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等差数列


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1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一 同一个常数 项的差等于__________ ,那么这个数列就叫做等差数列, 公差,一般用字母d表示; 这个常数叫做等差数列的_____ an+1-an=d n∈N*). 定义的表达式为:_____________( 2.等差数列的通项公式 设等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其通项 a1+(n-1)d 公式为:an=__________.
3.等差中项 若三个数a,A,b成等差数列,则A叫做a,b的 +b 等差中项,且A= a _____. 4.等差数列的前n项和公式 n?a1+an? 若已知首项a1和末项an,则Sn=__________ , 2
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若已知首项是a1和公差是d,则Sn= na1+n?n-1?d .
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(1)已知等差数列{an}中a1=31,d= –7,求 a6及S10 .
(2)求等差数列2,9,16,…的第11项.

(3)已知等差数列{an}中a1=7,a9=39,求S9;
(4) 10和16的等差中项是( )。

an ? a1 ? (n ?1)d
n( a1 ? an ) Sn ? 2

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2
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【例1】等差数列{an}的前n项和记为Sn,已知a10=30,a20=50. (1)求通项an; (2)若Sn=242,求n.
【分析】由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,列方程组求出a1和d.
【解】(1)由 an=a1+(n-1)d,

a10=30,a20=50,
? ?a1+9d=30 得方程组? ? ?a1+19d=50
? ?a1=12 解得? ? ?d=2

n?n-1? (2)由 Sn=na1+ 2 d,Sn=242,


n?n-1? 得 12n+ 2 ×2=242,
解之得 n=11 或 n=-22(舍去). ∴n=11.

.

故 an=2n+10.
方法点睛 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类 n(n ? 1) n(a1 ? an ) Snn, ?Sna d 基本问题,数列中有五个量 “ 知 an ? a1 ? (n ?1)d S n ? a1,n,d,a n 一般可以 1? 2 2 三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解.
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例2 Sn为等差数列{an}的前n项和,S2=S6,a4=1,求a5 . 解析:由题意知
6×5 ? ?2a1+d=6a1+ d, 2 ? ? ?a1+3d=1,
? ?a1=7 解之得? ? ?d=-2

.

∴a5=a1+4d=-1.

an ? a1 ? (n ?1)d
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n(n ? 1) n(a1 ? an ) S ? na ? d Sn ? n 1 2 2
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【练习1】在等差数列{an}中, (1)已知a15=33,a45=153,求a61; (2)已知a6=10,S5=5,求a8和S8; 解 (1)依条件得 33=a1+14d a1=-23, 153=a1+44d d=4. ∴a61=-23+(61-1)×4=217. (2)∵a6=10,S5=5, a1+5d=10 ∴ 5a1+10d=5. 解方程组得a1=-5,d=3, ∴a8=a6+2d=10+2×3=16, S8=44

an ? a1 ? (n ?1)d
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n(n ? 1) n(a1 ? an ) S n ? na1 ? d Sn ? 2 2
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(3) 设{an}为等差数列, 公差 d=-2, Sn 为其前 n 项和. 若 S10=S11,则 a1=( ) A.18 B.20 C.22 D.24

解析:由 S10=S11,得 a11=S11-S10=0, 由 a11= a1+10d,得 a1+10×(-2)=0, 所以 a1=20 答案:B

an ? a1 ? (n ?1)d
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1 (4)等差数列{an}中,已知a1= ,a2 + a5 =4,an = 33,则n= C 。 3

A.48

B.49

C.50

D.51

? ?a1=1/3 解:? ? ?(a1+d)+(a1+4d)=4

2 解得:d ? 3

?a n ?a1 ?(n ? 1)d
1 2 ? ? ( n ? 1) ? 33 3 3
解得:n=50

an ? a1 ? (n ?1)d
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(5)已知等差数列{an}的前 5 项和为 105,且 a10=2a5. 求数列{an}的通项公式。

解析:由已知:S5=105,a10=2a5, 5×?5-1? ? ?5a1+ d=105 2 得到? , ? ?a1+9d=2?a1+4d? 解得 a1=7,d=7. 因此 an=a1+(n-1)d=7+7(n-1)=7n.

an ? a1 ? (n ?1)d
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n(n ? 1) n(a1 ? an ) S n ? na1 ? d Sn ? 2 2
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(6)已知等差数列{an}的前三项为a-1,a+1 ,2a+3。则此 数列的通项公式为( ) A.2n-5 B.2n-3 C.2n-1 D.2n+1 答案:B 分析:由2(a+1)=(a-1)+(2a+3). 解得a=0 所以a=-1,d=2

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例3 已知三个数成等差数列,它们的和为12,它们的积 为48,且d>0, 求a1. 解:设数列的前三项分别为a-d,a,a+d,依题意有:
? ?(a-d)+a+(a+d)=12 ? ? ?(a-d)a(a+d)=48
? ?a=4 解得:? ? ?d=2 ? ?a=4 或? ? ?d=-2

∵d>0,∴d=2, ∴首项a1=a-d=2.

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例4

等差数列{an}满足a3=5,a10=-9. (1)求{an}的通项公式; (2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值.

【解】(1)由 an=a1+(n-1)d 及 a3=5,a10=-9 得
? ?a1+2d=5, ? ? ?a1+9d=-9.
? ?a1=9, 解得:? ? ?d=-2.

所以数列{an}的通项公式为 an=11-2n.

n?n-1? (2)由(1)知,Sn=na1+ d=-n2+10n, 2
因为 Sn=-(n-5)2+25, 所以当 n=5 时,Sn 取得最大值.

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例5 判断符合下列数列{an}是否是等差数列: (1)an=3n+5; (2)an+1=an-3

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练习:已知数列{ an}满足:a1=2,an= an+1+3,求通项 an.

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定义
通项公式
1

an+1-an=d
an ? a1 ? (n ?1)d
A? a?b 2

等差中项

求和公式

? (a1 ? an )n ? ? 2 Sn ? ? ?na ? 1 n(n ? 1)d 1 ? ? 2

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