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1979年全国高中数学竞赛试题及解答


1979 年全国高中数学竞赛题
第一试 π 2π 1.求证:sin3θ=4sinθsin( +θ)sin( +θ) 3 3 2.已知:双曲线的两条渐近线的方程为 x+y=0 和 x-y=0,两顶点间的距离为 2,试求此双曲线 方程. 3.在△ABC 中,∠A 为钝角,求作一个面积最小的圆,把△ABC 完全盖住. 4.圆的两条非直径的圆相交,求证:它们不能互相平分. x-

y+z=1, ?y-z+u=2, ? 5.解方程组? z-u+v=3, ?u-v+x=4, ? v-x+y=5. ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸

6.解方程:5x2+x-x 5x2-1-2=0. 7.写出并证明立体几何中的“三垂线定理” . 8.设△ABC 三内角成等差数列,三条对应边 a、b、c 的倒数成等差数列,试求 A、B、C. 9.已知一点 P(3,1)及两直线 l1:x+2y+3=0,l2:x+2y=7=0,试求通过 P 点且与 l1、l2 相切的圆 的方程. 10.已知锐角三角形的三边 a、b、c 满足不等式 a>b>c,问四个顶点都在三角形边上的三个正方 形哪个最大?证明你的结论. 第二试 1.已知 f(x)=x -6x+5,问满足 f(x)+f(y)≤0 和 f(x)-f(y)≥0 的点(x,y)在平面上的什么范围内? 并画图. 2.命题“一对对边相等及一对对角相等的四边形必为平行四边形”对吗?如果对,请证明,如 果不对,请作一四边形,满足已知条件,但它不是平行四边形.并证明你的作法.
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π π 3.设 0<α< ,0<β< ,证明 2 2 1 1 ≥9 . 2 + 2 cos α sin αsin2βcos2β 4. 在单位正方形周界上任意两点间连了一条曲线, 如果它把正方形分成两个面积相等的两部分, 试证这条曲线的长度不小于 1. n 5.在正整数上定义一个函数 f(n)如下:当 n 为偶数时,f(n)= ,当 n 为奇数时,f(n)=n+3, 2 1° 证明:对任何一个正整数 m,数列 a0=m,a1=f(a0),?,an=f(an-1),?中总有一项为 1 或 3. 2° 在全部正整数中,哪些 m 使上述数列必然出现“3”?哪些 m 使上 述数列必然出现“1”? 6.如图,假设两圆 O1 和 O2 交于 A、B,⊙O1 的弦 BC 交⊙O2 于 E,⊙ O2 的弦 BD 交⊙O1 于 F,证明 ⑴ 若∠DBA=∠CBA,则 DF=CE;
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D A F O2 B E O1 C

⑵ 若 DF=CE,则∠DBA=∠CBA. 7.某区学生若干名参加数学竞赛,每个学生得分都是整数,总分为 8250 分,前三名的分数是 88、85、80,最低分是 30 分,得同一分数的学生不超过 3 人,问至少有多少学生得分不低于 60 分(包 括前三名)?

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1979 年全国高中数学竞赛试题解答 第一试 π 2π 1.求证:sin3θ=4sinθsin( +θ)sin( +θ) 3 3 π 2π π 证明:4 sinθsin( +θ)sin( +θ)=2sinθ[-cos(π+2θ)+cos ]=2sinθcos2θ+sinθ 3 3 3 =2sinθ(1-2sin2θ)+sinθ=3sinθ-4sin3θ=sin3θ. 2.已知:双曲线的两条渐近线的方程为 x+y=0 和 x-y=0,两顶点间的距离为 2,试求此双曲线 方程. 解:设双曲线方程为 x2-y2=λ,以(1,0)及(0,1)分别代入,得双曲线方程为 x2-y2=?1. 3.在△ABC 中,∠A 为钝角,求作一个面积最小的圆,把△ABC 完全盖住. 解:以 BC 为直径作⊙O,则⊙O 即为所求的最小圆. 首先,BC 是△ABC 的最长边,对于任意直径小于 BC 的圆,不可能盖住 BC.(若能盖住,则得 到圆的弦长大于同圆的直径,这是不可能的) 其次,由于∠A>90?,故点 A 在圆内.即此圆盖住了△ABC.故证. 4.圆的两条非直径的弦相交,求证:它们不能互相平分. 证明:设⊙O 的弦 AB、CD 互相平分于点 M,连 OM,则由 M 是弦 AB 中点. ∴ OM⊥AB,同理 OM⊥CD.于是过点 M 可能作 OM 的两条垂线,这是不可能的.故证. x-y+z=1, ?y-z+u=2, ? 5.解方程组? z-u+v=3, ?u-v+x=4, ? v-x+y=5. ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸

解:五式相加:x+y+z+u+v=15. ⑴+⑵:x+u=3,⑵+⑶:y+v=5,?z=7;⑶+⑷:z+x=7,⑷+⑸:u+y=9,?v=-1; x=0,y=6,u=3. 即 x=0,y=6,z=7,u=3,v=-1. 6.解方程:5x2+x-x 5x2-1-2=0. 解:5x2-1≥0,?x≥ 5 5 或 x≤- . 5 5 10 1 及 x≥1 时,5x2-1=1-2x+x2,?2x2+x-1=0,?x=-1,x= . 5 2

( 5x2-1)2-1-x 5x2-1+x=0,?( 5x2-1-1)( 5x2-1+1-x)=0, ? 5x2-1=1.?x=? ∴ x=? 10 . 5

7.写出并证明立体几何中的“三垂线定理” . 证明:略(见课本) 8.设△ABC 三内角成等差数列,三条对应边 a、b、c 的倒数成等差数列,试求 A、B、C. 解:B=60?, 1 1 2 + = ,?sin60?(sinA+sinC)=2sinAsinC, sinA sinC sinB

A-C A-C 1 ?2cos(A-C)-3cos +1=0,令 x=cos ,得 4x2-3x-1=0,x=1,x=- (舍) 2 2 4
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∴ A=B=C=60?. 9.已知一点 P(3,1)及两直线 l1:x+2y+3=0,l2:x+2y=7=0,试求通过 P 点且与 l1、l2 相切的圆 的方程. 10 解:两直线距离= =2 5,圆心在直线 x+2y-2=0 上. 1+22 设圆方程为(x-2+2b)2+(y-b)2=5,?(3-2+2b)2+(1-b)2=5,?1+4b+4b2+1-2b+b2=5, 3 ?5b2+2b-3=0,b=-1,b= . 5 4 3 ∴ 所求圆方程为(x-4)2+(y+1)2=5;(x- )2+(y- )2=5. 5 5 10.已知锐角三角形的三边 a、b、c 满足不等式 a>b>c,问四个顶点都在三角形边上的三个正方 形哪个最大?证明你的结论. 解:此正方形有 4 个顶点,故必有一边在三角形的边上. 设 a、b、c 边上的高分别为 ha、hb、hc,且立于 a 边上正方形边长为 x, 则 ha-x x aha 2S = ,aha=(a+ha)x,x= = . h a a+ha a+ha

2S 2S 2S 现 aha=bhb=2S,a>b,于是 a+ha-(b+hb)=(a-b)+( - )=(a-b)(1- )=(a-b)(1-sinC)>0. a b ab ∴ a+ha>b+hb>c+hc. ∴ 立于 c 边上的正方形最大. 第二试 1.已知 f(x)=x -6x+5,问满足 f(x)+f(y)≤0 和 f(x)-f(y)≥0 的点(x,y)在平面上的什么范围内? 并画图. y 解:f(x)+f(y)≤0,?x2-6x+5+y2-6y+5≤0,?(x-3)2+(y-3)2≤8,
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表示以(3,3)为圆心,2 2为半径的圆及圆内部分. f(x)-f(y)≥0,?x2-6x-y2+6y≥0,?(x-3)2-(y-3)2≥0,?(x+y -6)(x-y)≥0. 所求图形为阴影部分. 2.命题“一对对边相等及一对对角相等的四边形必为平行四边形” 对吗?如果对,请证明,如果不对,请作一四边形,满足已知条件,但 它不是平行四边形.并证明你的作法. 证明:不对,如图,作△ABD,及过 B、A、D 三点的弧,以 BD 为轴作此 弧的对称图形,以 D 为圆心,AB 为半径作弧与所作对称弧有两个不同的交点 C、C?,则四边形 ABCD、ABC?D 都是有一组对边相等,一组对角相等的四边 形,其中有一个不是平行四边形. π π 3.设 0<α< ,0<β< ,证明 2 2 1 1 + ≥9 . cos2α sin2αsin2βcos2β 1 1 1 4 1 1 证明: 2 + 2 ≥ 2 + 2 2 2 = 2 + 2 2 cos α sin αsin βcos β cos α sin αsin 2β cos α sin α =tan2α+1+4cot2α+4≥5+2 4tan2αcot2α=9.
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(3,3)

O

x

C' D C B A

4. 在单位正方形周界上任意两点间连了一条曲线, 如果它把正方形分成两个面积相等的两部分, 试证这条曲线的长度不小于 1. 证明 设 M、N 是单位正方形周界上两点,曲线 MN 把正方形的面积两等分. 1? 若 M、N 分别在正方形的对边上(图 1),于是曲线 MN≥线段 MN≥1. 2? 若 M、N 分别在正方形的一组邻边上(图 2 ).连对 N' N' C D C D C D 角线 AC,则曲线 MN 必与 AC 相交(若不相交,则曲线 MN N N E F 全部在 AC 的一边,它不可能平分正方形的面积),设其中 P P M 一个交点为 P,作曲线 的 PN 段关于 AC 的对称曲线 PN’, A M A M B N B B 则点 M、N’在正方形的一组对边上,而曲线 MN’的长度等 A 图2 图3 图1 于曲线 MN 的长度.于是化归为情形 1?. 3?若 M、N 分别在正方形的一条边 AB 上(图 3).连对边 AD、BC 的中点 EF,则曲线 MN 必与 EF 相交(理由同上),设其中一个交点为 P,作曲线 的 PN 段关于 EF 的对称曲线 PN’,则点 M、N’ 在正方形的一组对边上,而曲线 MN’的长度等于曲线 MN 的长度.于是化归为情形 1?. 综上可知,命题成立. n 5.在正整数上定义一个函数 f(n)如下:当 n 为偶数时,f(n)= ,当 n 为奇数时,f(n)=n+3, 2 1° 证明:对任何一个正整数 m,数列 a0=m,a1=f(a0),?,an=f(an-1),?中总有一项为 1 或 3. 2° 在全部正整数中,哪些 m 使上述数列必然出现“3”?哪些 m 使上述数列必然出现“1”? an an+3 证明:1° ,当 an>3 时,若 an 为偶数,则 an+1= <an,若 an 为奇数,则 an+2= <an, 2 2 即于是在{an}中可以找出一个单调递减的子序列, 由于该序列的每项都是正整数,故进行到某一 项时序列的项≤10,此时

| 当 an=3,6,9 时,出现如下的项:9→12→6→3→6→3→?;当 an≤10 且 3\an 时,出现如下 的项: 7→10→5→8→4→2→1; 总之,该数列中必出现 1 或 3.
m 2° 当 m 为 3 的倍数时,若 m 为偶数, 仍为 3 的倍数;若 m 为奇时,m+3 是 3 的倍数,总之 2 m an 对于一切 n∈N*,都是 3 的倍数,于是,上述数列中必出现 3,当 m 不是 3 的倍数时, (若 m 为 2 偶数)与 m+3(若 m 为奇数)都不能是 3 的倍数, 于是 an 不是 3 的倍数, an≠3, 故 此时数列中必出现 1. 6.如图,假设两圆 O1 和 O2 交于 A、B,⊙O1 的弦 BC 交⊙O2 于 E,⊙O2 的弦 BD 交⊙O1 于 F, 证明 ⑴ 若∠DBA=∠CBA,则 DF=CE; ⑵ 若 DF=CE,则∠DBA=∠CBA. D A C 证明:连 AC、AD、AE、AF,由 ADBE 是圆内接四边形,得∠AEC= ∠D,同理∠C=∠AFD.从而∠DAF=∠CAF. F E ⑴ 若∠DBA=∠CBA,则 AD=AE,AF=AC,(同圆内,圆周角等,所 O1 O2 对弦等)于是,△ADF≌△AEC,?DF=CE. ⑵ 若 DF=CE,则△ADF≌△AEC,?AD=AE,?∠DBA=∠CAF. B 7. 某区学生若干名参加数学竞赛, 每个学生得分都是整数, 总分为 8250
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分,前三名的分数是 88、85、80,最低分是 30 分,得同一分数的学生不超过 3 人,问至少有多少学 生得分不低于 60 分(包括前三名)? 解:8250-(88+85+80)=7997.(30+31+32+?+79)×3=50×109÷2×3=8175.即从 30 到 79 分每 个分数都有 3 人得到时,共有 8175 分, 此时及格学生数为 20×3+3=63 人. 8175-7997=178.若减少 3 名及格的学生至少减去 180 分.故至多减去 2 名及格的学生. ∴ 至少 63-2=61 人及格.

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