当前位置:首页 >> 电力/水利 >>

第二章 流体运动的基本方程


第二章

流体运动的基本方程

2.1系统(质量体)与控制体
1、系统:包含某些确定流体质点的集合。系 统的边界把系统和外界分开。 (1) 系统随流体的运动而运动,形状可变; (2) 系统与外界无质量交换; (3) 系统与外界可以有能量的交换; (4) 系统与外界可以有动量的交换。 r r 用 δτ n δS n δ l 表示系统物质元

2、控制体:被流体所流经的相对于坐标系固 定的空间区域。控制体的边界称 为控制面。 (1) 控制体的形状、大小相对坐标系不变; (2) 通过控制面与外界可有质量交换; (3) 通过控制面与外界可以有能量的交换; (4) 通过控制面与外界可以有动量的交换。

用 dV

r r n dA n dx 表示控制体体元

2.2物质积分的随体导数? 输运定理
? 问题: 物理学守恒律仅能对流体系统使用, 那么采用Eu法研究流体力学问题时, 如何运用守恒律? 解案:流体质点 流体质点的随体导数 流体质点 物质积分的随体导数 物质积分
D ? ? = +uj Dt ?t ?x j

D DN ∫ ρθ δτ = Dt Dt

θ :单位质量流体所挟带的某种物理量

1. 雷诺输运定理 由物质导数的定义
D DN ∫ ρθ δτ = Dt Dt = lim N sys (t + δ t ) ? N sys (t )
δ t →0

s1
2
r u

s3

τ (t) V
δs1

1

δs2

τ (t +δ t)
r u

3

n n

δt

N sys (t ) = N CV (t ) N sys (t + δ t ) = N CV (t + δ t ) ? N1 (t + δ t ) + N 3 (t + δ t )

这里下标sys与CV分别表示求N的积分是在 系统或控制体内进行的

s1
2
r u

s3

D Dt

∫ ρθδ τ

τ (t) V
dA

1

τ (t +δ t)
dA
r u

3

N sys (t + δ t ) ? N sys (t ) n = lim δ t →0 n δt N CV (t + δ t ) ? N CV (t ) N1 (t + δ t ) N 3 (t + δ t ) = lim ? lim + lim δ t →0 δ t →0 δ t →0 δt δt δt ? N CV 1 1 = ? lim ρθδτ + lim ρθδτ δ t → 0 δ t ∫ 1( t +δ t ) δ t → 0 δ t ∫ 3(t +δ t ) ?t

?N CV 1 1 = ? lim ∫ ? ρθ u j n j dSδ t + lim ∫ ρθ u j n j dSδ t δ t →0 δ t S1 δ t →0 δ t S3 ?t ? = ∫ ρθ dV + ∫ ρθ u j n j dA + ∫ ρθ u j n j dA CA1 CA3 ?t CV

? = ?t



CV

ρθ dV + ∫ ρθ u j n j dA
CA

D ? ρθ δτ = ∫ ρθ d V + ∫ ρθ u j n j dA CA Dt ∫ ? t CV



?ρθ u j D ?ρθ ∫ ρθ δτ = ∫CV ?t dV + ∫CV ? x j dV Dt
D Dθ ∫ ρθ δτ = ∫ ρ Dt d V Dt

对不可压流体有 更一般地*

D D D ∫ ρθ δτ = ∫ Dt ( ρθ )δτ + ∫ ρθ Dt ( δτ ) Dt
?u j ?ρθ ?ρθ = ∫( +uj )δτ + ∫ ρθ δτ ?t ?x j ?x j

?ρθ ? = ∫[ + ( ρθ u j )]δτ ?t ?x j ?ρθ =∫ δτ + ∫ n j ρθ u j δ S ?t

当△t →0时有δτ →dV ,δ S →dA 得输运公式
D ? ρθ δτ = ∫ ρθ dV + ∫ ρθ u j n j dA cA Dt ∫ ?t cv

对不可压流体有
D D D ρθ δτ = ∫ ( ρθ )δτ + ∫ ρθ ( δτ ) ∫ Dt Dt Dt
?u i D = ∫ ( ρθ )δτ + ∫ ρθ δτ Dt ? xi

Dθ = ∫ρ δτ Dt

当△t →0时,有δτ →dV 得不可压流体输运式
D Dθ ∫ ρθ δτ = ∫ ρ Dt d V Dt

2. 运动流体的守恒律 ? 物理学研究问题时总是首先选用守恒律,在 流体力学中使用守恒律时,尚需考虑: (1)L氏变量与Eu变量的选择 研究各物理量的空间分布? 选Eu变量 研究质点运动?选L氏变量 (2)积分型与微分型方程的选择 研究流体的总体运动特性?积分方程 研究各参数的逐点分布特性?微分方程

2.3 描述粘性流体运动的基本方程
1 质量守恒?连续性方程
由守恒定律
D Dt

∫ ρ δτ = 0
V

n

u

D ? 又 ∫ ρ δτ = ?t ∫CV ρ dV + ∫CA ρ u j n j dA Dt
? ∴ ∫CV ρ dV + ∫CA ρ u j n j dA = 0 A ?t ?u j ? ?ρ 流体不可压缩 ∫CV ρ dV + ∫CV [ρ ?x j +u j ?x j ]dV = 0 ?t ?u j =0 ?x j

因此,有连续性方程 积分型
r r ? ∫ ρ u ? n dA = - ? t
每单位时间 通过控制面 流出总质量

∫ ρ dV

每单位时间 控制体内质 量的减少

微分型

?u i =0 ?x i

2 动量守恒?运动方程
积分型动量守恒方程 积分型 ?ui ∫ ρ ? t d V + ∫ ρ n j u j u i dA = 微分型动量守恒方程 微分型
?u i ?u i ? 2ui 1 ?p +uj = fi ? +ν ρ ?xi ?t ?x j ?x 2 j

∫ρ

f dV +
i

∫n

j

σ ji dA

对理想流体有
?u i ?u i 1 ?p +uj = fi ? ?t ?x j ρ ?xi

3 能量守恒
积分型总能方程 积分型
ui2 u i2 ? ∫ ρ ?t (e + 2 )dV + ∫ ρ n j u j (e + 2 )dA = ∫ ρ f ui dV + ∫ n jσ ji ui dA + ∫ λ n j
i

?T dA + ∫ ρ q R dV ?x j

微分型总 微分型总能方程
u i2 λ ? 2T D 1 ? (e + ) = fiui + (σ ji u i ) + + qR 2 Dt 2 ρ ?x j ρ ?x j

4 质量传输 ? 移流扩散方程
令θ= C

ρ

C:每单位体积流体中所含扩散质的量
DC =Q Dt
?c ?xi

由守恒律有 由 Fick 扩散定律

?c ?t
V Ji

dA

?C J i = ? Dm ? xi

浓度分布不均匀 引起的扩散量

?C ∫ ? D m ? x i ( ? n i ) dA =



? 2C Dm dV 2 ?xi

∴ Q1 = D m

? 2C Dx i2

当扩散质在单位时间单位体积中源强为Fc时, τ 内总扩散质产生量为

∫F

c

dV



Q 2 = Fc

代回守恒律得到微分型 微分型移流扩散方程 微分型
?C ?C ? 2C + ui = Dm + Fc 2 ?t ?xi ?xi

在静止无源流体中,有

?C ? 2C = Dm ?t ? x i2

使用不可压缩流体的输运公式
D Dθ ∫ ρθ δτ = ∫ ρ Dt dV Dt
D C D C DC dV ρ δτ = ∫ ρ ( )dV = ∫ 可得 Dt ∫ ρ Dt ρ Dt

再由扩散定律,得积分型 积分型移流扩散方程 积分型
?C ?C ∫ ?t dV + ∫ niuiCdA = ∫ Dm ni ?xi dA + ∫ Fc dV

2.4粘性流体基本方程组及边界条件
1 流体动力学微分基本方程组
质量守恒
动量守恒

?u i =0 ?x i
?u i ?u i ? 2 ui 1 ?p +uj = fi ? +ν ?t ?x j ρ ?xi ?x 2 j

能量守恒 ( 质量传输

?T ?T Φ ? 2T 1 +uj = +α + qR 2 ?t ?x j c ?x j c ?c ?c ? 2c + uj = Dm + Fc ) 2 ?t ?x j ?xi

2 流体动力学积分型基本方程组
质量守恒
动量守恒

∫ ρ u ? ndA = -

r r

? ∫ ρ dV ?t

?ui ∫ ρ ?t dV + ∫ ρ n j u j ui dA = ∫ ρ f i dV + ∫ n jσ ji dA

能量守恒



?e λ ?T dV + ∫ eu j n j dA = ∫ ΦdV + ∫ n j dA + ∫ qR dV ?t ρ ?x j

(质 量 传 输

?C ?C ∫ ?t dV + ∫ niuiCdA = ∫ Dmni ?xi dA + ∫ FcdV )

3 边界条件
初始条件 (t=t0时,流体运动所满足的条件) ui = ui(xi, t0) , p = p(xi, t0) , T = T(xi, t0) = ui1(xi) = p1 (xi ) = T1 (xi) 这里ui1(xi) , p1 (xi ),T1 (xi)均为给定已知函数。 对恒定流,不须给出初始条件。 边界条件 无穷远处:如飞机在天空中飞行,我们研究的是 飞机以外直到无穷远处流体的运动情 况,则边界条件可写为 r r v x → ∞ 时, = u ∞ , p = p ∞ , T = T ∞ u

静止固体壁面:

r u = 0 , ( uτ = 0 , u n = 0 ) , T流 = T固 , ?T ?T (λ ) 流 =( λ )固 ?n ?n
运动固体壁面:

r r ?T ?T u 流 = u 固 , T 流 = T固 ( λ , )流 = λ ( )固 ?n ?n

对理想流体边界条件简化为
u n流 = 0 u n流 = u n固

2.5不可压层流流动的精确解
两平行平板间的粘性流动 1 问题 两无穷大平板间充满粘度系数?为常数的 均质不可压缩流体,上板以常速度U沿板面x 方向滑动,温度均匀为T1,下板静止不动, 温度均匀为T0。沿x方向的压力梯度 =常数 , ? p , 两板间距为2h。 即 = P
?x

2 速度场:
y=h

y

U , T1

方程:
?u y ?u x + =0 ?x ?y

y=0 y=-h u=0 T0

x

?u x ?u x ? 2u x ? 2u x 1 ?p ux + uy = ? +ν ( + ) 2 2 ρ ?x ?x ?y ?x ?y ux ?u y ?x + uy ?u y 1 ?p = ? +ν ( + ) 2 2 ρ ?y ?y ?x ?y ? 2u y ? 2u y

边界条件:

y=?h :ux= 0 y=h : ux= U

uy= 0 uy= 0

方程化简为

d 2u x ? = P 2 dy

满足边界条件的解为
ux = U P ( y + h) + (y2 ? h2) 2h 2?

很显然,这是两个解的线性叠加:

? 第一项,P=0,
U ux = ( y + h) 2h

称为简单库埃特流动。速 度剖面为y的线性函数。 第二项,U=0,
P ux = (y2 ? h2) 2?

称为二维泊肃叶流动。 速度剖面为上下对称的 抛物线。

一般为:

U P 2 ux = ( y + h) + ( y ? h2 ) 2h 2?

可算出,上下壁面所受到的流体剪应力分别为:
τw =τ
y=±h

du x ?U = ?( ) y=±h = ± Ph dy 2h

2.6不可压恒定一元流方程
1 连续性方程

Q1 = Q2 = L = Q
2 元流伯努利方程

or
2

A1υ1 = A2υ2 = L Aυ

u z+ + =C γ 2g or
2 u12 p2 u2 = z2 + + z1 + + γ 2g γ 2g

p

p1

实际流体运动时,粘滞力对运动为阻力,克服该阻力所 做的功为元流的能量损失 hl′1? 2 。 实际流体元流伯努力方程为
2 u12 p2 u2 z1 + + = z2 + + + hl'1? 2 γ 2g γ 2g

p1

元流伯努力方程的应用——毕托管测速仪
滞止点(驻点)a:速度为零,压力最大。 毕托管的工作原理:将动能转换成压能。 沿 ab 流线列理想流体元流能量方程

pa

u2 = + ? γ γ 2g pb pa ? pb

u = 2g

γ

= 2 ghu

实际流体的流速:

u = ? 2 ghu

式中 ?为经实验校正的流速系数,它与管的构造和加工情况有关, 其值近似等于1。

3 恒定总流伯努利方程
z1 + p1 +

γ

α 1υ
2 g

2 1

= z

2

+

p

γ

2

+

α 1υ
2 g

2 2

+ h l1? 2

恒定流; 不可压缩流体; 质量力只有重力; 渐变流过流断面; 无分流和合流; 无能量的输入输出。

有能量输入和输出能量方程

z1 +

p1

γ

+

α1υ12
2g

± H i = z2 +

p2

γ

+

α1υ22
2g

+ hl1? 2

有分流和合流的能量方程
2

z1 + z1 +

p1

γ

+

α1υ12
2g

= z2 + = z3 +

p2

γ

+

α1υ22
2g

+ hl1? 2 + hl1?3

1

2

p1

γ

+

α1υ12
2g

p3

γ

+

α 3υ32
2g

1 3

3

4 恒定总流动量方程



v v v F = ρ Q (α 0 2υ 2 ? α 0 1υ 1 )

5 有压管路 基本计算公式 连续方程 能量方程
Q =υA

z1 +

p1

γ

+

α1υ12
2g

= z2 +

p2

γ

+

α 2υ22
2g

+ hl

能量损失

l υ2 υ2 hl = ∑ h f + ∑ hm = ∑ λ + ∑ζ d 2g 2g

? l 8? λ + ∑ζ d H= ? 2 4 π d g

? ? ? Q2 = S Q2 H

? l ? 8? λ + ∑ζ ? d ? 称为管路的阻抗,单位为:s2/m5。 SH = ? 2 4 其中 π d g

对于气体 p = γ H = γ S H Q 2 = S p Q 2

? l 8? λ + ∑ζ d 其中 S p = γ S H = ? π 2d 4

? ?ρ ? ,单位为:kg/m7

串联管路是由许多简单管路首尾相接组合而成。
1 1 H
Q1 , S1 , d1

Q2 , S2 , d 2

Q3 , S3 , d3

2 0 2

0

流量关系: Q1 = Q2 = Q3 能量关系: hl = hl1 + hl 2 + hl 3 ?
2 SQ 2 = S1Q12 + S 2 Q2 + S3Q32

S = S1 + S 2 + S3

并联管路
hl

流量关系:

Q = Q1 + Q2 + Q3
能量关系:

hl = hl1 = hl 2 = hl 3 1 S = 1 S1 + 1 S2 1 S1 + :

2 ? SQ 2 = S1Q12 = S 2 Q2 = S3Q32

1 S3 1 S2 : 1 S3

Q1 : Q2 : Q3 =

2.7明渠流动
1 明渠流的特点 (1)具有自由液面,p0=0,为无压流(管流为压力流); (2)湿周是过水断面固体壁面与液体接触部分的周长,不等 于过水断面的周长; ( 3)重力是流体流动的动力,为重力流(管流则是粘滞力流); (4)渠道的坡度影响水流的流速、水深。坡度增大,则流速 增大 ,水深减小; (5)边界突然变化时,影响范围大。

α

θ

2 明渠均匀流的基本公式 明渠均匀流水力计算的基本公式 连续性方程: Q = Aυ 谢才公式: υ = C RJ = C Ri ( J = i ) 谢才系数的计算: 1 (1)曼宁公式: C = R1 6 n 1 y ? 0.1 m ≤ R ≤ 3 m ? (2)巴甫洛夫斯基公式: C = R ? ? 0.011 ≤ n ≤ 0.04 ? n ?
y = 2.5 n ? 0.13 ? 0.75 R

(

? y = 1.5 n ( R < 1 m ) ? n ? 0.10 或近似 ? ? y = 1.5 n ( R > 1 m ) ?

)

3 梯形断面渠道的水力计算 (1) 校核渠道的输水能力 对已成渠道进行校核性的水力计算。 已知: m, n, i, b, h 求: Q 已知: Q, m, n, b, h 求: 求解: i 求解:直接用公式 Q = CA Ri = f ( m, n, i, b, h ) (2) 设计渠道底坡

Q=K i

? Q2 ? ? ? i= 2 K K = CA R ? ?

(3) 设计渠道断面尺寸 已知: Q, m, n, i 求: b和h

b

K=f (b)

h

K=f (h)

K

K

求解: ① 在 b 和 h 中已知一个,求另一个。

Q=K i

? ? ? Q 1 ?( b + mh ) h ? ? =K= ? ? n b + 2h 1 + m 2 i K = CA R ? ?

53

(

)

23

据此式试算出 b 或 h,或者可作 K = f ( b ) 或 K = f ( h ) 曲线,在曲线上找 K = Q

i 所对应的 b 或 h。

b ② 给定宽深比 β = ,求 b 和 h。 h
小型渠道,由水力最优条件给出宽深比 β = 2 1 + m 2 ? m , 大型渠道由技术经济综合比较给出宽深比,再用以下 公式计算 b 和 h。

(

)

Q

1 ?( b + mh ) h ? ? ? =K= n b + 2h 1 + m 2 i

53

(

)

23

4 无压圆管均匀流的水力计算 充满度 基本公式

α=

h ?θ ? = sin 2 ? ? d ?4?

θ
d

h

Q = CA Ri = f ( n, i, d , α )

水力要素:
d2 A = (θ ? s i n θ ) 8 d χ = θ 2 d ? s in θ ? R = ?1 ? ? 4 ? θ ?

① 验算输水能力 已知: n, i, d , α 求: Q ② 设计管道底坡 已知: Q, n, d , α 求: i ③ 计算管径 已知: Q, n, i, α 求: d

求解:直接计算 Q = CA Ri = f ( n, i, d , α ) 求解: Q = K i

? Q2 ? ? ? i= 2 K K = CA R ? ?

求解: Q = CA Ri = f ( d )

计算时要参考有关规定!

2.8 流体平衡
1 流体平衡微分方程
? ?p ? X ? ρ ?x = 0 ? ? ?p ? Y ?ρ =0 ? ?y ? ? ? Z ? ρ ?p = 0 ? ?z ?

流体平衡微分方程 (欧拉平衡微分方程)

物理意义: 流体处于平衡状态时,单位质量流体所受的表面力 与质量力彼此相等。

2 流体平衡微分方程的一般积分 将三式分别乘以dx,dy,dz后相加可得 平衡微分方程的综合式:
1 ?p ?p ?p Xdx + Ydy + Zdz = ( dx + dy + dz ) ? dp = ρ ( Xdx + Ydy + Zdz ) ρ ?x ?y ?z

引入力的势函数W(x,y,z),使
?W ?W ?W dW = Xdx + Ydy + Zdz = dx + dy + dz ?x ?y ?z

满足上式的质量力为有势质量力。

则平衡方程为:dp = ρ dW 即只有在有势的质量力作用下,流体才能处于平衡状态。 积分:
p = ρW + C

由已知边界条件,若已知某点的p0,W0,带入上式可得

C = p0 ? ρW0

p = p0 + ρ (W ? W0 )

3 流体静力学基本方程
z

作用在流体上的质量力只有重力; 均匀的不可压缩流体。

p2 p1 z1 O(y) 1 z2 x 2

X 重力场中: = 0, Y = 0 , Z = ? g
∴ dp = ρ ( ? gdz ) = ?γ dz ? p +γ z = C 或 z + p

γ

= C 或 z1 +

p1

γ

= z2 +

p2

γ

适用于重力场中同种、连续、静止的均质流体。

4 重力场中的静止大气

dp = ? ρgdz

ρ 为变量,根据不同大气模型确定。

国际标准大气: z ≤ 11000m, T = 288 ? 0.0065 z 对流层 z p = pa (1 ? ) 5.256 pa 为海平面大气压强。 44300


z = 11000m

处,

p1 = 0.223 pa

z f 11000m, T = 216.5 K = ?56.5°C g (11000 ? z ) p = p1 exp RT1 = 0.223 pa exp[0.000158(11000 ? z )]

? 同温层



相关文章:
流体力学前三章习题
? 第二章 流体力学基本方程组 1、一维明槽流动的断面面积 A=A(x, t)(即水面可以变动) ,设:水流速度 u = u (x, t) ,某 物理量的密度为?(x, t),...
喀蔚波副教授 医用物理学 第二章 流体的运动
二、理想流体 三、流场、流线和流管 1.2 1.3 定常流动 连续性方程 § 2...本章主要介绍流体动力学的一些基本概念和规律。 § 1 理想流体的定常流动 3 ...
第一章 流体流动 教案
第一章 流体流动( 流体流动(Fluid flow) 概述 一、为什么要学习这章? 流体。...可压缩流体 第一节 1 —1 密度、比重、重度 流体静力学的基本方程 一、密度...
上课用第二章 流体流动与输送1,2流体静力学.11
本章学习应注意的问题(1)流体力学是传热和传质的基础,它们之间又存在着密切的联系和相似 性,从开始学习流体流动就要学扎实,打好基础。 (2)应用柏努力方程、静...
化工原理 教案 第二章 流体流动
化工原理 教案 第二章 流体流动 隐藏>> 授课时间 第 周 课次 授课方式(请打...教学基本内容三、静力学方程的应用 流体静力学原理的应用很广泛, 它是连通器和...
高等流体力学考试大纲及试题
压应力的特性) 牛顿流体的本构方 程(本构方程的概念、切应力和法向应力与变形的关系)第二章 流体运动的基本方程 微分形式的连续方程的表达形式 不可压缩流体的...
高等流体力学内容
1+ t 第二章 流体运动基本方程 1. 连续性方程 2. 运动方程 3. 动量方程 4. 能量方程 5. 基本方程的封闭问题 作业一:流体在弯曲的变截面细管中流动,设 ...
第三章 流体动力学基础
第二章 流体静力学 第六章 理想流体动力学 第八章 明渠流 第九章 堰流与闸...即可得到描述流体运动规律的三个基本方程:连续 性方程、能量方程(伯努利方程)和...
流体力学复习大纲201110
(4)流体质点、连续介质、理想流体、不可压缩流体的概念 第二章 流体静力学 (...(4)流体运动的基本方程——连续方程 一维流动连续性方程、不可压缩三维流动连续...
流体力学复习大纲
流体力学复习大纲(今晚老师讲的)第一章 绪论 第一节 第二节 作用在流体上的...不可压缩黏性流体紊流运动的基本方程及封闭条件 第一节 第二节 第三节 第四...
更多相关标签: