件发生的概率为0;随机事件发生的概率 P(A)∈(0,1).
二.概率的定义: 对于随机事件,知道它发生的可能性 大小是非常重要的.用概率度量随机事件 发生的可能性大小能为我们的决策提供 关键性的依据.那么,如何才能获得随机事 件发生的概率呢?

试验:
做抛掷一枚硬币的试验,观察它落 地时 哪一个面朝上 第一步: 每人各取一枚同样的硬币,做 10次掷硬币试验,记录正面向上的次数 和比例,填入下表中:
姓名
试验总次 数 正面朝上总次 数

正面朝上的比 例

思考:试验结果与其他同学比较, 你的结果和他们一致吗?为什么? 第二步: 由组长把本小组同学的 试验结果统计一下,填入下表:
组次
试验总次 数 正面朝上总次 数

正面朝上的比 例

思考:与其他小组试验结果比较,
正面朝上的比例一致吗?为什么? 第三步 : 把全班实验结果收集起来, 也用条形图表示.
班级
试验总次 数 正面朝上总次 数

正面朝上的比 例

1.掷硬币试验: 第一步:……第二步:……第三步:…… 第四步:请把全班每个同学的试验中正面朝上 的次数收集起来,并用条形图表示. 正面出现次数的频数表 第五步:请同学们找出掷硬币时“正面朝上” 这个事件发生的规律性. 随着试验次数的增加,正面朝上的频率稳 定于0.5附近.

★频数与频率: 在相同的条件S下重复n次试验,观察 某一事件A是否出现,称n次试验中事件A 出现的次数nA为事件A出现的频数;

nA 称事件A出现的比例fn(A)= 为事 n 件A出现的频率.
频率的取值范围是[0,1].

2.由特殊的事件转到一般事件: 计算机模拟掷硬币试验 一般说来,随机事件A在每次试验中是否 发生是不能预知的,但是在大量重复试验后,随 着试验次数的增加,事件A发生的频率会逐渐稳 定在区间[0,1]中的一个常数上. 3.解释这个常数代表的意义: 这个常数越接近于1,表明事件A发生的频 率越大,频数就越多,也就是它发生的可能性越 大;反过来,事件发生的可能性越小,频数就越少, 频率就越小,这个常数也就越小.

因此,我们可以用这个常数来度量事 件A发生的可能性的大小.

对于给定的随机事件A,如果随着试验 次数的增加,事件A发生的频率fn(A)稳定 在某个常数上,把这个常数记作P(A), 称为事件A的概率。 因此,可以用频率fn(A)来估计概率P(A).

频率与概率的区别与联系:
(1)频率是概率的近似值,随着试验次数的增 加,频率会越来越接近概率.在实际问题中,通常事 件的概率未知,常用频率作为它的近似值.比如一辆
汽车在一年内出交通事故的概率就是未知的,保险公司收取汽车 的保险费就与此概率有关,一般以当地交通部门的统计数据为依 据,得到该事件发生的频率作为一年内出交通事故的概率的估计 值.

(2)频率本身是随机的,在试验前不能确定.

做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同,比如全班每人做 了10次掷硬币的试验,但得到正面朝上的频率可以是不同的.

(3)概率是一个确定的数,是客观存在的,与 每次试验无关. 比如,如果一个硬币是质地均匀的,则掷硬币
出现正面朝上的概率就是0.5,与做多少次试验无关.

注意以下几点:
(1)求一个事件的概率的基本方法是通 过大量的重复试验; (2)只有当频率在某个常数附近摆动时, 这个常数才叫做事件 A的概率; (3)概率是频率的稳定值,而频率是概 率的近似值;

(4)概率反映了随机事件发生的可能性 的大小; (5)必然事件的概率为1,不可能事件的 概率为0.因此 0 ? P? A? ? 1.

三.求随机事件概率的必要性: 知道事件的概率可以为人们做决策提 供依据. 概率是用来度量事件发生可能性大小 的量.小概率事件很少发生,而大概率事件 经常发生.例如天气预报报道“今天降水的概
率是10%”,可能绝大多数人出门都不会带雨具; 而如果天气预报报道“今天降水的概率是90%”, 那么大多数人出门都会带雨具.

? 例1 盒中装有4个白球5个黑球,从中任意 的取出一个球。 (1)“取出的是黄球”是什么事件?概率 是多少? 是不可能事件,概率是0 (2)“取出的是白球”是什么事件?概率 是多少?是随机事件,概率是4/9 (3)“取出的是白球或者是黑球”是什 么事件?概率是多少? 是必然事件,概率是1

例2 某射击手在同一条件下进行射击,结果如下表所示:
射击次数n

10 9

20 19

50 45

100 92

200 178

500 455

击中靶心次数m 击中靶心的频率

0.90 0.95 0.90 0.92 0.89 0.91

(1)填写表中击中靶心的频率; (2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是什么?

解(2)由于频率稳定在常数0.90,所以这个射 手射击一次,击中靶心的概率约是0.90。 小结:概率实际上是频率的科学抽象,求 某事件的概率可以通过求该事件的频率而估计。

例3 某人进行打靶练习,共射击10次,其中有 2次中10环,有3次中9环,有4次中8环,有1次 未中靶,则此人中靶的概率大约是________ 0.9 , 假设此人射击1次,试问中靶的概率约为 0.9 中10环的概率约为_________. 0.2 ______,
课堂练习: 1.将一枚硬币向上抛掷10次,其中正面向上恰有5次 是( B ) A.必然事件 B.随机事件 C.不可能事件 D.无法确定 2.下列说法正确的是( C ) A.任一事件的概率总在(0.1)内 B.不可能事件的概率不一定为0 C.必然事件的概率一定为1 D.以上均不对

练习:
1、下列事件: (1)口袋里有伍角、壹角、壹元的硬币若干 枚,随机地摸出一枚是壹角。 (2)在标准大气压下,水在90℃沸腾。

(3)射击运动员射击一次命中10环。
(4)同时掷两颗骰子,出现的点数之和不超 过12。 其中是随机事件的有 (C )

A、 (1) B、(1)(2) C、(1)(3)

D、(2)(4)

2、下列事件: (1)如果a、b∈R,则a+b=b+a。 1 1 (2)如果a<b<0,则 > 。 a b (3)我班有一位同学的年龄小于18且大于20。 (4)没有水份,黄豆能发芽。

其中是必然事件的有
A、(1)(2) B、(1) C、(2)

(A )
D、(2)(3)

3、下列事件: (1)a,b∈R且a<b,则a-b∈R。 (2)抛一石块,石块飞出地球。 (3)掷一枚硬币,正面向上。 (4)掷一颗骰子出现点8。 其中是不可能事件的是 A、(1)(2) B、(2)(3) (C) C、(2)(4) D、(1)(4)

4、下面四个事件: (1)在地球上观看:太阳升于西方,而落于东方。 (2)明天是晴天。 (3)下午刮6级阵风。 (4)地球不停地转动。

其中随机事件有
A、(1)(2) B、(2)(3)

( B)
C、(3)(4) D、(1)(4)

5、随机事件在n次试验中发生了m次,则(C ) (A) 0<m<n (C) 0≤m≤n (B) 0<n<m (D) 0≤n≤m

课堂小结
1.随机事件; 2.频数和频率; 3.概率;

4.频率与概率的区别与联系.

作业:

1.教学任务分析: (1)正确理解概率的含义.

(2)了解概率在实际问题中的应用.
(3)进一步理解概率统计中的随机性与规律性的关系.

2.教学重点与难点:
重点:概率的正确理解及其在实际中的应用.

难点:随机试验结果的随机性与规律性的关系.

3.〖教学情境设计〗

[复习回顾]你能回忆一下随机事 件发生的概率的定义吗?
对于给定的随机事件A,如果随 着试验次数的增加,事件A发生的频 率fn(A)稳定在某个常数上,把这个 常数记作P(A),称为事件A的概率。

1.概率的正确理解: 〖思考1〗有人说,既然抛掷一枚硬币出 现正面的概率为0.5,那么连续两次抛掷一枚 质地均匀的硬币,一定是一次正面朝上,一次 反面朝上,你认为这种想法正确吗?做做试验 试试看. 点评:这种想法是错误的.因为连续两次 抛掷一枚质地均匀的硬币仅仅是做两次重 复的试验,试验的结果仍然是随机的,当然可 以两次均出现正面朝上或两次均出现反面 朝上.

〖思考2〗连续两次抛掷一枚质地均匀的 硬币,你能说说:两次均正面朝上、一次正面朝 上,一次反面朝上、两次均反面朝上的概率分别 是多少吗? 因为连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币, 可能出现的结果有四种:正正、正反、反正、 反反.
所以 P(两次均正面朝上)=0.25; P(两次均反面朝上)=0.25; P(一次正面朝上,一次反面朝上)=0.5.

〖思考3〗做连续抛掷两枚质地均匀的硬 币100次,预测一下“两个正面朝上”、“一个 正面朝上,一个反面朝上”、“两个反面朝上” 大约各出现多少次?
因为同时抛掷两枚质地均匀的硬币,可能出现 的结果有四种:正正、正反、反正、反反. 所以 P(两个均正面朝上)=0.25;

P(两个均反面朝上)=0.25;
P(一个正面朝上,一个反面朝上)=0.5. 做连续抛掷两枚质地均匀的硬币100次,可以预见 “两个正面朝上”大约出现25次、“一个正面朝上,一 个反面朝上”大约出现50次、“两个反面朝上”大约出 现25次.出现“一个正面朝上,一个反面朝上”的机会要 大.

归纳小结:
随机事件在一次试验中发生 与否是随机的,但随机中含有规律 性.认识了这种随机性中的规律性, 就能使我们比较准确地预测随机 事件发生的可能性.

例如:把同样大小的9个白色乒乓球和1个黄 色乒乓球放在一个不透明的袋子中,每次摸出1球 后放回袋中,这样摸10次, (1)每次摸到白球的可能性大还是黄球的可 能性大?

(2)摸的10次中是否一定至少有1次摸到黄球? 点评:每次摸到白球的概率是0.9,而每次摸 到黄球的概率为0.1,因此每次摸到白球的可能 性要大.
尽管每次摸到黄球的概率为0.1,但摸10次 球,不一定能摸到黄球.

〖思考4〗如果某种彩票的中奖率为 么买1000张这种彩票一定能中奖吗?(假设该彩票 有足够多的张数.)请用概率的意义解释. 点评:不一定.因为每张彩票是否中奖是随 机的,1000张彩票有几张中奖也是随机的.这就 是说,每张彩票既可能中奖也可能不中奖,因此 1000张彩票中可能没有一张中奖,也可能有一 张、两张乃至多张中奖. 虽然中奖张数是随机的,但这种随机性中 具有规律性.即随着所买彩票张数的增加,其中 中奖彩票所占的比例可能越接近于1/1000.

1 1000 ,那

2.游戏的公平性:
在各类游戏中,如果每人获胜的概率相等, 那么游戏就是公平的.这就是说,是否公平只要 看获胜的概率是否相等. 例:在一场乒乓球比赛前,裁判员利用抽签 器来决定由谁先发球,请用概率的知识解释其 公平性. 解:这个规则是公平的,因为抽签上抛后, 红圈朝上与绿圈朝上的概率均是0.5,因此任 何一名运动员猜中的概率都是0.5,也就是每 个运动员取得先发球权的概率都是0.5。 小结:事实上,只要能使两个运动员取得 先发球权的概率都是0.5的规则都是公平的。

3.决策中的概率思想:
〖思考1〗连续掷硬币100次,结果100次全 部是正面朝上,出现这样的结果,你会怎样想?如 果有51次正面朝上,你又会怎样想? 〖思考2〗如果一个袋中或者有99个红 球,1个白球,或者有99个白球,1个红球,事先不知 道到底是哪种情况.一个人从袋中随机摸出1球, 结果发现是红球,你认为这个袋中是有99个红 球,1个白球,还是有99个白球,1个红球呢?

〖思考3〗如果连续10次掷一枚正方体骰 子,结果都是出现1点.你认为这枚骰子的质地均 匀吗?为什么? 掷一枚骰子的模拟

点评:如果这枚骰子是均匀的,那么掷一次 1 出现1点的概率是 6 , 连续掷10次出现1点的 概率为
?1? ? ? ? 0.000000016538, ?6?
10

这在一次试验(即连续10

投掷一枚骰子)中是几乎不可能发生的.而当骰 子不均匀时,特别是当6点的那面比较重时(例 如灌了铅或水银),会使出现1点的概率最大,更 有可能连续10次出现1点.因此我们可以判断这 枚骰子的质地不均匀.

极大似然法 -------如果我们面临的是从多个可选 答案中挑选正确答案的决策任务,那么 “使得样本出现的可能性最大”可以作 为决策的准则,这种判断问题的方法称为 极大似然法.

极大似然法是统计中重要的统计思 想方法之一.

4.天气预报的概率解释:
天气预报是气象专家根据观测到的气象资 料和专家们的实际经验,经过分析推断得到的. 它不是本书上定义的概率,而是主观概率的一种. 〖思考〗某地气象局预报说,明天本地降 水概率为70%,你认为下面两个解释中哪一个代 表气象局的观点? (1)明天本地有70%的区域下雨,30%的区 域不下雨;



(2)明天本地下雨的机会是70%.

例:生活中,我们经常听到这样的议论: “天气预报说昨天降水概率为90%,结果根本 一点雨都没下,天气预报也太不准确了。”学 了概率后,你能给出解释吗? 解:天气预报的“降水”是一个随机事 件,概率为90%指明了“降水”这个随机事 件发生的概率,我们知道:在一次试验中, 概率为90%的事件也可能不出现,因此, “昨天没有下雨”并不说明“昨天的降水概 率为90%”的天气预报是错误的。

5.试验与发现(P110)
6.遗传机理中的统计规律(P110)
课堂小结
概率是一门研究现实世界中广泛存在的 随机现象的科学,正确理解概率的意义是认识、 理解现实生活中有关概率的实例的关键,学习 过程中应有意识形成概率意识,并用这种意识 来理解现实世界,主动参与对事件发生的概率 的感受和探索。

作业: 课本P111页T2,T3.

课本P117页T6.

一、教学目标: 1、知识与技能: (1)正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等 事件,以及互斥事件、对立事件的概念; (2)概率的几个基本性质; (3)正确理解和事件与积事件,互斥事件与对立事件 的区别与联系. 2、过程与方法:通过事件的关系、运算与集合的关 系、运算进行类比学习,培养学生的类化与归纳的数 学思想。 3、情感态度与价值观:通过数学活动,了解教学与 实际生活的密切联系,感受数学知识应用于现实世界 的具体情境,从而激发学习 数学的情趣。 二、重点与难点: 概率的加法公式及其应用,事件的关系与运算。

〖教学情境设计〗
(1)集合有相等、包含关系, 如{1,3}={3,1},{2,4} ?{2,3,4,5}等; (2)在掷骰子试验中,可以定义许多事件如: C1={出现1点},C2={出现2点},C3={出现1点 或2点},C4={出现的点数为偶数}…… 观察上例,类比集合与集合的关系、运算,你 能发现事件的关系与运算吗?

1.事件的关系与运算
事件的关 系与运算 事件B包含 事件A 事件的相 等 条件 符号

B?A 如果事件A发生,那么事 (或A ? B) 件B一定发生 如果事件A发生,那么事件 A=B B一定发生,反过来也对.

并事件(或 和事件)

某事件发生当且仅当事件 A发生或事件B发生.

A∪ B (或A+B) A∩B (或AB)

交事件(或 某事件发生当且仅当事件 A发生且事件B发生. 积事件)

事件的关 系与运算

条件

含义

A∩B为不可能事件 事件A与事件B在 互斥事件 任何一次试验中 (A∩B= ? ) 不会同时发生.
A∩B为不可能事件, 事件A与事件B在 任何一次试验中 A ∪ B 为必然事件 . 对立事件 有且仅有一个发 A ? B ? ?, A ? B ? ? 生.

3.例题分析: 例1 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是 互斥事件?哪些是对立事件? 事件A:命中环数大于7环; 事件B:命中环数为10环; 事件C:命中环数小于6环; 事件D:命中环数为6、7、8、9、10环. 分析:要判断所给事件是对立还是互斥,首先 将两个概念的联系与区别弄清楚,互斥事件是指不可 能同时发生的两事件,而对立事件是建立在互斥事件 的基础上,两个事件中一个不发生,另一个必发生。

解:互斥事件有:A和C、B和C、C和D. 对立事件有:C和D.

? 练习:从1,2,…,9中任取两个数,其中 (1)恰有一个是偶数和恰有一个是奇数; (2)至少有一个是奇数和两个数都是奇数; (3)至少有一个奇数和两个都是偶数; (4)至少有一个偶数和至少有一个奇数。 在上述事件中是对立事件的是 ( C ) A.(1) B.(2) (4) C.(3) D.(1) (3)

? 练习:判断下列给出的每对事件,是否为互 斥事件,是否为对立事件,并说明理由。 从40张扑克牌(红桃,黑桃,方块,梅花点 数从1-10各10张)中,任取一张。 (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”; 是互斥事件,不是对立事件 (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”; 既是互斥事件,又是对立事件 (3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出 的牌点数大于 9” 。 不是互斥事件,也不是对立事件

2.概率的几个基本性质: (1)任何事件的概率在0~1之间,即 0≤P(A)≤1 (2)必然事件的概率为1,即 P(Ω)=1 (3)不可能事件的概率为0,即

P(?) ? 0

(4)如果事件A与事件B互斥,则 P(A∪B)=P(A)+P(B) (5)如果事件B与事件A是互为对立事件,则 P(B)=1-P(A)

例2 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机 抽取一张,那么取到红心(事件A)的概率是 0.25,取到方块(事件B)的概率是0.25,问: (1)取到红色牌(事件C)的概率是多少? (2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少?

分析:事件C=A∪B,且A与B互斥,因此 可用互斥事件的概率和公式求解,事件C与事 件D是对立事件,因此P(D)=1-P(C).
解:(1)P(C)=P(A)+ P(B)=0.25+0.25=0.5; (2)P(D)=1-P(C)=1-0.5=0.5.

例3 甲,乙两人下棋,和棋的概率为1/2,乙获 胜的概率为1/3,求: (1)甲获胜的概率;(2)甲不输的概率。

分析:甲乙两人下棋,其结果有甲胜,和棋, 乙胜三种,它们是互斥事件。 解(1)“甲获胜”是“和棋或乙胜” 的对立事件,所以甲获胜的概率是P=11/2-1/3=1/6。 (2)解法1,“甲不输”看作是“甲胜”, “和棋”这两个事件的并事件所以 P=1/6+1/2=2/3。解法2,“甲不输”看作是 “乙胜”的对立事件,P=1-1/3=2/3。

? 练习 某射手射击一次射中10环,9环,8环, 7环的概率是0.24,0.28,0.19,0.16,计 算这名射手射击一次 (1)射中10环或9环的概率; (2)至少射中7环的概率。 (1) P(A∪B)=P(A)+P(B) =0.24+0.28=0.52。 (2) 因为它们是互斥事件,所以至少射 中7环的概率是 0.24+0.28+0.19+0.16=0.87

? 练习:某地区的年降水量在下列范围内的概率如下 表所示:

年降水 [100,150) [150,200) [200,250) [250,300) 量(mm) 0.12 0.25 0.16 0.14 概率 (1)求年降水量在[100,200)(mm)范围 内的概率; P=0.12+0.25=0.37 (2)求年降水量在[150,300)(mm)范 围内的概率。 P=0.25+0.16+0.14=0.55

例4 袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄 球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率为1/3, 得到黑球或黄球的概率是5/12,得到黄球或绿球的概 率也是5/12,试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的 概率各是多少? 分析:利用方程的思想及互斥事件、对立事 件的概率公式求解. 解:从袋中任取一球,记事件“摸到红球”、 “摸到黑球”、“摸到黄球”、“摸到绿球”为A、B、 则有 P(B∪C)=P(B)+P(C) =5/12; C、 D, P(C∪D)=P(C)+P(D) =5/12; P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A) =1-1/3=2/3; 解的P(B)=1/4,P(C)=1/6,P(D)=1/4.

答:得到黑球、黄球、绿球的概率分别是1/4,1/6,1/4.

课堂小结
1.概率的基本性质:
1)必然事件概率为1,不可能事件概率为0, 因此0≤P(A)≤1; 2)当事件A与B互斥时,满足加法公式: P(A∪B)= P(A)+ P(B); 3)若事件A与B为对立事件,则A∪B为必然事 件,所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1-P(B);

2.互斥事件与对立事件的区别与联系: 互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中 不会同时发生,其具体包括三种不同的情形: (1)事件A发生且事件B不发生;(2)事件A不 发生且事件B发生;(3)事件A与事件B同时不 发生. 对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个 发生,其包括两种情形;(1)事件A发生且B不 发生;(2)事件B发生事件A不发生. 对立事件是互斥事件的特殊情形。

作业:


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