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黑龙江省哈九中2010届高三第三次模拟考试数学文科


黑龙江省哈九中 2010 届高三第三次模拟考试 数学文科 2010.05 本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题) ,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每题 5 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的,请将答案填涂在答题卡指定的位置。 ) 1.定义 A ? B ? { x | x ? A且x ? B} ,已知 A ? {2,3}, B ? {1,3,4} ,则 A ? B ? ( A. {1, 4} B. {2} C. {1, 2} D. {1, 2, 3} )

2.已知 Z 表示复数 Z 的共轭复数,已知 Z ? 1 ? i ,则 (

Z Z

)3 ?
D. ? i





A. ? 1 B. 1 C. i 3.某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示,则该三棱锥的体积为 A. 4 3 C. 12 3 B. 8 3


4



D. 24 3

6 2 俯视图 4.已知 ? 是第二象限角,其终边上一点 P(x, 5 ) ,且 cos? ?
( A. ? )

侧视图

? 2 ( x ,则 s i n ? ? ) = 2 4

10 4

B. ?

6 4

C.

6 4

D.

10 4
( )

3 5.在等比数列中,已知 a1 a8 a15 ? 243,则

3 a9 的值为 a 11

A. 3

B. 9

C. 27

D. 81 )

6.已知 a ? (1,3), b ? (?2,?6),| c |? 10 ,若 (a ? b) ? c ? 5 ,则 a与c 的夹角为( A. 30
?

B. 60

?

C. 120

?

D. 150

?

7.已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,过顶点 A 任作一条直线 l ,与异面直线 A1C1 , B1C 所成的角都为 60 ,则这样的直线 l 可作( A. 1 条
2
0

)条 C. 3 条 D. 4 条





B. 2 条

8. 过抛物线 y ? 4 x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A, B 两点, 若线段 AB 中点的横坐标为 3 ,

1

则 | AB |? A. 10 B. 8 C. 6 9.阅读如图所示的程序框图,输出的结果 S 的值为( A. 0 B. D. 4 ) 开始





3 2

s ? 0, n ? 1
C. 3

3 D. ? 2

n ? 2010

s ? s ? sin n? 3



输出 s 结束

n ? n?1
9题

10.已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 是奇函数且满足 f ( ? x ) ? f ( x ) , f ( ?2) ? ?3 ,则

3 2

f (2010)? f (2012)?
A. ? 3 B. ? 2 C. 3 D. 2





11.已知 f ( x ), g( x ) 都是定义在 R 上的函数,并满足以下条件: (1) f ( x ) ? 2a g( x ),(a ? 0, a ? 1) ; (2) g( x ) ? 0 ; (3) f ( x ) g ( x ) ? f ( x ) g( x )
x ' '



f (1) f ( ?1) ? ? 5 ,则 a ? g(1) g( ?1)
1 2
B. 2 C.





A.

5 4

D. 2 或

1 2

? y ? k ( x ? 3) x2 y2 ? ? ? 1, 12. 已知直线 y ? k ( x ? 3) 与双曲线 有如下信息: 联立方程组 ? x 2 y2 m 27 ? ?1 ? ? m 27
2 消去 y 后得到方程 Ax ? Bx ? C ? 0 ,分类讨论: (1)当 A ? 0 时,该方程恒有一解;

2 (2)当 A ? 0 时, ? ? B ? 4 AC ? 0 恒成立。在满足所提供信息的前提下,双曲线

离心率的取值范围是 A. [9, ?? ) B. (1, 9] C. (1, 2] D. [2, ?? )





2

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 本卷包括必答题和选答题两部分。 13 题—第 21 题为必答题, 第 每个试题考生都必须作 答。第 22 题—第 24 题为选答题,考生根据要求作答。 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡上。 ) 13.已知幂函数 y ? x m
2

? 2m? 3

(m ? N ? ) 的图象与 x 轴、 y 轴无交点且关于原点对称,则

m ? ___________。

14. 已知圆的方程是 x 2 ? y 2 ? r 2 , 经过圆上一点 M ( x0 , y0 ) 的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r 2 , 类比上述方法可以得到椭圆

x2 y2 ? ? 1 类似的性质为________。 a 2 b2

15 . 在 ? ABC 中 角 A, B, C 对 应 边 分 别 为 a, b, c , 若 AB? AC ? BA BC?1 , 那 么 ?

???? ????

??? ???? ?

c ? ____________。
16.给出下列四个命题: ①设 x1 , x2 ? R ,则 x1 ? 1 且 x2 ? 1 的充要条件是 x1 ? x2 ? 2 且 x1 x2 ? 1 ; ②已知 a ? (1, ?2), b ? ( x, y) ,若 x, y ? [1,6] ,则满足 a ? b ? 0 的概率为 ③命题“ ?x ? R, x ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? 0 ”;
2 2

?

?

? ?

4 ; 25

④ 已 知 n 个 散 点 Ai ( xi , yi ),(i ? 1, 2, 3,?, n) 的 线 性 回 归 方 程 为 ? ? bx ? a , 若 y , a ? y ? b x (其中 x ?

1 n 1 n 。 xi , y ? ? yi ),则此回归直线必经过点( x, y ) ? n i ?1 n i ?1

则正确命题序号为_________________。 三、解答题: (解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

3 sin2 x ? 2cos2 x ? m 。

(1)若方程 f ( x ) ? 0 在 x ? [0,

?
2

] 上有解,求 m 的取值范围;

(2)在 ? ABC 中, a, b, c 分别是 A, B, C 所对的边,当(1)中的 m 取最大值且

f ( A) ? ?1, b ? c ? 2 时,求 a 的最小值。

3

18. (本小题满分 12 分) 在一个盒子中放有标号分别为 1、2、3 的三张卡片,现从这个盒子中有放回地先后抽取 两张卡片,并记它们的标号分别为 x , y ,设 z ?| x ? 2 | ? | y ? x | , (1)求事件“ z ? 1 ”发生的概率; (2)求 z 的最大值,并求事件“ z 取得最大值”的概率。

19. (本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? BC ,

B1
P

C1

P 为 A1C1 的中点,且 AB ? BC ? kPA ,
(1)当 k ? 1 时,求证: PA ? B1C ; (2)若 E 为 BC 中点,当 k 为何值时,异面直线 PA 与 C1 E 所成的角的正弦值为

A1

B

E

C

1 。 4

A

20. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系中, 已知 A1 (? 2,0), A2 ( 2,0), P( x, y), M( x,1), N ( x, ?2) , 若实 数 ? 使得 ? 2 OM ? ON ? A1 P ? A2 P ( O 为坐标原点) (1)求 P 点的轨迹方程,并讨论 P 点的轨迹类型; (2) ? ? 当

???? ???? ?

???? ???? ? ?

2 时, 若过点 B(0, 2) 的直线 l 与 (1) P 点的轨迹交于不同的两点 E , F 中 2

4

( E 在 B , F 之间) ,试求 ? OBE 与 OBF 面积之比的取值范围。

21.已知函数 f ( x ) ?

1? x ? ln x ax

(1)若函数 f ( x ) 在 [1, ?? ) 上为增函数,求正实数 a 的取值范围; (2)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (3)当 a ? 1 时,求证:对大于 1 的任意正整数 n ,都有 ln n ?

1 1 1 1 ? ? ??? 。 2 3 4 n

选答题(本小题满分 10 分) (请考生在第 22、23、24 三道题中任选一题做答,并用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 注意所做题号必须与所涂题目的题号一致, 并在 答题卡指定区域答题。如果多做,则按所做的第一题计分。 ) 22.选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知 AP 是⊙ O 的切线, P 为切点, AC 是⊙ O 的割线,与⊙ O 交于 B , C 两 点,圆心 O 在 PAC 的内部,点 M 是 BC 的中点。 (1)证明 A, P , O, M 四点共圆; (2)求 ?OAM ? ?APM 的大小。

5

23.选修 4—4:坐标系与参数方程 已知直线 l 经过点 P (1,1) ,倾斜角 ? ? (1)写出直线 l 的参数方程; (2)设 l 与曲线 ? ? 4cos ? 相交于两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积。

?
6



24.选修 4—5:不等式证明选讲 若不等式 5 ? x ? 7 x ? 1 与不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 同解,而 x ? a ? x ? b ? k 的解
2

集为空集,求实数 k 的取值范围。

参考答案 1-5 BDABB 6-10 CCBAC 11-12 BD 13.2 14.

x 0 x y0 y ? 2 ?1 a2 b

15. 2

2 4 16.○○

17.解: (1) f ( x ) ? 2sin(2 x ?

?
6

)?1? m ,

? m ? 2sin(2 x ?

?

? ?? ) ? 1 在 ? 0, ? 内有解…3 6 ? 2?

?0 ? x ?

?
2

?

?
6

? 2x ?

?
6

?

7? 6
……5

? 0 ? 2sin(2 x ?

?
6

) ? 3,? 0 ? m ? 3

(2)? m ? 3,? f ( A) ? 2sin(2 A ?

?
6

) ? 2 ? ?1 ,

? sin(2 A ?

?
6

)?

1 ? ? ,? 2 A ? ? ? 2k? 或 2 6 6
6

2A ?

?
6

?

5? ? ? 2k? ,( k ? Z ) ? A ? (0, ? ) ? A ? 6 3

……7

?A?

?
3

,? b ? c ? 2 ? 2 ab ,当且仅当 b ? c 时 bc 有最大值 1。

……9

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? (b ? c)2 ? 3bc ? 4 ? 3bc ,…10

? a 有最小值 1,此时 b ? c ? 1 …12
18. (1)从盒子中有放回地先后抽取两张卡片共包含基本事件 9 个,分别为:(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3); ... ...2 设事件“ z ? 1 ”为事件 A ... ...4 事件 A 包含的基本事件 4 个,分别为: (1,1), (2,1), (2,3), (3,3) , 所以 P ?

4 9

... ...6

(2) z 的最大值为 3, ... ...8 设事件“ z 的最大值”为事件 B ... ...10 包含基本事件 2 个,分别为: (1, , 3, , 所以 P ? 3) ( 1)

2 。 9

... 12 ...

19. (方法一)连结 CP , B1 P , 因为 A1 B1 ? B1C1 , P 为 A1C1 中点, (1) 所以 B1 P ? A1C1 , 又因为面 A1 B1C1 ? 面 A1C1CA , 所以 B1 P ? 面 A1C1CA , 所以 B1 P ? AP ; 设 AB ? BC ? PA ? a , 则 AC ?

2a, C1C ? C1 P ?

2 a ,所以 CP ? a , 2

z

B1 A1
B
E

C1

2 2 2 所以 AP ? CP ? AC ,所以 AP ? CP ,

又因为 CP ? B1 P ? P , 所以 AP ? 面 B1CP ,所以 AP ? B1C .. ..6 (方法二)设 AB ? PA ? 1, A1 P ? 如图建系,

P

C
y

2 2 ? AA1 ? , 2 2

A x

7

则 P( ,

1 1 2 2 , ), A(1, 0, 0), B1 (0, 0, ), C (0,1, 0) , 2 2 2 2

??? ? ? 1 1 2 ???? 2 PA ? ( , ? , ? ) , B1C ? (0,1, ? ) 2 2 2 2 ??? ???? ? ? ? PA ? B1C ? 0,? PA ? B1C
(2) (方法一)取 AB 中点 F ,连结 FE , PF , 因为 FE / / PC1 且 FE ? PC1 ?

... ...6

1 AC ,所以四边形 EFPC1 为 平行四边形, 2

所以 PF / / C1 E ,所以 ?APF 为异面直线 PA 与 C1 E 所成的角 ? ; ... ...8 设 PA ? 1 ,则 AB ? BC ? k ,求得 PF ? C1 E ? 1 ?

k2 , 4

所以 cos ? ?

PA2 ? PF 2 ? AF 2 ? 2 PA ? PF

1?1?

k2 k2 ? 4 4 ? 15 , 2 4 k 2 1? 4

解得 k ? 2 (舍)或

1 。...12 ... 2

(方法二)设 A(k,0,0), ,

则 A1 (k,0 1 ?

k2 k2 k k k2 ),C1 (0,k, 1 ? ),P( , , 1 ? ), 2 2 2 2 2

??? k k ? k2 所以 PA=( ,- ,- 1 ? ) , 2 2 2 ???? ? k k2 , C1 E =(0,- ,- 1 ? ) 2 2
k2 ??? ???? ? ? 1? PA ? C1 E 4 ? 15 , ? ???? ? ? 所以 cos ? ? ??? 4 | PA | ? | C1 E | k2 1? 4
所以 k ? ... ...8

1 2

... ...12

8

20. (1) OM ? ( x,1), ON ? ( x, ?2), A1 P ? ( x ? 2, y), A2 P ? ( x ? 2, y)

???? ?

????

???? ?

???? ?

???? ???? ???? ???? ? ? ? ?? 2 OM ? ON ? A1 P ? A2 P ? ( x 2 ? 2)? 2 ? x 2 ? 2 ? y 2
..2 (1 ? ? 2 ) x 2 ? y2 ? 2(1 ? ? 2 ) .. ①. ? ? ?1 时方程为 y ? 0 轨迹为一条直线 ... ...3
2 ○. ? ? 0 时方程为 x 2 ? y 2 ? 2 轨迹为圆 ... ...4

化简得:

③. ? ? (?1,0) ? (0,1) 时方程为

x2 y2 ? ? 1 轨迹为椭圆 2 2(1 ? ? 2 )

....5 ...

④. ? ? ( ??, ?1) ? (1, ??) 时方程为

x2 y2 ...6 ? ? 1 轨迹为双曲线。 ... 2 2(? 2 ? 1)

(2)? ? ?

x2 2 ? y2 ? 1 , ,? P 点轨迹方程为 2 2
1 1 ? 2 ? x1 , S?OBF ? ? 2 ? x2 2 2
... ...7

? S?OBE ?

? S?OBE : S?OBF ? x1 : x2

2 2 设直线 EF 直线方程为 y ? kx ? 2 ,联立方程可得: (1 ? 2k ) x ? 8kx ? 6 ? 0 。

? ? ? 64k 2 ? 24 ? 48k 2 ? 0,? k 2 ?

3 . 2

x1 ? x2 ? ?

8k 6 , x1 ? x2 ? , ... ...8 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

?

( x1 ? x2 )2 x x 64k 2 3 64k 2 16 ? ? 1 ? 2 ? 2,? k 2 ? ,? ? (4, ) 2 2 x1 ? x2 6(1 ? 2k ) x2 x1 2 6(1 ? 2k ) 3

.. .

x 1 ? 1 ? ( ,1) ? (1, 3) x2 3
..10 . 由题意可知: S?OBE ? S?OBF ,所以 21.解: (1)∵ f ( x) ? ∵

S?OBE 1 ? ( ,1) S?OBF 3
∴ f ?( x) ?

... ...12

1? x ? ln x ax

ax ? 1 ? a ? 0? ax 2

... ...1

函数 f ( x ) 在 ?1, ?? ? 上为增函数
9

∴ ∴

f ?( x )?

ax ? 1 ? 0 x ??1, ??? 恒成立, ... 对 ...2 ax 2 1 ax ? 1 ? 0 对 x ??1, ??? 恒 成 立 , 即 a ? 对 x ??1, ??? 恒 成 立 x
... ...4



a ?1

1 1 a( x ? ) x ? a ? a , x ? 0, (2)? a ? 0 f '( x ) ? 2 2 ax x


1 ? 0 即 a ? 0 时, f '( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立, a
... ...5

? f ( x ) 的增区间为 (0, ??)


1 1 1 ? 0 即 a ? 0 时, f '( x ) ? 0 ? x ? , f '( x ) ? 0 ? x ? a a a
... ...6

1 1 ? f ( x ) 的增区间为 ( , ?? ) ,减区间为( 0, ) a a
综上所述: a ? 0 , f ( x ) 的增区间为 ( , ?? ) ,减区间为( 0,

1 a

1 ) a
... ...7

a ? 0 , f ( x ) 的增区间为 (0, ??)
(3)当 a ? 1 时, f ( x) ?

1? x x ?1 ? ln x , f ?( x) ? 2 , x x

故 f ( x ) 在 ?1, ?? ? 上为增函数。 当 n ? 1 时,令 x ?





n ,则 x ? 1 ,故 f ( x) ? f (1) ? 0 ... ...8 n ?1 n 1? ? n ? n ? 1 ? ln n ? ? 1 ? ln n ? 0 ,即 ln n ? 1 f? ?? n n ? 1 n ... n ?1 n n ?1 ? n ?1? ...10 n ?1 2 1 3 1 4 1 n 1 ln ? , ln? , l n ??? , , l n? ? 1 2 2 3 3 4 n? 1 n
2 3 ln ? ln ? 1 2 4 l n? ??? ? 3 n 1 1 1 1 l n ? ? ? ? ??? ? n? 1 2 3 4 n
... ...11





ln n ?

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 2 3 4 n
1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 2 3 4 n
... ...12

即对大于 1 的任意正整数 n ,都有 ln n ?

10

22. (1)证明:连接 OP, OA, OM ,由 AP 是圆 O 的切线,则 OP ? AP
O 又由 M 为弦 BC 的中点,则 OM ? BC ,所以 ?APO ? ?OMA ? 90

所以 A, P, O, M 为以 AO 中点为圆心, AO 为直径的圆上。 (2)解:由(1)得 ?APM ? ?AOM (同弧所对的圆周角相等) 所以 ?OAM ? ?APM ? ?OAM ? ?AOM ? 180 ? ?OMA ? 90
0 0

...5 ..

所以 ?OAM ? ?APM ? 90

0

... ...10

? 3 t ?x ? 1 ? ? 2 ( t 为参数) 23. (1)解:直线 l 的参数方程为: ? ? y ? 1? 1 t ? 2 ?
(2) ? 2 ? 4? cos? 所以 x 2 ? y 2 ? 4 x

... ...4

... ...6

? 3 ? ?x ? 1 ? 2 t 将直线 l 的参数方程: ? ( t 为参数) ? y ? 1? 1 t ? 2 ?
代入曲线方程得 (1 ?

3 2 1 3 t ) ? (1 ? t ) 2 ? 4(1 ? t ) 整理得 2 2 2
... ...8 ... ...10

t 2 ? (1 ? 3)t ? 2 ? 0
所以 PA ? PB ? t1 ? t 2 ? 2 24. ?

x ? ?1 ? 1 得 ?1 ? x ? ? 4 ?5 ? x ? 7( x ? 1) x ? ?1 ? 得 ? 2 ? x ? ?1 ?5 ? x ? ?7( x ? 1)
... ...3

或?

综上不等式的的解集为 x ? 2 ? x ? ?
2

?

1 4

?,

又由已知与不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 同解,

11

9 ? a ? ?? ? b 4 ?a ? ?4 ? 所以 ? 2 1 解得 ? ? ? ?b ? ?9 ? a 2 ? a?0 ?

... ...7

则 x ? a ? x ?b ? x ? a ? x ?b ? b ? a ? 5, 所以当 x ? a ? x ? b ? k 的解为空集时, k ? 5 ... ...10

12


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