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2013届高考数学知识点复习测试题17


第2讲

复数的运算

★ 知 识 梳理 ★ 1.复数 z1 与 z2 的和的定义: z1 ? z2 ? ? a ? bi ? ? ? c ? di ? ? ? a ? c ? ? ?b ? d ? i 2.复数 z1 与 z2 的差的定义: z1 ? z2 ? ? a ? bi ? ? ? c ? di ? ? ? a ? c ? ? ?

b ? d ? i 3.乘法运算规则: 设 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di ( a 、 b 、 c 、 d ? R )是任意两个复数,那么它们 的积 (a ? bi)(c ? di) ? ac ? bci ? adi ? bdi
2

? (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i

4.复数除法定义:满足 ? c ? di?? x ? yi? ? ? a ? bi? 的复数 x ? yi ( x 、 y ? R ) 叫复数 a ? bi 除以复数 c ? di 的商,记为: 则
(a ? bi) ? ? c ? di ?
a ? bi 或者 c ? di

a ? b i ( a ) (i ? c ) d i ? a c b d? b c a d ? b (a ? b ) ? ( c? d)i? i ? ? ? i 2 c ? d i ( c ) (i ? c ) d 2i ? 2 ? d c d ? 2 c d

5.复数加、减法的几何意义 (1)加法的几何意义 复数 z1 ? z 2 复数. (2)复数减法的几何意义 复数 z1 ? z 2 是连接向量 OZ1 、 OZ2 的终点,并指向被减数的向量 z1 z 2 所 对应的复数. 6. 重要结论 对复数 z 、 z 1 、 z 2 和自然数 m、n,有
m n mn n z m ? z n ? z m? n , ( z ) ? z , ( z1 ? z 2 ) ? z1 ? z 2
? ?

是以 oz1 、 oz2 为两邻边的平行四边形对角线 oz 所对应的

?

n

n

1 2 3 4 (2) i ? i , i ? ?1 , i ? ?i , i ? 1 ;

i 4 n?1 ? 1 , i 4 n? 2 ? ?1 , i 4n?3 ? ?i , i 4 n ? 1 .
1? i 1? i ?i ? ?i (3) (1 ? i) ? ?2i , 1 ? i ,1? i .
2

(4) 设

??

? 1 ? 3i 2 2 2 3n 3n 2 , ? ? ? , ? ? ? , 1? ? ? ? ? 0 , ? ? ? ,

? n ? ? n?1 ? ? n? 2 ? 0

★ 重 难 点 突 破 ★

1.重点:掌握复数的运算法则,复数加减法的几何意义及应用 2.难点:复数相关问题的综合应用 3.重难点:. (1) 不能把实数的某些法则和性质照搬到复数集中来 问题 1: 判断下面的命题
m n mn (1) ( z ) ? z ;
m n (2) z ? z ? m ? n ;

2 2 (3) z1 ? z2 ? 0 ? z1 ? z2 ? 0 ;

(4)

z ? z2
2



(5) z ? a ? ?a ? z ? a 解析:当 z ? C 时,不总是成立的.
m n mn ) (1) ( z ) ? z (m, n为分数时不成立 ; m n (2) z ? z ? m ? n( z ? 1时不成立) ;

2 2 ) (3) z1 ? z2 ? 0 ? z1 ? z2 ? 0( z1 , z2是虚数时不成立 ;

(4)

z ? z 2 ( z为虚数时不成立 )
2



) (5) z ? a ? ?a ? z ? a( z为虚数时不成立

点拨:充分注意实数运算与复数运算的区别。 (2)没有掌握虚数单位 i 整数幂的运算结果的周期性
n 6? n 问题 2:求值: (1 ? i) ? (1 ? i) .

原式=

(1 ? i ) 6 (

1? i n ) 1? i

3 n n?1 = (?2i) ? i ? 8i

=

(n ? 4k ? 1), ?? 8 ? (n ? 4k ? 2), (k为非负整数) ?? 8i ? (n ? 4k ? 3) , ?8 ?8i (n ? 4k ). ?

n 点拨:虚数单位 i 整数幂的值具有以 4 为周期的特点,根据 n求i 时, 必

须按被 4 整除余数为 0、1、2、3 四种情况进行分类讨论. (3)注意运用共轭复数的性质 问题 3: 已知 z1 , z2 ? C, z1 ? 1,求
z1 ? z2 1 ? z1 ? z2

的值

点拨:对于

z?z ? z ? z
2

2

,是复数运算与实数运算相互转化的主要依

据,也是把复数看作整体进行运算的主要依据,在解题中加以认识并

逐渐体会.

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点一:复数的四则运算 题型 1. 利用复数四则运算求值 [例 1] (广东北江中学 2008 届数学专题)
(1 ? i )(1 ? 2i ) ? 1? i

(

) D. 2 ? i

A. ? 2 ? i B. ? 2 ? i C. 2 ? i

[解题思路]:运用公式,按步求解

(1 ? i)(1 ? 2i) (1 ? i) 2 (1 ? 2i) ? ? 2?i (1 ? i)(1 ? i) 解析: 1 ? i ,

故选 C

[例 2] (江苏省南通市 2008 届高三调研考试)
3 1 设ω =- 2 + 2

i,A={x|x=ω k+ω -k,k∈Z},则集合 A 中的元素有 B.2 个 C.3 个 D.4 个

A.1 个

[解题思路]:用ω 的性质。
3 1 解析:设ω =- 2 + 2

i,则ω 3k=1,ω 3k+1=ω ,ω 3k+2= ? (k∈Z),

①当 k=3n,n∈Z 时,x=1+1=2;
1

②当 k=3n+1,n∈Z 时,x=ω + ? =ω +ω 2=ω + ? =-1;
1

③当 k=3n+2,n∈Z 时,x=ω 2+ ? 2 =ω 2+ω =-1

答案: B

【名师指引】熟记一些常用结论有利于简化运算,快速解题。 【新题导练】
2 1. (广东省佛山市 2008 年高三教学质量检测一) i(1 ? i) ? (

) .

A. 1 ? i 答案:C

B. ?1 ? i

C. ?2

D. 2

(1 ? i ) 2 ? 2.(黄家中学高 08 级月考)求复数 3 ? i (

) (D) 1 ? 3i 故选 C;

(A) ?1 ? 3i

1 3 ? i (B) 2 2

1 3 ? ? i (C) 2 2

(1 ? i)2 2i( 3 ? i) ?2 ? 2 3i 1 3 ? ? ?? ? i 2 2 2 【解】 3 ? i ( 3 ? i)( 3 ? i) :

考点二: 复数加减法几何意义的应用 题型 1: 复数及其运算的几何意义 [例 3] (广东省汕头市潮阳一中 2008 年高三模拟)复数 虚数单位)在复平面上对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 ( )
z? (2 ? i ) 2 1 ? i (i 是

C.第三象限 [ 解 题 思

D.第四象限 路
?? ?

]



复数Z ? a ? bi

一一对应

? 复平面内的点(a,b)



复数Z ? a ? bi

一一对应

? 平面向量OZ ,

一一对应 ?? ? 复平面内的点(a,b) ? 平面向量OZ

解析:B [例 4] 满足条件 z ? 2i ? z ? 1 ? 5 的点的轨迹是( A.椭圆 圆 B.直线 C.线段 ) D.

[解题思路]:如果把 z ? 2i 看作动点 Z 到定点(0,2)的距离,由上 式表示到两个定点(0,2)与(-1,0)的距离之和为常数 5 ? 动点 的轨迹符合椭圆的定义,但是,有一定的前提的就是两点间的距离小 于定常数. 解析:?点(0,2)与(-1,0)间的距离为 5 ,
? 动点在两定点(0,-2)与(-1,0)之间,选 C

【名师指引】理解复数、复数加减法及复数模的几何意义,熟记一些 常用曲线的复数表示。 【新题导练】 1.(广东省深圳市 2008 年高三年级第一次调研考试)复数 z1 ? 3 ? i ,
z2 ? 1 ? i ,则复数

z1 z2

在复平面内对应的点位于





A.第一象限 四象限 答案:A

B.第二象限

C.第三象限

D.第

2. (广东省五校 2008 年高三上期末联考)满足条件|z-i|=|3+4i|复数 z 在 复平面上对应点的轨迹是( A .一条直线 D. 椭圆 答案: |3+4i|=5 满足条件|z-i|=|3+4i|复数 z 在复平面上对应点的轨迹 是 圆心为(0,1) ,半径为 5 的圆。故选 C ) B .两条直线 C. 圆

★ 抢 分 频 道 ★ 基础巩固训练 1. (广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末 联考)
a ? 3i 若复数 1 ? 2i ( a ? R , i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为




3 C. 2

A、-6

B、13

D. 13

答案:A w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

2. (安徽省皖南八校 2008 届高三第一次联考)
a, b z,? 2i 1 ? ad ? bc ?0 _ c, d 1 ? i,? i 1 定义运算 ,则符合条件 的复数 z 对应的点在



) B.第二象限; C . 第 三 象 限 ;

A.第一象限; D.第四象限; 答案:A

3.(广东省揭阳市 2008 年高中毕业班高考调研测试)
2 若 z ? cos ? ? i sin ? (i 为虚数单位) ,则使 z ? ?1的 ? 值可能是( )

A.0

? B. 2

C. ?

D. 2?

答案:将各选项代入检验易得答案选 B. 4.(广东省韶关市 2008 届高三第一次调研考试)
2 ? 已知复数 z ? 1 ? i ,则 z (

) D. 1 ? i

A. ? 2i B. 2i C. 1 ? i 答案:C

5.(山东省济南市 2008 年 2 月高三统考)
3i 1 ? i 的共轭复数是( ? 3 3 ? i 2 2


? 3 3 ? i 2 2

A.

B.

C



3 3 ? i 2 2

3 3 ? i D. 2 2

答案:B

6.(湖北省鄂州市 2008 年高考模拟)虚数(x-2)+ y i 其中 x、y 均为
y 实数,当此虚数的模为 1 时, x 的取值范围是(



3 3 A.[- 3 , 3 ]

B.

[?

3 3 0 0 ] 3 ∪( 3

C.[- 3 , 3 ] 答案:B

D.[- 3 ,0 ∪(0, 3 ]

?( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1 y ? ∵ ?y ? 0 , 设k=x,

则 k 为过圆(x-2)2 + y2 = 1 上点及原点
1

的直线斜率,作图如下, k≤ 3
8 2 6

?

3 3 ,

又∵y≠0 ,∴k≠0.由对称性 选 B.
1 5

2

综合拔高训练

0

5

1 ? 2i 7 . ( 广 东 省 四 校 联 合 体 第 一 次 联 考 ) 复 数 3 ? 4i 的 虚 部


2 答案: 5



8. (安徽省泾县中学 2008 高三数学单元检测) 复平面内,已知复数
1 z=x- 3 i

所对应的点都在单位圆内,则实数 x

的取值范围是__________.

解:∵z 对应的点

1 z(x,- 3 )都在单位圆内,
2 2 2 2 ?x? 3 ∴- 3

∴|Oz|<1,即 .

1 x 2 ? (? ) 2 3

<1.

1 8 ∴x2+ 9 <1.∴x2< 9 .

9.(江苏省盐城市 2008 届高三六校联考)
1 已知复数 z=x+yi (x,y∈R, x≥ 2 ), 满足|z-1|= x , 求 z 在复平面上对应

的点(x,y)的轨迹.
1 2 2 2 解:已知复数 z=x+yi (x,y∈R, x≥ 2 ), 满足|z-1|= x , ( x ? 1) ? y ? x 即

y 2 ? 2x ? 1

那么 z 在复平面上对应的点(x,y)的轨迹是抛物线

10.(江苏省泰兴市 2008 高三调研)已知

a?i z= 1 ? i

(a>0,a∈R),复数ω

3 =z(z+i)的虚部减去它的实部所得的差是 2 ,求复数ω .

解:把

a?i z= 1 ? i

a?i a?i 代入,得ω = 1 ? i ( 1 ? i

+i)

a ? i a ? i ? i ?1 a ?1 = 1 ? i ( 1 ? i )= 2 (1+ai). a ?1 a ?1 3 ? 于是 2 ·a- 2 2 ,即
3 ∵a>0,∴a=2,ω = 2 +3i.

a2=4.


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