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【名师一号】2014-2015学年人教A版高中数学必修4双基限时练12]


双基限时练(十二)
1. 某人的血压满足函数式 f(t)=24sin160πt+110, 其中 f(t)为血压, t 为时间,则此人每分钟心跳的次数为( A.60 C.80 )

B.70 D.90

2π 2π 1 1 1 解析 由 T= ω =160π=80,又 f=T= 1 =80,故每分钟心跳次 80 数为 80,选 C.

答案 C

2. 如下图, 单摆从某点开始来回摆动, 离开平衡位置 O 的距离 s cm π? ? 和时间 t s 的函数关系式为 s=6sin?2πt+6?,那么单摆来回摆动一次所
? ?

需的时间为(

)

A.2π s C.0.5 s
?

B.π s D.1 s
?

π? ? 2π 解析 依题意是求函数 s=6sin?2πt+6?的周期,T=2π=1.故选 D. 答案 D )

3.函数 y=x+sin|x|,x∈[-π,π]的大致图象是(

解析 C. 答案

y= x+ sin|x|是非奇非偶函数,在 [0, π]上是增函数,故选

C

4.如图,表示电流强度 I 与时间 t 的关系为 I=Asin(ωt+φ)(A>0, ω>0)在一个周期内的图象,则该函数的解析式为( π? ? A.I=300sin?50πt+3?
? ?

)

π? ? B.I=300sin?50πt-3?
? ? ? ?

π? ? C.I=300sin?100πt+3?

π? ? D.I=300sin?100πt-3?
? ?

1 ? 1 ? 1 解析 分析图象可知,A=300,T=2×?150+300?=50, ? ? 2π 1 ∴ω= T =100π.又当 t=150时,I=0.故选 C. 答案 C

5.如图为一半径为 3 cm 的水轮,水轮圆心 O 距离水面 2 m,已 知水轮自点 A 开始旋转, 15 s 旋转一圈. 水轮上的点 P 到水面距离 y(m) 与时间 x(s)满足函数关系 y=Asin(ωx+φ)+2,则有( 2π A.ω=15,A=3 2π C.ω=15,A=5 解析 15 B.ω=2π,A=3 15 D.ω=2π,A=5 )

2π 2π ∵T=15,故 ω= T =15,显然 ymax-ymin 的值等于圆 O ymax-ymin 6 =2=3. 2

的直径长,即 ymax-ymin=6,故 A= 答案 A

6.动点 A(x,y)在圆 x2+y2=1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋
?1 3? 转,12 秒旋转一周.已知时间 t=0 时,点 A 的坐标是? , ?,则当 2? ?2

0≤t≤12 时,动点 A 的纵坐标 y 关于 t(单位:秒)的函数的单调递增区

间是(

) B.[1,7] D.[0,1]和[7,12]

A.[0,1] C.[7,12]

2π π 解析 由已知可得该函数的周期为 T=12,ω= T =6,又当 t=0
?1 3? 时,A? , ?, 2? ?2 ?π π? ∴y=sin?6t+3?,t∈[0,12],可解得函数的单调递增区间是[0,1]和 ? ?

[7,12]. 答案 D

7.在匀强磁场中,匀速转动的线圈所产生的电流强度 I 是时间 t
?1 π? 的正弦函数,关系式为 I=3sin?2t+6?,则它的最大电流和周期分别为 ? ?

________. 答案 3,4π

8.如图是一弹簧振子作简谐振动的图象,横轴表示振动时间,纵 轴表示振子的位移,则这个振子振动的函数解析式是__________.

8.如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高 度 y(m)在某天 24 h 内的变化情况,则水面高度 y 关于从夜间 0 时开始 的时间 x 的函数关系式为________. 解析 将其看成 y=Asin(ωx+φ)的图象, 由图象知: A=6, T=12, 2π π ∴ω= T =6,下面确定 φ. 将(6,0)看成函数图象的第一特殊点, π 则6×6+φ=0. ∴φ=-π.
?π ? π ∴函数关系式为:y=6sin?6x-π?=-6sin6x. ? ?

答案

π y=-6sin6x

9.一树干被台风吹断,折成 60° 角,树干底部与树尖着地处相距 20 米,树干原来的高度为________米. 解析 如图所示,在 Rt△ABC 中,AC=20 米,∠B=60° ,

AC AC 20 40 3 ∴sinB=BC,∴BC=sinB=sin60° = 3 . 1 20 3 又 AB=2BC= 3 , ∴树干高为 AB+BC=20 3. 答案 20 3 10.

如图,某游乐园内摩天轮的中心 O 点距地面的高度为 50 m,摩天 轮做匀速运动.摩天轮上的一点 P 自最低点 A 点起,经过 t min 后,点
?π π? P 的高度 h=40sin?6t-2?+50(m),那么在摩天轮转动一圈的过程中, ? ?

点 P 的高度在距地面 70 m 以上的时间将持续________min.
?π π? π 1 2π πt 4π 解析 40sin?6t-2?+50>70,即 cos6t<-2,从而 3 < 6 < 3 ,4<t<8. ? ?

即持续时间为 4 min. 答案 4 11.心脏在跳动时,血压在增加或减小.血压的最大值、最小值 分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读 数 120/80 mm Hg 为标准值.设某人的血压满足函数关系式 P(t)=115 +25 sin(160πt),其中 P(t)为血压(mm Hg),t 为时间(min),试回答下列 问题:

(1)求函数 P(t)的周期; (2)此人每分钟心跳的次数; (3)求出此人的血压在血压计上的读数,并与标准值比较.(健康成 年人的收缩压和舒张压一般为 120~140 mm Hg 和 60~90 mm Hg) 解 2π 2π 1 (1)根据公式 T= ω ,可得 T=160π=80.

1 (2)根据公式 f=T,可得 f=80,即此人的心率是 80 次/分钟. (3)函数 P(t)=115+25 sin(160πt)的最大值是 115+25=140,最小 值是 115-25=90,即此人的血压为 140/90 mm Hg,与标准值相比较 偏高一点. 12.如图所示,某市拟在长为 8 km 的道路 OP 的一侧修建一条运 动赛道, 赛道的前一部分为曲线段 OSM, 该曲线段为函数 y=Asinωx(A >0,ω>0),x∈[0,4]的图象,且图象的最高点为 S(3,2 3),赛道的后 一部分为折线段 MNP.为保证参赛运动员的安全,限定∠MNP=120° . 求 A,ω 的值和 M,P 两点间的距离.

T 解 依题意,有 A=2 3,4=3, 2π π 又 T= ω ,∴ω=6. π ∴y=2 3sin6x,x∈[0,4]. 2π ∴当 x=4 时,y=2 3sin 3 =3.

∴M(4,3). 又 P(8,0), ∴MP= ?8-4?2+?0-3?2 = 42+32 =5(km). 即 M、P 两点间的距离为 5 km. 13.下表是某地某年月平均气温(单位: 月份 平均气温 月份 平均气温 1 2 3 4 5 6

21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 7 8 9 10 11 12

73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7

以月份为 x 轴,x=月份-1,以平均气温为 y 轴. (1)描出散点图; (2)用正弦曲线去拟合这些数据; (3)这个函数的周期是多少? (4)估计这个正弦曲线的振幅 A; (5)下面四个函数模型中,最适合这些数据的是______. y-46 y-46 y-26 ?π ? ?πx? ?π ? y ①A= cos ?6x? ;② A = cos? 6 ? ;③ = cos?6x? ;④ A = ? ? ? ? ? ? -A
?π ? sin?6x?. ? ?

解析

(1)(2)如图所示:

(3)1 月份的气温最低,为 T 图知,2=7-1=6,∴T=12.

,7 月份气温最高,为

,据

(4)2A=最高气温-最低气温=73.0-21.4=51.6,∴A=25.8. y (5)∵x=月份-1,∴不妨取 x=2-1=1,y=26.0,代入①,得A= y-46 26.0-46 26.0 π π >1 ≠ cos ,∴①错误;代入②,得 = <0 ≠ cos 25.8 6 A 25.8 6,∴② 错误;同理④错误.∴本题应选③. 答案 (1)~(4)见解析 (5)③


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