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直线、平面平行的判定及其性质


《直线、平面平行的判定及性质》习题巩固
供题人:金丙建 2014 年 5 月 20 日

一、选择题 1.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A.一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D.一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 2.E,F,G 分别是四面体

ABCD 的棱 BC,CD,DA 的中点,则此四面体中与过 E,F,G 的截 面平行的棱的条数是 A.0 B.1 C.2 D. 3 a // b 3. 直线 a,b, c 及平面 ?,? ,使 成立的条件是( ) A. a // ? , b ? ? B. a // ? , b // ? C. a // c, b // c D. a // ? , ? ? ? b 4.若直线 m 不平行于平面 ? ,且 m ? ? ,则下列结论成立的是( ) A. ? 内的所有直线与 m 异面 B. ? 内不存在与 m 平行的直线 C. ? 内存在唯一的直线与 m 平行 D. ? 内的直线与 m 都相交 5.下列命题中,假命题的个数是( ) ① 一条直线平行于一个平面, 这条直线就和这个平面内的任何直线不相交; ② 过平面 外一点有且只有一条直线和这个平面平行;③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线 平行;④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行;⑤ a 和 b 异面,则经过 b 存在唯 一一个平面与 ? 平行 A.4 B.3 C.2 D.1 6.已知空间四边形 ABCD 中, M , N 分别是 AB, CD 的中点,则下列判断正确的是( ) A. MN ? 1 ? AC ? BC ?
2

B. MN ? 1 ? AC ? BC ?
2 2

C. MN ? 1 ? AC ? BC ?
2

D. MN ? 1 ? AC ? BC ?

二、填空题 7.在四面体 ABCD 中,M,N 分别是面△ ACD,△ BCD 的重心,则四 面体的四个面中与 MN 平行的是________. 8.如下图所示,四个正方体中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,P 分别为其所在棱的中点,能得到 AB//面 MNP 的图形的序号的是







④ .

9.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 DD 1 中点,则 BD1 和平面 ACE 位置关系是

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三、解答题 10.如图, 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长是 2, 侧棱长是 3, D 是 AC 的中点.求证: B1C // 平面 A1 BD .
C1

A1

B1

C D A B

11.如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,M,N,G 分别是 AA1,CD,CB,CC1 的中 点, 求证: (1)MN//B1D1 ; (2)AC1//平面 EB1D1 ; (3)平面 EB1D1//平面 BDG.

B
一、选择题 1.? , β 是两个不重合的平面, a, b 是两条不同直线, 在下列条件下, 可判定 ? ∥ β 的是 ( ) A. ? ,β 都平行于直线 a,b B. ? 内有三个不共线点到 β 的距离相等 C.a,b 是 ? 内两条直线,且 a∥ β,b∥ β D.a,b 是两条异面直线且 a∥? ,b∥? ,a∥ β,b∥ β 2.两条直线 a,b 满足 a∥ b,b ? ,则 a 与平面 ? 的关系是( ) A.a∥? B.a 与 ? 相交 C.a 与 ? 不相交 D.a ? 3.设 a , b 表示直线, ? , ? 表示平面,P 是空间一点,下面命题中正确的是( ) A. a ? ? ,则 a // ? C. ? // ? , a ? ? , b ? ? ,则 a // b B. a // ? , b ? ? ,则 a // b D. P ? a, P ? ? , a // ? , ? // ? ,则 a ? ? )

4. 一条直线若同时平行于两个相交平面, 那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是 ( A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定
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5.下列四个命题中,正确的是( ) ①夹在两条平行线间的平行线段相等;②夹在两条平行线间的相等线段平行;③如果一 条直线和一个平面平行, 那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等; ④如果一条直线和一 个平面平行,那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行 A.①③ B.①② C.②③ D. ③④ 6.a,b 是两条异面直线,A 是不在 a,b 上的点,则下列结论 成立的是 A.过 A 有且只有一个平面平行于 a,b B.过 A 至少有一个平面平行于 a,b C.过 A 有无数个平面平行于 a,b D.过 A 且平行 a,b 的平面可能不存在 二、填空题 7.a,b,c为三条不重合的直线,α,β,γ 为三个不重合的平 面,直线均不在平面内,给出六个命题: a ∥ c? a ∥? ? ? ∥c ? ① ? ? a ∥ b; ② ? ? a ∥ b; ③ ? ?? ∥?; b ∥c ? b ∥? ? ? ∥ c?


? ∥ c?

? ∥? ? ? ∥? ? ? ? a ∥? ; ⑤ ? ?? ∥??⑥ ? ? a ∥? ? a ∥c ? ? ∥? ? a ∥? ?

其中正确的命题是________________.(将正确的序号都填上) 8.设平面 ? ∥ β,A,C∈? ,B,D∈ β,直线 AB 与 CD 交于 S, 若 AS=18,BS=9,CD=34,则 CS=_____________. 9.如图,正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G,H 分别是棱 CC1,C1D1,DD1,DC 中点,N 是 BC 中点,点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动,则 M 满足 时,有 MN∥平面 B1BD D1. 三、解答题 10.如图, 在正四棱锥 P ? ABCD 中,PA ? AB ? a ,点 E 在棱 PC 上. 问点 E 在何处时, PA // 平面EBD ,并加以证明.
P E D C

A

B

11.如下图, 设 P 为长方形 ABCD 所在平面外一点, M, N 分别为 AB, PD 上的点, 且 求证:直线 MN∥ 平面 PBC.

AM DN = , MB NP

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C
1.平面内两正方形 ABCD 与 ABEF,点 M,N 分别在对角线 AC,FB 上,且 AM:MC=FN:NB,沿 AB 折起,使得∠DAF=900 (1)证明:折叠后 MN//平面 CBE; (2)若 AM:MC=2:3,在线段 AB 上是否存在一点 G,使平面 MGN//平 面 CBE?若存在,试确定点 G 的位置.

2.设平面 ? ∥ 平面 β, AB、 CD 是两条异面直线, M, N 分别是 AB, CD 的中点, 且 A, C∈? , B,D∈ β,求证:MN∥ 平面 ? .

A ? M E ? B

C N D

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参考答案 A
一、选择题 1.D 【提示】当 ? ? ? ? l 时, ? 内有无数多条直线与交线 l 平行,同时这些直线也与平 面 ? 平行.故 A,B,C 均是错误的 2.C 【提示】棱 AC,BD 与平面 EFG 平行,共 2 条. 3.C【提示】 a // ? , b ? ? , 则 a // b 或 a , b 异面;所以 A 错误; a // ? , b // ? , 则 a // b 或 a , b 异面或 a , b 相交,所以 B 错误; a // ? ,?

? ? b , 则 a // b 或 a , b 异面,所以 D 错误;

a // c, b // c ,则 a // b ,这是公理 4,所以 C 正确.
4.B 【提示】若直线 m 不平行于平面 ? ,且 m ? ? ,则直线 m 于平面 ? 相交, ? 内不 存在与 m 平行的直线. 5.B 【提示】②③④错误.② 过平面外一点有且只有一个平面和这个平面平行,有无数多条 直线与它平行.③ 过直线外一点有无数个平面和这条直线平行④ 平行于同一条直线的两条直 线和同一平面平行或其中一条在平面上. 6. D 【提示】本题可利用空间中的平行关系,构造三角形的两边之和大于第三边. 二、填空题 7.平面 ABC,平面 ABD 【提示】连接 AM 并延长,交 CD 于 E,连结 BN 并延长交 CD 于 F,由重心性质可知,E、 F 重合为一点,且该点为 CD 的中点 E,由

EM EN 1 = = 得 MN∥ AB.因此,MN∥ 平面 ABC MA NB 2

且 MN∥ 平面 ABD. 8. ①③【提示】对于①,面 MNP//面 AB,故 AB//面 MNP.对于③,MP//AB,故 AB//面 MNP, 对于②④,过 AB 找一个平面与平面 MNP 相交,AB 与交线显然不平行,故②④不能推证 AB//面 MNP. 9.平行 【提示】连接 BD 交 AC 于 O,连 OE,∴OE∥B D 1 ,OEC 平面 ACE,∴B D 1 ∥ 平面 ACE. 三、解答题 10.证明:设 AB1 与 A1 B 相交于点 P,连接 PD,则 P 为 AB1 中点,

? D 为 AC 中点,? PD// B1C .
又? PD ? 平面 A1 B D,? B1C //平面 A1 B D 11.证明: (1)? M、N 分别是 CD、CB 的中点,? MN//BD 又? BB1 // DD1,? 四边形 BB1D1D 是平行四边形. 所以 BD//B1D1.又 MN//BD,从而 MN//B1D1 (2) (法 1)连 A1C1,A1C1 交 B1D1 与 O 点
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? 四边形 A1B1C1D1 为平行四边形,则 O 点是 A1C1 的中点 E 是 AA1 的中点,? EO 是 ? AA1C1 的中位线,EO//AC1. AC1 ? 面 EB1D1 ,EO ? 面 EB1D1,所以 AC1//面 EB1D1
(法 2)作 BB1 中点为 H 点,连接 AH、C1H,E、H 点为 AA1、BB1 中点, 所以 EH // C1D1,则四边形 EHC1D1 是平行四边形,所以 ED1//HC1 又因为 EA // B1H,则四边形 EAHB1 是平行四边形,所以 EB1//AH

?

AH ? HC1=H,? 面 AHC1//面 EB1D1.而 AC1 ? 面 AHC1,所以 AC1//面 EB1D1

(3)因为 EA // B1H,则四边形 EAHB1 是平行四边形,所以 EB1//AH 因为 AD // HG,则四边形 ADGH 是平行四边形,所以 DG//AH,所以 EB1//DG 又? BB1 // DD1,? 四边形 BB1D1D 是平行四边形. 所以 BD//B1D1.

? BD ? DG=G,? 面 EB1D1//面 BDG

B
一、选择题 1.D【提示】A 错,若 a∥ b,则不能断定 ? ∥ β;B 错,若 A,B,C 三点不在 β 的同一侧, 则不能断定 ? ∥ β;C 错,若 a∥ b,则不能断定 ? ∥ β;D 正确. 2.C【提示】若直线 a,b 满足 a∥ b,b ? ,则 a∥? 或 a ? 3.D 【提示】根据面面平行的性质定理可推证之. 4. C 【提示】 设 ? ∩β=l, a∥? , a∥ β, 过直线 a 作与 α、 β 都相交的平面 γ, 记 ? ∩γ=b, β∩γ=c, 则 a∥ b 且 a∥ c,∴ b∥ c.又 b ? ? , ? ∩β=l,∴ b∥ l.∴ a∥ l. 5.A【提示】 6. D【提示】过点 A 可作直线 a′∥ a,b′∥ b,则 a′∩b′=A,∴ a′,b′可确定一个平面,记为 ? . 如果 a ? ? ,b ? ? ,则 a∥? ,b∥? .由于平面 ? 可能过直线 a、b 之一,因此,过 A 且平 行于 a、b 的平面可能不存在. 二、填空题 7.① ④ ⑤ ⑥ 8.68 或

68 3 SB SD 9 SC ? 34 = ,即 = ,∴ SC=68. SA SC 18 SC

【提示】如图(1) ,由 ? ∥ β 可知 BD∥ AC,∴
S

?

D

B

? B S D

? ?C

A

A ??C

( 1 )

( 2 )

如图(2) ,由 ? ∥ β 知 AC∥ BD,

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SA SC 18 SC SC = = ,即 = . SB SD CD ? SC 9 34 ? SC 68 ∴ SC= . 3
∴ 9.M ? HF 【提示】易证平面 NHF∥平面 BD D1 B1,M 为两平面的公共点,应在交线 HF 上. 三、解答题 P 10.解:当 E 为 PC 中点时, PA // 平面EBD . 证明:连接 AC,且 AC BD ? O ,由于四边形 ABCD 为正方 形, ∴O 为 AC 的中点,又 E 为中点,∴OE 为△ACP 的中位线, ∴ PA // EO ,又 PA ? 平面EBD ,∴ PA // 平面EBD . 11.证法一:过 N 作 NR∥ DC 交 PC 于点 R,连接 RB,依题意 得
A F D O B C

E

DC ? NR DN AM AB ? MB DC ? MB = = = = NR∥ DC∥ AB , ∴四 边 形 ? NR=MB.∵ NR MB NP MB MB
平面 PBC,∴ 直线 MN∥ 平面 PBC.

MNRB 是平行四边形.∴ MN∥ RB.又∵ RB

证法二:过 N 作 NQ∥ AD 交 PA 于点 Q,连接 QM,∵

AM DN AQ = = ,∴ QM∥ PB.又 MB NP QP

NQ∥ AD∥ BC,∴ 平面 MQN∥ 平面 PBC.∴ 直线 MN∥ 平面 PBC.

C
1.(1)证明:设直线 AN 与 BE 交与点 H,连接 CH,

? ?ANF ∽ ?HNB ,∴

FN AN ? . NB NH AM FN AN AM ? 又 ,则 = ,∴MN//CH. MC NB NH MC
又 MN ? 平面CBE,CH ? 平面CBE ,∴MN//平面 CBE. (2)解:存在,过 M 作 MG⊥AB,垂足为 G,则 MG//BC, ∴MG//平面 CBE, 又 MN//平面 CBE, MG ? MN ? M ,平面 MGN//平面 CBE. 即 G 在 AB 线上,且 AG:GB=AM:MC=2:3 2.证明:连接 BC,AD,取 BC 的中点 E,连接 ME、NE,则 ME 是△BAC 的中位线,故 ME∥ AC. ME ? ? ,∴ ME∥ ?. 同理可证,NE∥ BD. 又? ∥ β,设 CB 与 DC 确定的平面 BCD 与平面 ? 交于直线 CF,则 CF∥ BD,∴ NE∥ CF. 而 NE ? 平面 ? ,CF ? ? ,∴ NE∥ ?. 又 ME∩NE=E,∴ 平面 MNE∥ MN∥ 平面 ? . ? ,而 MN ? 平面 MNE,∴

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