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1.4 数学归纳法


1.4
学习目标

数学归纳法

1. 了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指导,理解数学归纳法的操作步骤; 2. 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题, 并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写; 3. 数学归纳法中递推思想的理解. 1.4 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P104~ P106,找出疑惑之处) 复习 1:在

数列 {an } 中, a a1 ? 1, an ?1 ? n , (n ? N * ) ,先算出 a2,a3,a4 的值,再推测通项 an 的公式. 1 ? an

复习 2: f (n) ? n2 ? n ? 41 ,当 n∈N 时, f (n) 是否都为质数?

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:数学归纳法 问题:在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?
新知:数学归纳法两大步: (1)归纳奠基:证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立; (2)归纳递推:假设 n=k(k≥n0, k∈ N*)时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立. 只要完 成这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立. 原因:在基础和递推关系都成立时,可以递推出对所有不小于 n0 的正整数 n0+1,n0+2,…, 命题都成立. 1 试试:你能证明数列的通项公式 an ? 这个猜想吗? n

反思:数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题. 关键:从假设 n=k 成立,证得 n=k+1 成立. ※ 典型例题 例 1 用数学归纳法证明 n(n ? 1)(2n ? 1) 12 ? 22 ? 32 ? ? ? n2 ? , n ? N* 6 变式:用数学归纳法证明 1? 4 ? 2 ? 7 ? 3 ?10 ? ? ? n(3n ? 1) ? n(n ? 1)2 , n ? N *

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小结:证 n=k+1 时,需从假设出发,对比目标,分析等式两边同增的项,朝目标进行变形. 例 2 用数学归纳法证明: 首 项 是 a1 , 公 差 是 d 的 等 差 数 列 的 通 项 公 式 是 an ? a1 ? (n ? 1)d , 前 n 项 和 的 公 式 是 n(n ? 1) Sn ? na1 ? d. 2

变式:用数学归纳法证明: 首 项 是 a1 , 公 比 是 q 的 等 差 数 列 的 通 项 公 式 是 an ? a n?1 , 前 n 项 和 的 公 式 是 1 q
Sn ? a1 ( 1? q n ) .( q ? 1 ) 1? q

小结:数学归纳法经常证明数列的相关问题. ※ 动手试试 练 1. 用数学归纳法证明:当 n 为整数时, 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? n2

练 2. 用数学归纳法证明:当 n 为整数时, 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n ?1 ? 2n ? 1

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 数学归纳法的步骤 2. 数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题. ※ 知识拓展 意大利数学家皮亚诺总结了正整数的有关性质,并提出了关于正整数的五条公理,后人称之 为“皮亚诺公理”.数学归纳法的理论依据是皮亚诺公理.

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学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 用数学归纳法证明: 1 ? an ? 2 1 ? a ? a2 ? ? ? an?1 ? (a ? 1) ,在验证 n ? 1 时,左端计算所得项为 1? a A.1 B. 1 ? a ? a 2 C. 1 ? a D. 1 ? a ? a 2 ? a3 2. 用数学归纳法证明

(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3)?(n ? n) ? 2 n ? 1? 3 ? (2n ? 1)(n ? N * ) 时,从 n=k 到 n=k+1,左端需要增加
的代数式为 A. 2k ? 1 B. 2(2k ? 1) 3. 设

2k ? 1 2k ? 3 C. k ? 1 D. k ? 1


1 1 1 ? ? ? ? (n ? N * ) ,那么 f (n ? 1) ? f (n) 等于( n ?1 n ? 2 2n 1 1 2n ? 2 2n ? 1 A. B. 1 1 1 1 ? ? C. 2n ? 1 2n ? 2 D. 2n ? 1 2n ? 2 参考答案: 1、B 2、B 3、D f (n) ?

课后作业
1. 用数学归纳法证明: 1 1 1 1 n ? ? ?? ? ? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 n ? 1

2. 用数学归纳法证明:

1 1 ? n ? 2 ? (n ? 1) ? 3 ? (n ? 2) ? ?n ? 1 ? n(n ? 1)(n ? 2) 6

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