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(理数)茂名市2013届高三第一次高考模拟考试


绝密★启用前

试卷类型:A

茂名市 2013 届高三第一次高考模拟考试 数学试卷(理科)
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1、答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目。 2、选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域 内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅 笔和涂改液,不按以上要求作答的答安无效。 4、考生必须保持答题卷的整洁,考试结束后,将答题卷交回。

第一部分

选择题(共 40 分)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.设集合 A ? {x ? 1 ? x ? 2}, B ? {x ? 1 ? x ? 1} ,则( A. B? A 2.计算: i(1 ? i) ? (
2 ?

) D. A ? B ? ?

B. A? B ) B.-2i

?

C.A=B

A.2i

C.2

D.-2

3.已知 f (x) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? log 2 x ,则 f (? ) =( A.2 B.1 C.-1 )

1 2

) D.-2

4.已知向量 a ? ( x ? 1,2), b ? (2,1) ,则 a ? b 的充要条件是( A. x ? 0 B. x ? 5 C. x ? ?1

D. x ? ?

1 2

1

5.若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是 1 的正方形,且其体积为 视图可以是( )

1 ,则该几何体的俯 2

6.已知函数 y ? sin x ? cos x ,则下列结论正确的是( A.此函数的图象关于直线 x ? ? C.此函数在区间 (?

) B.此函数的最大值为 1; D.此函数的最小正周期为 ? .

?
4

对称;

? ?

, ) 上是增函数. 4 4

7.某程序框图如图所示,该程序运行后, 输出的 x 值为 31,则 a 等于( A.0 C.2 B.1 D.3 )

? x ? y ? 3, ? 8.已知 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1, ? y ? 1, ?
若 0 ? ax ? by ? 2 ,则 A.[0,1]

b?2 的取值范围为( a ?1

) C.[1,3] D.[2,3]

B.[1,10]

第二部分

非选择题(共 100 分)

二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分,每小题 5 分,满分 30 分) 。 (一)必做题:第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答。 9.已知等比数列 {an } 的公比 q 为正数,且 a3 ? a9 ? 2a5 ,则 q=________.
2

1 (2 x ? )dx ________. x 2 2 11.已知双曲线 x ? ky ? 1 的一个焦点是 ( 5 ,0) ,则其渐近线方程为________. 1 n ) 的展开式中所有二项式系数之和为 64,则展开式的常数项是________. 12.若 (2 x ? x
10.计算

?

e 1

13.已知 2 ? 1 ? 2,2 ?1? 3 ? 3 ? 4 ,2 ?1? 3 ? 5 ? 4 ? 5 ? 6 ,2 ?1? 3 ? 5 ? 7 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 , …
1 2
3 4

依此类推,第 n 个等式为_________________________.
2

(二)选做题:14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的只算前一题得分。 14.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? cos? (θ 为参数) , ? y ? sin ?

则曲线 C 上的点到直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 的距离的最大值为_________. 15.(几何证明选讲选做题)如图,⊙O 的直径 AB ? 6cm ,P 是 AB 延长线上的一点,过 P 点作⊙O 的切线,切点为 C,连接 AC, 若 ?CPA ? 30? ,PC=___________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 如图,角 A 为钝角,且 sin A ? 两边上不同于点 A 的动点. (1)若 AP=5, PQ ? 3 5 ,求 AQ 的长; (2)设 ?APQ ? ? , ?AQP ? ? ,且 cos? ?

3 ,点 P、Q 分别是在角 A 的 5

12 ,求 sin(2? ? ? ) 的值. 13

3

17.(本小题满分 12 分) 某连锁超市有 A、B 两家分店,对该超市某种商品一个月 30 天的销售量进行统计:A 分 店的销售量为 200 件和 300 件的天数各有 15 天;B 分店的统计结果如下表: 销售量(单位:件) 天 数 200 10 300 15 400 5

(1)根据上面统计结果,求出 B 分店销售量为 200 件、300 件、400 件的频率; (2)已知每件该商品的销售利润为 1 元,? 表示超市 A、 两分店某天销售该商品的利润之 B 和, 若以频率作为概率, A、 两分店的销售量相互独立, ? 的分布列和数学期望。 且 B 求

18.(本小题满分 14 分) 如图,PDCE 为矩形,ABCD 为梯形,平面 PDCE ? 平面 ABCD.

?BAD ? ?ADC ? 90? , AB ? AD ?

1 CD ? a, PD ? 2a 2

(1)若 M 为 PA 中点,求证:AC//平面 MDE; (2)求平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的大小.

4

19.(本小题满分 14 分) 已知数列 {an }, {bn } 中,a1 ? b1 ? 1 ,且当 n ? 2 时,an ? nan?1 ? 0 ,bn ? 2bn?1 ? 2 记 n 的阶乘 n(n ? 1)(n ? 2)?3 ? 2 ?1 ? n! (1)求数列 {a n } 的通项公式;
n (2)求证:数列 { n } 为等差数列; 2
n?1

.

b

(3)若 cn ?

an ? bn ? 2 n ,求 {cn } 的前 n 项和. an ? 2

20.(本小题满分 14 分)

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,连接椭圆的四个顶点得到的 2 3 a b 四边形的面积为 2 6 . (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设椭圆 C1 的左焦点为 F1 ,右焦点为 F2 ,直线 l1 过点 F1 且垂直于椭圆的长轴,动直 线 l 2 垂直 l1 于点 P,线段 PF2 的垂直平分线交 l 2 于点 M,求点 M 的轨迹 C2 的方程;
已知椭圆 C1 : (3)设 O 为坐标原点,取 C2 上不同于 O 的点 S, OS 为直径作圆与 C2 相交另外一点 R, 以 求该圆面积的最小值时点 S 的坐标.

5

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 g ( x) ?

1 3 ax ? 2 x 2 ? 2 x ,函数 f (x) 是函数 g (x) 的导函数. 3

(1)若 a ? 1 ,求 g (x) 的单调减区间; (2)若对任意 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x2 ,都有 f (

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,求实数 a 的取值 )? 2 2

范围; (3)在第(2)问求出的实数 a 的范围内,若存在一个与 a 有关的负数 M,使得对任意

x ? [M ,0] 时 f ( x) ? 4 恒成立,求 M 的最小值及相应的 a 值.

6

参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 A 5 C 6 C 7 D 8 B

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 9. 2 ;
n

10. e ;

2

11. y ? ?2 x ;

12. ?160 ;

13. 2 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? (n ? 3) ? ? ? (n ? n) ; 14. 3; 15. 3 3. 三、解答题(共 80 分)

3 4 ,? cos A ? ? ……………………1 分 5 5 2 2 2 在 ?APQ 中,由余弦定理得: PQ ? AP ? AQ ? 2 AP ? AQ cos A 2 所以 AQ ? 8 AQ ? 20 ? 0 ……………………4 分 解得 AQ ? 2 或 ?10 (舍去负值) ,所以 AQ ? 2 …………………………6 分 12 5 (2)由 cos? ? …………………………7 分 , 得 sin ? ? 13 13 在三角形 APQ 中, ? ? ? ? A ? ? 3 又 sin(? ? ? ) ? sin(? ? A) ? sin A ? , …………………………8 分 5 4 …………………………9 分 cos(? ? ? ) ? ? cos A ? 5 ?sin(2? ? ? ) ? sin[? ? (? ? ? )] ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? sin(? ? ? ) ……11 分 5 4 12 3 56 ……………………12 分 ? ? ? ? ? 13 5 13 5 65 1 1 1 17. 解: (1)B 分店销售量为 200 件、300 件、400 件的频率分别为 , 和 ……3 分 3 2 6 1 (2)A 分店销售量为 200 件、300 件的频率均为 , …………4 分 2 …………5 分 ? 的可能值为 400,500,600,700,且 1 1 1 1 1 1 1 5 P( ? =400)= ? ? , P( ? =500)= ? ? ? ? , 2 3 6 2 2 3 2 12
16. 解: (1)? ?A 是钝角, sin A ? P( ? =600)=

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? , P( ? =700)= ? ? , ………9 分 2 6 2 2 3 2 6 12

? 的分布列为 ?
P 400 500 600 700

1 6

5 12

1 3

1 12
…………10 分

1 5 1 1 1600 (元) …………………12 分 E? =400 ? +500 ? +600 ? +700 ? = 6 3 12 12 3
7

18.(1)证明:连结 PC ,交 DE 与 N ,连结 MN ,

?PAC 中, M , N 分别为两腰 PA, PC 的中点

∴ MN // AC ……………2 分 ……………4 分

因为 MN ? 面 MDE ,又 AC ? 面 MDE ,所以 AC // 平面 MDE

(2)解法一:设平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的大小为 ? ,以 D 为空间坐标系的原 点,分别以 DA, DC, DP 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,则

??? ? ??? ? P(0, 0, 2a), B(a, a, 0), C (0, 2a, 0) PB ? (a, a, ? 2a), BC ? (?a, a, 0) ……6 分 ?? ?? 设平面 PAD 的单位法向量为 n1 ,则可设 n1 ? (0,1, 0) …………………………7 分 ?? ? 设面 PBC 的法向量 n2 ? ( x, y,1) ,应有 ?? ??? ? ? ?n2 ? PB ? ( x, y,1) ? (a, a, ? 2a) ? 0 ? ? ? ??? ??? ?n2 ? BC ? ( x, y,1) ? (?a, a,0) ? 0 ?
即: ?

? ax ? ay ? 2a ? 0 ? ? ? ax ? ay ? 0 ?

? 2 ?x ? ?? ? 2 2 ? 2 , ,1) ………………………………………12 分 解得: ? ,所以 n2 ? ( 2 2 ?y ? 2 ? ? 2
2 ?? ?? ? n1 ? n2 1 ∴ cos ? ? ?? ?? ? 2 ? …………………………………………………13 分 ? n1 ? n2 1? 2 2
所以平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角为 60°………………………………………14 分 解法二:延长 CB、DA 相交于 G,连接 PG,过点 D 作 DH⊥PG ,垂足为 H,连结 HC ……………………6 分 ∵矩形 PDCE 中 PD⊥DC,而 AD⊥DC,PD∩AD=D ∴CD⊥平面 PAD ∴CD⊥PG,又 CD∩DH=D ∴PG⊥平面 CDH,从而 PG⊥HC ………………8 分 ∴∠DHC 为平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角的平 面角 ………………………………………………10 分 在 Rt ? △ PDG 中, DG ? 2 AD ? 2a , PD =

2a 可以计算 DH ?

2 3a 3

……………………12 分 在 Rt △ CDH 中, tan ?DHC ?

CD 2a ? ? 3 ………………………13 分 DH 2 3a 3

所以平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角为 60°……………………………………14 分 19. 解: (1)? an ? nan ?1 ? 0 , n ? 2 , a1 ? 1

8

? an ? nan?1 ? n(n ? 1)an?2 ? n(n ? 1)(n ? 2)an?3 ? ???
? n(n ? 1)(n ? 2)?3 ? 2 ? a1 ? n ! ……………………………………2 分
又 a1 ? 1 ? 1! ,? an ? n ! ………………………………………………………3 分 (2)由 bn ? 2bn ?1 ? 2
n ?1

两边同时除以 2 n 得

bn bn ?1 1 bn bn ?1 1 ? n ?1 ? 即 n ? n ?1 ? ? n 2 2 2 2 2 2
………………4 分

∴数列 {

bn 1 1 } 是以 为首项,公差为 ? 的等差数列 ……………………5 分 n 2 2 2

bn 1 1 n n ? ? (n ? 1)(? ) ? 1 ? ,故 bn ? 2n (1 ? ) ………………………6 分 n 2 2 2 2 2
(3)因为

an 1 1 1 ? ? ? , bn ? 2n ? ?n ? 2n ?1 …………8 分 an ? 2 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2
a a1 a2 a3 ? ? ? ??? ? n a3 a4 a5 an ? 2

记 An =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ……10 分 An ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? )? ? 2 3 3 4 4 5 n ?1 n ? 2 2 n ? 2
记 {bn ? 2 } 的前 n 项和为 Bn
n

则 Bn ? ?1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ??? ? n ? 2
0 1 2

n ?1

① ②

∴ 2 Bn ? ?1? 2 ? 2 ? 2 ? ??? ? (n ? 1) ? 2
1 2

n ?1

? n ? 2n

由②-①得:

1 ? 2n ? n ? 2n ? (1 ? n) ? 2n ? 1 …13 分 1? 2 1 1 n ∴ Sn ? c1 ? c2 ? c3 ? ??? ? cn = An ? Bn ? (1 ? n) ? 2 ? ? ………14 分 2 n?2
Bn ? 20 ? 21 ? 22 ? ??? ? 2n ?1 ? n ? 2n ?
20. 解: (1)解:由 e ?

3 6 2 2 2 2 2 b ……1 分 ,得 a ? 3c ,再由 c ? a ? b ,解得 a ? 3 2 1 由题意可知 ? 2a ? 2b ? 2 6 ,即 a ? b ? 6 ………………………………2 分 2 ? 6 b ?a ? 解方程组 ? 2 得 a ? 3 , b ? 2 ……………………………………3 分 ? ab ? 6 ?
所以椭圆 C1 的方程是

x2 y2 ? ? 1 ……………………………………………3 分 3 2 (2)因为 MP ? MF2 ,所以动点 M 到定直线 l1 : x ? ?1 的距离等于它到定点 F2 (1,
0)的距离,所以动点 M 的轨迹 C2 是以 l1 为准线, F2 为焦点的抛物线,…6 分 所以点 M 的轨迹 C2 的方程为 y ? 4 x ………………………………………7 分
2

(3)因为以 OS 为直径的圆与 C2 相交于点 R ,所以∠ORS = 90° ,即 OR ? SR ? 0
9

??? ??? ?

??? ??? ? 设 S ( x1 , y1 ) ,R( x2 , y2 ) SR =( x2 - x1 , y2 - y1 ) OR =( x2 , y2 ) , , ??? ??? ? y 2 ( y2 2 ? y12 ) 所以 OR ? SR ? x2 ( x2 ? x1 ) ? y2 ( y2 ? y1 ) ? 2 ? y2 ( y2 ? y1 ) ? 0 16 ? 16 ? 因为 y1 ? y2 , y2 ? 0 ,化简得 y1 ? ? ? y2 ? ? …………………………10 分 y2 ? ?
所以 y1 ? y2 ?
2 2

………………………8 分

256 2 256 ? 32 ? 2 y2 ? 2 ? 32 ? 64 , 2 y2 y2

当且仅当 y2 ?
2

256 2 即 y2 =16,y2=± 时等号成立. ………………………12 分 4 2 y2
2 2

圆的直径|OS|= x1 ? y1 ?
2 2

y14 1 1 ? y12 ? y14 ? 16 y12 ? ( y12 ? 8)2 ? 64 16 4 4
min

因为 y1 ≥64,所以当 y1 =64 即 y1 =± 时, OS 8

? 8 5 , ……………13 分

所以所求圆的面积的最小时,点 S 的坐标为(16,± 8)……………………14 分 21. 解: (1)当 a ? 1 时, g ( x) ?

1 3 x ? 2 x 2 ? 2 x , g '( x) ? x 2 ? 4 x ? 2 ………………1 分 3
…………………2 分

由 g '( x) ? 0 解得 ?2 ? 6 ? x ? ?2 ? 6

?当 a ? 1 时函数 g ( x) 的单调减区间为 (?2 ? 6, ?2 ? 6) ;……………3 分
(2)易知 f ( x) ? g '( x) ? ax ? 4 x ? 2
2

依题意知

f(

x1 ? x 2 f ( x 1)? f x ( )? 2 2

2

)

2 x1 ? x2 2 x ?x ax 2 ? 4 x1 ? 2 ? ax2 ? 4 x2 ? 2 ) ? 4( 1 2 ) ? 2 ? 1 2 2 2 a ………………………………………………………5 分 ? ? ( x1 ? x2 )2 ? 0 4 因为 x1 ? x2 ,所以 a ? 0 ,即实数 a 的取值范围是 (0, ??) ;……………6 分

? a(

(3)解法一:易知 f ( x) ? ax ? 4 x ? 2 ? a( x ? ) ? 2 ?
2 2

2 a

4 ,a ? 0. a
……………7 分

显然 f (0) ? ?2 ,由(2)知抛物线的对称轴 x ? ? ①当 ?2 ?
2

2 ?0 a

4 2 ? ?4 即 0 ? a ? 2 时, M ? (? , 0) 且 f ( M ) ? ?4 a a
?2 ? 4 ? 2a a
……………………8 分

令 ax ? 4 x ? 2 ? ?4 解得 x ? 此时 M 取较大的根,即 M ?

?2 ? 4 ? 2a ?2 ? ………………9 分 a 4 ? 2a ? 2
……………………10 分

?0?a?2, ?M ?

?2 ? ?1 4 ? 2a ? 2
10

②当 ?2 ?

4 2 ? ?4 即 a ? 2 时, M ? ? 且 f ? M ? ? 4 a a
?2 ? 4 ? 6a a
?2 ? 4 ? 6a ? a
…………………11 分

令 ax2 ? 4 x ? 2 ? 4 解得 x ?

此时 M 取较小的根,即 M ?

?6 4 ? 6a ? 2

……………12 分

? a ? 2, ?M ?

?6 ? ?3 当且仅当 a ? 2 时取等号 ………13 分 4 ? 6a ? 2
……………………14 分

由于 ?3 ? ?1,所以当 a ? 2 时, M 取得最小值 ?3

解法二:对任意 x ?[M ,0] 时,“ | f ( x) |? 4 恒成立”等价于“ f ( x )max ? 4 且

f ( x)min ? ?4 ”
由(2)可知实数 a 的取值范围是 (0, ??) 故 f ( x) ? ax ? 4 x ? 2 的图象是开口向上,对称轴 x ? ?
2

2 ? 0 的抛物线…7 分 a

①当 ?

2 ? M ? 0 时, f ( x) 在区间 [M ,0] 上单调递增, a

∴ f ( x)max ? f (0) ? ?2 ? 4 , 要使 M 最小,只需要

f ( x)min ? f ( M ) ? aM 2 ? 4M ? 2 ? ?4 ………8 分
若 ? ? 16 ? 8a ? 0 即 a ? 2 时,无解 若 ? ? 16 ? 8a ? 0 即 0 ? a ? 2 时,………………9 分 解得 M ?

?2 ? 4 ? 2a 2 ?2 ? 4 ? 2a ? ? (舍去) 或 M ? ? ?1 a a a

故 M ? ?1(当且仅当 a ? 2 时取等号)…………10 分 ②当 M ? ? 在 (?

2 2 时, f ( x) 在区间 [ M , ? ] 上单调递减, a a

2 , 0] 递增, f (0) ? ?2 ? 4, a

2 4 f (? ) ? ?2 ? ? ?4 则 a ? 2 ,…………………11 分 a a
要使 M 最小,则 f ( M ) ? aM ? 4M ? 2 ? 4 即
2

aM 2 ? 4M ? 6 ? 0 …………………………………………………………12 分
解得 M ? 或M ?

?2 ? 4 ? 6a 2 ? ? (舍去) a a

?2 ? 4 ? 6a ?6 ? ? ?3(当且仅当 a ? 2 时取等号)…13 分 a 4 ? 6a ? 2

综上所述,当 a ? 2 时, M 的最小值为 ?3 . ………………………………14 分
11


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