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2014-2015年世纪金榜精品优质课件高中数学选修2-1多媒体教学优质课件 3.1.5 空间向量运算的坐标表示


3.1.5 空间向量运算的

坐标表示

向量 a 在平面上可用有序实数对(x,y)

表示,在空间则用有序实数组{x,y,z}表示.
由平面向量的坐标运算,推广到空 间向量运算.

平面向量运算的坐标表示:

设a ? (a1 , a2 ), b ? (b1 , b

2 )则

a ?b ?

(a 1 ?b1 , a2 ? b2 )

; ;

a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 ) (?a1 , ?a2 ) ; ?a ?

a ?b ?
a ?

a1b1 ? a2b2
a ?a

;
a12 ? a2 2

?

;

a ?b

a1b1 ? a2 b2

cos a , b ?

a b

?

a ? a2
2 1

2

b ? b2
2 1

2

;

a / /b ? a ? ?b (? ? R) ?a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 (? ? R);

a ?b ?

a ?b ? 0

? a1b1 ? a2b2 ? 0

1.理解空间向量坐标的概念,会确定一些简单
几何体的顶点坐标.

2.掌握空间向量的坐标运算规律,会判断两个
向量的共线或垂直.(重点)

3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离
公式,并能运用这些知识解决一些相关问题.

(难点)

探究点1 空间向量运算的坐标表示

设a ? (a1, a2 , a3 ), b ? (b1, b2 , b3 )则 a ? b ? ( a 1 ? b1 , a 2 ? b2 , a 3 ? b3 ) ;

a ? b ? ( a 1 ? b1 , a 2 ? b2 , a 3 ? b3 ) ;

?a ? (? a1 , ? a2 , ? a3 )(? ? R) ;
a ? b ? a1b1 ? a 2 b2 ? a 3 b3 ;
a / / b ? a ? ? b ? a1 ? ? b1 , a 2 ? ? b2 , a 3 ? ? b3 ( ? ? R );

a ? b ? a ? b ? 0 ? a1b1 ? a 2 b2 ? a 3 b3 ? 0 .

探究点2 距离与夹角 设 a =(a1,a2,a3), b =(b1,b2,b3). 1.距离公式 (1)向量的长度(模)公式

| a | ? a ? a ? a ? a2 ? a3 .
2 2 1 2 2

| b | ? b ? b ? b ? b2 ? b3 .
2 2 1 2 2

注意:此公式的几何意义是表示长方体的对角线 的长度.

(2)空间两点间的距离公式

在空间直角坐标系中,已知 A ( x1 , y1 , z1 ) 、
B ( x 2 , y 2 , z 2 ),则

AB ? ( x 2 ? x1 , y 2 ? y1 , z 2 ? z1 )
?| AB |?
2 2 2 ( x ? x ) ? ( y ? y ) ? ( z ? z ) AB AB ? 2 1 2 1 2 1

d AB ?| AB |? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2

2.两个向量夹角公式

a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 a ?b ? . cos ? a , b ?? | a |?| b | a12 ? a2 2 ? a32 ? b12 ? b2 2 ? b32
注意:

(1)当 cos ? a , b ?? 1 时, a 与 b 同向.

a 与 b 反向. (2)当 cos ? a , b ?? ?1 时,
(3)当 cos ? a , b ?? 0 时,a ? b . 思考:当 0 ? cos ? a , b ?? 1 及 ?1 ? cos ? a , b ?? 0 时,夹角在什么范围内?

例1. 已知 a =(2,-3,5),b =(-3, 1,-4), 求a + b,a - b, |a|,8a,a ? b

解: a + b =(2,-3, 5)+(-3, 1,-4)=(-1,-2, 1),

a - b =(2,-3, 5)-(-3, 1,-4)=(5,-4, 9),
|a|= 22 +(-3)2 +52 = 38 ,
8a = 8(2,-3, 5)=(16,-24,40),

a ? b =(2,-3,5)(-3,1,-4)= ? 2× (-3)+(-3) ×1+5× (-4) = -29.

例2

如图,

在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,B1 E1 ?
,求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值. 解:设正方体的棱长为1,如图建
C1

A1 B1 ? D1 F1 ? 4

z
DD 11
A1 F1 E1

立空间直角坐标系 Dxyz ,则
3 B(1 , 1 , 0) , E1 (1 , , 1) , 4
D(0 , 0 , 0) , F1 (0 , 1 ,1) . 4

B1

D

C

y

A

B

3 1 BE1 ? (1 , , 1) ? (1 , 1 , 0) ? (0 , ? , 1) , 4 4
DF1 ? (0 , 1 1 ,1)? (0 , 0 , 0)? (0 , ,1). 4 4

x

1 1 15 BE1 DF1 ? 0 ? 0 ? ( ? ) ? ? 1 ? 1 ? , 4 4 16

17 17 | BE1 |? , | DF1 |? . 4 4
15 所以 cos ? BE1 , DF1 ?? ? ? . | BE1 | ? | DF1 | 17 17 17 ? 4 4 BE1 DF1 15 16

例 3 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , F 分别是

BB1 , D1 B1 的中点,求证: EF ? DA1 .

1 1 1 则 E (1 , 1 , ) , F ( , , 1) 2 2 2 1 1 1 所以 EF ? ( ? , ? , ) . 2 2 2 又 A1 (1 , 0 , 1) , D(0 , 0 , 0) ,

所以 DA1 ? (1, 0 ,1)

1 1 1 所以 EF ? DA1 ? ( ? , ? , ) ? (1 , 0 , 1) ? 0 , 2 2 2 因此 EF ? DA1 ,即 EF ? DA1 .

1.与a = ? 2,-1,2 ? 共线,且满足 a ? z = -18 的z =

? ?4, 2, ?4 ?

.

2.A ?1,2, 1? ,B ? -1,3,4 ? ,AP = 2PB, 则OP =

1 8 (? , ,3) 3 3

.

3.三点A ?1,5,-2 ? ,B ? 2,4, 1? ,C ? p,3,q ? 共线, 3 4 则p = ,q = .

(1,-1,2)

2

101

7、如图,在棱长为1的正方体

ABCD-A1B1C1D1中,E ,F , G 分别是 DD1,BD,BB1的中点.
(1)求证:EF⊥CF.
(2)求CE的长.

1 1 ? 1? → → 1 1 所以EF· CF= × +(- )× +?- ?×0=0. 2 2 2 2 ? 2? → → 所以EF⊥CF,即 EF⊥CF. 1 → (2)由(1)知CE=(0,-1, ), 2 5 1 2 → 2 2 所以|CE|= 0 ? (?1) ? ( ) = . 2 2

1.基本知识: (1)向量的长度公式与两点间的距离公式. (2)两个向量的夹角公式. 2.思想方法:用向量计算或证明几何问题

时,可以先建立直角坐标系,然后把向量、点坐
标化,借助向量的直角坐标运算法则进行计算或

证明.

平面向量的坐标表示

空间向量的坐标表示

设a =(a1 ,a2 ),b =(b1 ,b2 )则 设a =(a1 ,a2 ,a3 ),b =(b1 ,b2 ,b3 )则 a ? b ? ( a 1 ?b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ); a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 ); a ? b ? a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 ; a ? b ? a1b1 ? a2 b2 ; ? a ? (? a1 , ? a2 , ? a3 ),(? ? R). ? a ? (? a , ? a ),(? ? R).
1 2

拥有梦想只是一种智力,实现梦想才 是一种能力.


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