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2013新课标(Ⅰ)、(Ⅱ)全国卷理科数学压轴题第二问的三种解法


2013 新课标(Ⅰ) 、 (Ⅱ)全国卷理科数学压轴题第二问的三种解法

一. (2013 新课标(Ⅱ)全国卷理科数学 21 题第二问另三种解法) 已知函数 f(x)=ex-ln(x+m) (Ι )设 x=0 是 f(x)的极值点,求 m,并讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)当 m≤2 时,证明 f(x)>0 (Ⅱ)解一: (通过转化,构造新函数求解。 )

当 m ? 2 , x ? ?? m,??? 时, ln(x ? m) ? ln(x ? 2) ,故只需证明当 m ? 2 时, f ( x) > 0 ,即
e 设 g ( x) ? e ? x ? 2 ,g ?( x) ? e x?e -1, ∵ g ??( x) ? e x?e (1 ? e x ) >0 , ∴ g ?( x ) e e ? x ? 2 >0。
x x

x

x

在 x ? ?? 2,??? 是单调递增函数,又∵ g ?(0) ? e ? 1 >0, g (?1) ? e ?1?e ? 1<0, g ?( x) ? 0 在
?1

且 x0 ? ?? 1,0? , 当 x ? ?? 2, x0 ? ,g ?( x ) <0, 当 x ? ?x0 ,??? ,g ?( x ) x ? ?? 2,??? 有唯一实根 x0 , > 0 , 从 而 x ? x0 时 g ( x) 有 最 小 值 。 由 g ?( x0 ) ? 0 , 得 e
x0 ?e x0

? 1 , x0 ? ?e x0 故

g ( x) ? g ( x0 ) = ?

1 ( x0 ? ?? 1,0? )综上,当 m ? 2 时, f ( x) >0 ? x0 ≥2, x0

解二: (分析法。要证 f(x)>0,需求 f(x)>0 时 m 的取值范围,设 m 的取值范围的集合为 A,
只需 ?2,??? ? A 即可。转化为恒成立问题。 ) 要 证 f ( x) > 0 , 需 证 e
x

ex

— x > m , 设 g ( x) ? e

ex

— x , g ?( x) ? e x?e -1, ∵

x

g ??( x) ? e x?e (1 ? e x ) >0 ,∴ g ?( x ) 在 x ? ?? 2,??? 是单调递增函数,又∵ g ?(0) ? e ? 1>0,

g (?1) ? e ?1?e ? 1 < 0 , ∴ g ?( x) ? 0 在 x ? ?2,??? 有 唯 一 实 根 x0 , 且 x0 ? ?? 1,0? , 当
?1

g ?( x ) <0, g ?( x ) >0, 当 x ? ?x0 ,??? , 从而 x ? x0 时 g ( x) 有最小值。 由 g ?( x) ? 0 , x ? ?? 2, x0 ? ,
得e
x0 ?e x0

? 1 , x0 ? ?e x0 ,故 g ( x) ? g ( x0 ) = ?

1 ? x0 >2,∴ m 的取值范围是 ?? ?,2? ,所以 x0

当 m≤2 时, f ( x) >0

-1-

解三: (数形结合法。思路: (1)不等式等价变形(2)把不等式两端的式子分别看成两个
函数, (3)研究函数的性质。 (4)画出两个函数图像(5)根据不等式关系确定图形的位置关系, 列式求解。 )要证 f ( x) >0,即 e > ln(x ? m) ,需证当 m≤2 时 e e > x ? m ,
x
x

(设函数)设 g ( x) ? e e , h( x) ? x ? m ( x ? ?? m,??? )。
x

C: g ( x) ? e e y

x

(研究函数性质) ∵ g ?( x) ? e x?e >0,∴

x

g ( x) 在 x ? ?? 2,??? 是单调递增函数,又∵ g ??( x) ? e x?e (1 ? e x ) >0 ,∴ g ?( x ) 在 x ? ?? 2,???
x

( x0 , y0e ) ?M
0 图一

L:h( x) ? x ? m

x

是单调递增函数,且 e >1, g (0) ? e (画函数图像) g ( x) ? e 的图像是过(0, e )的曲 线 C,曲线 C 随着 x 的增大 y 值增大且图像下凹。 h( x) ? x ? m 的图像是一组斜率为 1 的射线 L,(都在 X 轴上方) ,且在 Y 轴截距为 m ,如图一。 (列式求解) 下面研究曲线 C 与射线 L 相切时的 切线 L1 在 Y 轴的截距 b 。 设 曲 线 C 与 射 线 L 的 切 点 为 M ( x0 , y0 ) , 曲 线 C 在 点 M ( x0 , y0 ) 的 切 线 方 程 为
ex

ex

L1 : y ? y0 ? e x0 ?e ( x ? x0 ) , 整 理 得 y ? e x0 ?e x ? x0 e x0 ?e + e e , 又 切线 的斜 率 为 1 得
x ?e x e ∴ x0 ? ?e 0 ,x0 <0。 切线 L1 在 y 轴上的截距为 b ? ? x0 e 0 +e =? e x0 ?e ? 1 ,
x0 x0 x0

x0

x0

x0

x0

1 ? x0 > x0

2。由图知:曲线 C 在切线 L1 的上方,得 e ≥ x ? b ,又 b >2,所以当 m≤2 时, e > x ? m , 即 f ( x) >0

ex

ex

二. (2013 新课标(Ⅰ)全国卷理科数学 21 题第二问另三种解法) 已知函数 f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2 (Ⅰ)求 a,b,c,d 的值 (Ⅱ)若 x≥-2 时,f(x)≤kg(x),求 k 的取值范围。

解一: (利用条件尽可能缩小 k 的取值范围,再讨论)
-2-

由(Ⅰ)知 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 2 , g ( x) ? e x (2 x ? 2) ,x≥-2 时,f(x)≤kg(x)得 f ( x) ? kg( x) ? 0
2 由题设得 F (0) ? 0 , F (?2) ? 0 ,解得 1 ? k ? e

设 F ( x) ? f ( x) ? kg( x) , 得 x1 ? ? ln k , x2 ? ?2

F ?( x) ? (2 x ? 4)(1 ? ke x ) ? (2 x ? 4)e x (e ? x ? k ) ,令 F ?( x) ? 0 ,

2 若1 ? k < e , 则-2< x1 ? 0 , 从而 x ? (-2,x1 ) 时,F ?( x) >0,x ? ( x1 ,? ?) 时,F ?( x)

< 0 , F ( x) 在( -2 , x1 )单调递增,在( x1 , ? ?) 单调递减,故 F ( x) 的最大值 F ( x1 ) ,

F ( x) ? F ( x1 ) = x1 ( x1 +2)≤0,即 f(x)≤kg(x)
若 k = e , F ?( x) ? (2x ? 4)(1 ? e 2 e x ) ,故当 x >-2, (1 ? e 2 e x ) <0,即 F ?( x) <0, F ( x)
2

在(-2, ? ?) 单调递减, F ( x) 的最大值 F (?2) ? 0 , F ( x) ≤0,即 f(x)≤kg(x) 综上, 1 ? k ? e
2

解二: (分离法)由(Ⅰ)知 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 2 , g ( x) ? e x (2 x ? 2)
当 2 x ? 2 ? 0 ,即 x ? ?1 , f (?1) ? ?1 , kg (?1) =0, f (?1) ? kg(?1) ,∴ k ? R 当 2 x ? 2 >0,即 x >-1,由 f(x)≤kg(x),得 k ?

x 2 ? 4x ? 2 x 2 ? 4x ? 2 g ( x ) ,设 = e x (2 x ? 2) e x (2 x ? 2)

g ?( x) ?

(2 x ? 4)(? x 2 ? 2 x) ,当 x ? (?1,0) , g ?( x ) >0,当 x ? (0,??) , g ?( x ) <0,∴ g ( x) 在 e x (2 x ? 2) 2

(?1,0) 是单调递增函数, g ( x) 在 (0,??) 是单调递减函数, g ( x) 的最大值 g (?1) ? 1 ,∴ k ? 1
当 2 x ? 2 <0,即 ? 2 ? x <-1,由 f(x)≤kg(x),得 k ?

x 2 ? 4x ? 2 x 2 ? 4x ? 2 g ( x ) ,设 = e x (2 x ? 2) e x (2 x ? 2)

g ?( x) ?

(2 x ? 4)(? x 2 ? 2 x) ,当 x ? (?2,?1) , g ?( x ) >0,∴ g ( x) 在 (?2,?1) 是单调递增函数, , e x (2 x ? 2) 2

g ( x) 的最小值 g (?2) ? e 2 ,∴ k ? e 2
综上, 1 ? k ? e
2

-3-

解三: (数形结合法。思路: (1)不等式等价变形(2)把不等式两端的式子分别看成两个
函数, (3)研究函数的性质。 (4)画出两个函数图像(5)根据不等式关系确定图形的位置关系, 列式求解。 ) )由(Ⅰ)知 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 2 , g ( x) ? e x (2 x ? 2) (变形)由 f(x)≤kg(x) ? k (2 x ? 2) ?

x 2 ? 4x ? 2 , ex x 2 ? 4x ? 2 ex

(设函数)设 g ( x) ? k (2 x ? 2) , t ( x) ?

(研究函数性质) 在 x ? ?? 2,??? ,t ?( x) ?

? x 2 ? 2x ? 2 。 当 x ? (?2,?1 ? 3) ,t ?( x) >0, ex

当 x ? (?1 ? 3,??) ,t ?( x) <0, ∴ t ( x) 在 (?2,?1 ? 3) 是单调递增函数,t ( x) 在 (?1 ? 3,??) 是单调递减函数。又∵ t ??( x) ?

x2 ? 4 ,当 x ? (?2,2) , t ?( x) <0,当 x ? (2,??) , t ?( x) >0, ex

∴ t ?( x) 在 (?2,2) 是单调递减函数, t ?( x) 在 (2,??) 是单调递增函数。 t (0) ? 2 , t (?2) ? ?2e 2 , 当 x ? ?? 时, t ( x) ? 0 ? ( 画 函 数 图 像 ) t ( x) ?

x 2 ? 4x ? 2 2 图像是过(0,2) , (?2,?2e ) 的 曲 线 C , 在 , x e

在 x ? (?1 ? 3,??) 曲线 C 随着 x 的增大 y 值 x ? (?2,?1 ? 3) 曲线 C 随着 x 的增大 y 值增大, 减小,且在 (?2,2) 图像上凸,在 (2,??) 图像下凹; g ( x) ? k (2 x ? 2) 的图像是恒过(-1,0)且 斜率为 2 k 的直线 L,如图二。 y L: g ( x) ? k (2 x ? 2)
2

-2

? -1

2? M 0 ?1 ?
3

x ? 4x ? 2 C: t ( x) ? e xx
2

y

g ( x) ? k (2 x ? 2) L: 2
2? M C: t ( x) ? 2

-2

? -1 0 ?1 ?

x ? 4x ? 2 e xx

3

图二

图三

(列式求解)由 k (2 x ? 2) ?

x 2 ? 4x ? 2 ,∴曲线 C 在射线 L 的下方。 ex
-4-

当射线 L 过点 (?2,?2e 2 ) 时(图二) , 2 k 有最大值 2e ;∴ k ? e
2

2

当 射 线 L 与 曲 线 C 相 切 时 ( 图 三 ), 2 k 有 最 小 值 。 设 切 点 M ( x0 , y0 ) ,

t ?( x0 ) ?

? x0 ? 2 x0 ? 2 e x0

2

,∴

y0 ? x0 ? 2 x0 ? 2 解得 x0 ? ?2 (舍) x0 ? 0 ,得切点 ? x0 x0 ? 1 e

2

(0,2),切线的斜率为 2, ∴ 2 k ≥2, 即 k ? 1 综上, 1 ? k ? e
2

-5-


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