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必修五第一二章解三角形和数列试题


国庆假期高二数学综合模拟试题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1. ?ABC 中,若 a ? 1, c ? 2, B ? 60? ,则 ?ABC 的面积为( )

A.

1 2

B.

3 2

r />
C.1

D. 3

2.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=-11,a4+a6=-6,则当 Sn 取最小值时,n 等 于( ) A.6 B.7 C. 8 D.9 3.若?ABC 中,sinA:sinB:sinC = 2:3:4,那么 cosC =( ) A. ?

1 4

B.

1 4

C. ?

2 3

D.

2 3

4.在 ?ABC 中, a ? 80, b ? 80 2, A ? 45? ,则此三角形解的情况是( ) A. 一解或两解 B.两解 C. 一解
2 2

D.无解

5.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若(a +c -b2)tan B= 3ac,则角 B 的值为( ) π π π 5π π 2π A. B. C. 或 D. 或 6 3 6 6 3 3 6.等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a5a6 ? a4 a7 ? 18,则 log3 a1 + log3 a2 +…+ log3 a10 = ( ) B .10 C. 8 D. 2+ log3 5

A . 12

7.已知等差数列 {an } ,首项 a1 ? 0, a2011 ? a2012 ? 0 , a2011 ? a2012 ? 0 ,则使数列 {an } 的前 n 项和 S n ? 0 成立的最大正整数 n 是( A.2011 B.2012 ) D.4022 )

C.4023
2

8.在 ? ABC 中, a sin A sin B ? b cos A ? A.2 3 B. 2 2 C.

b 2a ,则 =( a
D.

3

2

9.已知数列 {an } 、 {bn } 都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为 a1、b1 ,且

a1 ? b1 ? 5, a1 , b1 ? N *. 设 cn ? abn (n ? N * ) ,则数列 {cn } 的前 10 项和等于(
A.55 B.85 C.70 D.100



10.已知数列{an}满足 a1=0,an+1=an+2n,那么 a2 012 的值是( ) A.2 0122 B.2 010× 2 009 C.2 012× 2 013 D.2 011× 2 012 二、填空题(本题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分)
1

11.已知数列{ an }的前 n 项和 Sn ? ?n2 ? 10n ,则其通项 an ?

;当 n ?



Sn 最大,且最大值为
12.已知等比数列{an}中,a1+a2=9,a1a2a3=27,则{an}的前 n 项和 Sn= ___
?

____

13. 已知 ? ABC 的一个内角为 120 ,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则 ? ABC 的面 积为 .

14.在△ ABC 中,若

a b c ,则△ ABC 是 ? ? cos A cos B cos C

15. 如右图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”, 它们是由整数

1 1

1 的倒数组成的,第 n 行有 n 个数且两端的数均为 ? n≥2 ? ,每个数是它 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 下一行左右相邻两数的和, 如 ? ? , ? ? , ? ? , …, 1 2 2 2 3 6 3 4 12
则第 10 行第 3 个数(从左往右数)为__________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程 或演算步骤.) 16. (本小题满分 12 分)

1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 12 1 20

1 2 1 3 1 12 1 30 1 4 1 20 1 5

………………………………………

已知 a、b、c 为△ABC 的三边,其面积 S?ABC ? 12 3 , bc ? 48, b ? c ? 2 , (1)求角 A ; (2)求边长 a . 17.(本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,内角 A, B, C 对边的边长分别是 a, b, c .已知 c ? 2, C ? (Ⅰ )若△ ABC 的面积等于 3 ,求 a , b ; (Ⅱ )若 sin B ? 2sin A ,求△ ABC 的面积. 18.(本小题满分 12 分) 等差数列 {an } 的各项均为正数,a1 ? 1 , 前 n 项和为 Sn . 数列 {bn } 为等比数列,b1 ? 1 , 且 b2 S2 ? 6 , b2 ? S3 ? 8 . (Ⅰ )求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式; (Ⅱ )求

? . 3

1 1 ? ? S1 S2

?

1 . Sn

2

19.(本小题满分 13 分) 如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,

20 海里,当 当甲船位于 A 1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105 方向的 B 1 处,此时两船相距
甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120 方向的 B2 处,此时两船相距 北

10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里?

120

A2

B2
20. (本小题满分 l3 分) 在各项均为正数的等比数列{ an }中,已知 a2=a1+2,且 2a2,a4,3a3 成等差数列. (1)求数列{ an }的通项公式; (2)设 bn = log 2 an ,求数列{ anbn }的前 n 项和 Sn.

B1


105 A 1


21.(本小题满分 13 分)
如图, n (n ? 4) 个正数排成 n 行 n 列方阵,其中每一行的数成等差数列,每一列的数
2

成等比数列,并且所有公比都相等,设 a 24 ? 1, a 42 ? (1)求公比 q 的值; (2)求 a1k (1 ? k ? n) 的值; (3)求 S n ? a11 ? a 22 ? a33 ? ? ? a nn 的值.

1 3 , a 43 ? . 8 16

3

枣庄实验高中国庆假期高二数学综合模拟试题参考答案 一、选择题答案 B A A C D B D D B D 二、填空题: 11. an ? ?2n ? 11 ;5 ;25 14.等边三角形 三、解答题: 16.解:(1) 由 S△ABC= 15.

? ? 1 ?n ? 12. S n ? 12?1 ? ? ? ? ? ? 2? ? ? ?

13. 15 3

1 360

1 1 bcsinA,得 12 3 = × 48× sinA… ………2 分 2 2
……………………4 分



sinA=

3 2

∴ A=60° 或 A=120° ……………………6 分 2 2 2 2 (2) a =b +c -2bccosA=(b-c) +2bc(1-cosA)=4+× 48× (1-cosA) ……………………8 分 当 A=60° 时,a2=52,a=2 13 当 A=120° 时,a2=148,a=2 37 17. ……………………10 分 ……………………12 分

18.解: (Ⅰ )设等差数列 {an } 的公差为 d , d ? 0 , {bn } 的等比为 q , 则 an ? 1 ? (n ?1)d , bn ? q
n?1



4 ? ?q(2 ? d ) ? 6 ?d ? 1 ?d ? ? 依题意有 ? ,解得 ? ,或 ? ,……4 分 3 (舍去) ?q ? 3 ? 3d ? 8 ?q ? 2 ? ?q ? 9
故 an ? n , bn ? 2n?1 .………………6 分
4

(Ⅱ ) Sn ? 1 ? 2 ?

?n?

1 n(n ? 1) , 2

1 2 1 1 ? ? 2( ? ) …………8 分 Sn n(n ? 1) n n ?1 1 1 ? ? S1 S2
? 2(1 ?

?

1 1 1 1 ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? Sn 2 2 3

1 1 ?( ? )] …………10 分 n n ?1

1 2n )? .…………12 分 n ?1 n ?1

19.解:如图,连结 A1B2 ,由已知 A2 B2 ? 10 2 ,

A1 A2 ? 30 2 ?

20 ? 10 2 , 60

? A1 A2 ? A2 B2 ,
又 ∠A 1A 2 B2 ? 180 ? 120 ? 60 ,

? △A1 A2 B2 是等边三角形, …………4 分

? A1B2 ? A1 A2 ? 10 2 ,
由已知, A 1B 1 ? 20 ,

∠B1 A1B2 ? 105 ? 60 ? 45 ,……………………6 分
在 △ A1 B2 B1 中,由余弦定理,
2 2 B1B2 ? A1B12 ? A1B2 ? 2 A1B1 ? A1B2 ? cos 45

? 202 ? (10 2)2 ? 2 ? 20 ?10 2 ?

2 ? 200 2

? B1B2 ? 10 2

…………9 分

因此,乙船的速度的大小为

10 2 ? 60 ? 30 2 (海里/小时) …………12 分 20

答:乙船每小时航行 30 2 海里 …………13 分 20.

5

21.

(2)

a42 ? a12 ? q 3

? a12 ? 1
3 2 1 2
……………………6 分

a43 ? a13 ? q 3

? a13 ?

{a1k } 成等差数列 d ? a13 ? a12 ?

1 1 a1k ? a12 ? (k ? 2) ? k 2 2 1 1 1 1 (3) ann ? a1n ? ( ) n ?1 ? n ? ( ) n ?1 ? n ? ( ) n 2 2 2 2

S n ? a11 ? a 22 ? a33 ? ? ? a nn
Sn ? 1 1 1 1 ……………………8 分 ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( )3 ? ? n ? ( ) n 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 S n ? ( ) 2 ? 2 ? ( )3 ? 3 ? ( ) 4 ? ? ( n ? 1) ? ( ) n ? n ? ( ) n ?1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 S n ? ? ( ) 2 ? ( )3 ? ( ) 4 ? ? ( ) n ? n ? ( ) n ?1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? ( )n ) 1 2 ? n ? ( 1 )n ?1 Sn ? 2 1 2 2 1? 2 1 1 1 ……………………13 分 S n ? 2(1 ? ( ) n ) ? n ? ( ) n ? 2 ? ( n ? 2)( ) n 2 2 2

6


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