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2005年高考理科数学试卷及答案(山东)


2005 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 理科数学(必修+选修 II)
第 I 卷(共 60 分)
参考公式:如果事件 A、B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P( A ? B) ? P( A) P( B) 一.选择题:本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四

个选项中,选择一个符合 题目要求的选项. (1)

1? i

?1 ? i ?

2

?

1? i

?1 ? i ?

2

?
(B) ?i (C)1





(A) i (2)函数 y ? (A) y

(D) ?1 ( (D) )

1? x ? x ? 0 ? 的反函数图像大致是 x y (B) (Cy )

y

o

1

x

?1

o

x

o

1

x

?1

o

x

(3)已知函数 y ? sin ? x ?

? ?

? ? ? ? cos ? x ? ? ,则下列判断正确的是( ) 12 ? ? 12 ?
?? ? ,0 ? ? 12 ?

? ?

(A)此函数的最小周期为 2? ,其图像的一个对称中心是 ?

(B)此函数的最小周期为 ? ,其图像的一个对称中心是 ?

?? ? ,0 ? ? 12 ? ?? ? ,0 ? ?6 ?

(C)此函数的最小周期为 2? ,其图像的一个对称中心是 ?

(D)此函数的最小周期为 ? ,其图像的一个对称中心是 ?

?? ? ,0 ? ?6 ?


(4)下列函数既是奇函数,又在区间 ??1,1? 上单调递减的是(

(A) f ( x) ? sin x (B) f ( x) ? ? x ? 1 (C) f ( x ) ?
n

1 x 2? x a ? a ? x ? (D) f ( x) ? ln ? 2 2? x


? 1 ? 1 (5)如果 ? 3x ? ? 的展开式中各项系数之和为 128,则展开式中 3 的系数是( 3 2 x x ? ? (A)7 (B) ?7 (C)21 (D) ?21
?sin(? x 2 ), ?1 ? x ? 0, ? (6)函数 f ( x) ? ? x?1 ,若 f (10 ? f (a) ? 2, 则 a 的所有可能值为( ? ?e , x ? 0.
(A)1 (B) ?



2 2

(C) 1, ?

2 2

(D) 1,

2 2


(7)已知向量 a, b ,且 AB ?a ? 2 b, BC ?? 5 a ?6 b

,CD ? 7a ? 2b ,则一定共线的三点是(

( A)A、B、D (B)A、B、C (C)B、C、D (D)A、C、D (8)设地球的半径为 R ,若甲地位于北纬 45 ? 东经 120? ,乙地位于南纬 75 ? 东经 120? ,则甲、乙 两地的球面距离为( ) (A) 3R (B)

?
6

R

(C)

5? R 6 1 2

(D)

2? R 3


(9)10 张奖券中只有 3 张有奖,5 个人购买,至少有 1 人中奖的概率是( (A)

3 10

(B)

1 12

(C)

(D)

11 12


(10)设集合 A、B 是全集 U 的两个子集,则 A ? B 是 ? CU A? ? B ? U 的(

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)冲要条件(D)既不充分也不必要条件 (11) 0 ? a ? 1 ,下列不等式一定成立的是( ) (A) log (1? a ) (1 ? a ) ? log (1?a ) (1 ? a ) ? 2 (B) log (1? a ) (1 ? a ) ? log (1?a ) (1 ? a ) (C) log (1?a ) (1 ? a ) ? log (1?a ) (1 ? a) ? log (1? a ) (1 ? a ) ? log (1?a ) (1 ? a ) (D) log (1?a ) (1 ? a ) ? log (1?a ) (1 ? a) ? log (1? a ) (1 ? a ) ? log (1?a ) (1 ? a )

y2 ? 1 的交点为 A、B、 (12)设直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 关于原点对称的直线为 l ? ,若 l ? 与椭圆 x ? , 4
2

点 P 为椭圆上的动点,则使 ?PAB 的面积为 (A)1 (B)2

1 的点 P 的个数为( 2
(C)3

) (D)4

第 II 卷(共 90 分)
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.答案须填在题中横线上. (13) lim
2 n?2 Cn ? 2Cn ? __________ . n?? (n ? 1)2

(14)设双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,右准线 l 与两条渐近线交于 P、 Q 两点,如 a 2 b2

果 ?PQF 是直角三角形,则双曲线的离心率 e ? ___________ .

? x ? y ? 5, ?3 x ? 2 y ? 12, ? (15) 设 x 、 y 满 足 约 束 条 件 ? 则 使 得 目 标 函 数 z ? 6 x ? 5 y 的 最 大 的 点 ( x, y ) 是 ?0 ? x ? 3, ? ?0 ? y ? 4.
________ .
(16)已知 m、n 是不同的直线, ?、? 是不重合的平面,给出下列命题: ①若 ? // ? , m ? ? , n ? ? , 则 m // n ②若 m, n ? ? , m //? ,则 ? // ? ③若 m ? ? , n ? ? , m // n,则 ? // ? ④ m, n 是两条异面直线,若

m //? , m //? ,n // ? ,n // ? ,则 ? // ?
上面的命题中,真命题的序号是 ______ (写出所有真命题的序号) 三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 已 知 向 量 m?( c o ?s

, ? s i和 n n? )

?

2 ? sin ? ,cos? ,? ? ?? , 2? ? , 且 m ? n ?

?

8 2 , 求 5

?? ? ? cos ? ? ? 的值. ?2 8?
(18)(本小题满分 12 分) 袋中装有黑球和白球共 7 个,从中任取 2 个球都是白球的概率为 , 现有甲、乙两人从袋中轮流摸取 1 球,甲先取,乙后取,然后甲再取……取后不放回,直到两人中有一人取到白球时既终止,每个

1 7

球在每一次被取出的机会是等可能的,用 ? 表示取球终止所需要的取球次数. (I)求袋中所有的白球的个数; (II)求随机变量 ? 的概率分布; (III)求甲取到白球的概率. (19) (本小题满分 12 分) 已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? mx3 ? 3(m ? 1) x2 ? nx ? 1 的一个极值点,其中 m, n ? R, m ? 0 , (I)求 m 与 n 的关系式; (II)求 f ( x ) 的单调区间; (III)当 x ?? ?1,1? 时,函数 y ? f ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3 m ,求 m 的取值范 围. (20)(本小题满分 12 分) 如图,已知长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 , AB ? 2, AA 1 ? 1,
F

A 1

D1

30 ? , AE 垂直 BD 于 直线 BD 与平面 AA 1B 1B 所成的角为 B1
E , F 为 A1B1 的中点.
(I)求异面直线 AE 与 BF 所成的角; (II)求平面 BDF 与平面 AA1B 所成的二面角; (III)求点 A 到平面 BDF 的距离. (21) (本小题满分 12 分)
B

A

C1
E

D

C

已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 5, 前 n 项和为 Sn ,且 Sn?1 ? Sn ? n ? 5(n ? N * ) (I)证明数列 ?an ?1 ? 是等比数列; ( II )令 f ( x) ? a1x ? a2 x2 ?

? an xn ,求函数 f ( x) 在点 x ? 1 处的导数 f ?(1) 并比较 2 f ?(1) 与

23n 2 ? 13n 的大小.
(22)(本小题满分 14 分) 已知动圆过定点 ?

p ?p ? ,0 ? ,且与直线 x ? ? 相切,其中 p ? 0 . 2 ?2 ?

(I)求动圆圆心 C 的轨迹的方程; (II) 设 A、 B 是轨迹 C 上异于原点 O 的两个不同点, 直线 OA 和 OB 的倾斜角分别为 ? 和 ? , 当? , ?

B
y

A M

N

o

x

变化且 ? ? ? 为定值 ? (0 ? ? ? ? ) 时,证明直线 AB 恒过定点,并求出该定点的坐标.

2005 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) (试题参考答案)
理科数学(必修+选修 II)
一.选择题 题号 答案 1 D 2 B 3 B 4 D 5 C 6 C 7 A 8 D 9 D 10 A 11 A 12 B

二.填空题 13.

3 2

14.

e? 2

15.

? 2,3?

16.

③④

三.解答题 17.考查知识点: (三角和向量相结合) 解: m ? n ? cos? ? sin ? ? 2,cos? ? sin ?

?

?

m?n ?

? cos? ? sin ? ? 2 ?

2

? (cos ? ? sin ? ) 2 =

?? ?? ? ? 4 ? 2 2(cos? ? sin ? ) = 4 ? 4 cos ? ? ? ? = 2 1 ? cos ? ? ? ? 4? 4? ? ?
由已知 m ? n ?

8 2 ?? ? ? ?? 7 ? ? , ,得 cos ? ? ? ? ? 又 cos ? ? ? ? ? 2cos2 ( ? ) ? 1 5 4? 2 8 4 ? 25 ? ?

? ? 16 cos 2 ( ? ) ? 2 8 25
?? ? ? ? cos ? ? ? ? 0 ?2 8?

? ? ? ?? ,2? ?

?

5? ? ? 9? ? ? ? 8 2 8 8

4 ?? ? ? ? cos ? ? ? ? ? 5 ?2 8?

18.(考查知识点:概率及分布列)

n(n ? 1) 2 1 Cn n(n ? 1) 2 解:(I)设袋中原有 n 个白球,由题意知 ? 2 ? ? 7?6 7 C7 7?6 2

可得 n ? 3 或 n ? ?2 (舍去)即袋中原有 3 个白球. (II)由题意, ? 的可能取值为 1,2,3,4,5

3 P (? ? 1) ? ; 7 4?3 2 P ?? ? 2 ? ? ? ; 7?6 7 4 ? 3? 2 6 P(? ? 3) ? ? ; 7 ? 6 ? 5 35 4 ? 3? 2 ? 3 3 P (? ? 4) ? ? ; 7 ? 6 ? 5 ? 4 35 4 ? 3 ? 2 ? 1? 3 1 P(? ? 5) ? ? ; 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 35
所以 ? 的分布列为:

?
P

1

2

3

4

5

3 7

2 7 22 35

6 35

3 35

1 35

(III) 因为甲先取 , 所以甲只有可能在第一次 , 第三次和第 5 次取球 , 记 ” 甲取到白球 ” 为事件 A , 则

P( A) ? P ?? ? 1? ? P ?? ? 3? ? P ?? ? 5 ? ?
19.(考查知识点:函数结合导数)

2 解 (I) f ?( x) ? 3mx ? 6(m ? 1) x ? n 因 为 x ? 1 是 函 数 f ( x ) 的 一 个 极 值 点 , 所 以 f ?(1)? 0, 即

3m ? 6(m ? 1) ? n ? 0 ,所以 n ? 3m ? 6
(II)由(I)知, f ?( x) ? 3mx ? 6(m ? 1) x ? 3m ? 6 = 3m( x ? 1) ? x ? ?1 ?
2

? ?

? ?

2 ?? ? m ?? ?

当 m ? 0 时,有 1 ? 1 ?

2 ,当 x 变化时, f ( x ) 与 f ?( x ) 的变化如下表: m

x
f ?( x )

2? ? ? ??,1 ? ? m? ?
?0

1?
0

2 m

2 ? ? ?1 ? ,1? ? m ?
?0

1

?1, ???
?0

0

f ( x)

调调递减

极小值

单调递增

极大值

单调递减

故有上表知,当 m ? 0 时, f ( x ) 在 ? ??,1 ? 调递减.

? ?

2 2? ? 单调递减,在 (1 ? m ,1) 单调递增,在 (1, ??) 上单 m?

(III)由已知得 f ?( x) ? 3m ,即 mx2 ? 2(m ? 1) x ? 2 ? 0

2 2 2 2 (m ? 1) x ? ? 0 即 x 2 ? (m ? 1) x ? ? 0, x ? ? ?1,1? ① m m m m 1 2 2 设 g ( x) ? x ? 2(1 ? ) x ? ,其函数开口向上,由题意知①式恒成立, m m
又 m ? 0 所以 x ?
2

2 2 ? ? g (?1) ? 0 ?1 ? 2 ? ? ? 0 4 4 所以 ? 解之得 ? ? m 又 m ? 0 所以 ? ? m ? 0 ?? m m 3 3 ? g (1) ? 0 ? ??1 ? 0
即 m 的取值范围为 ? ? ,0 ? 20.(考查知识点:立体几何) 解:在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,以 AB 所在的直线为 x 轴,以 AD 所在的直线为 y 轴, AA1 所 在的直线为 z 轴建立如图示空间直角坐标系 由已知 AB ? 2, AA 1 ? 1, 可得 A(0,0,0), B(2,0,0) , F (1,0,1)

? 4 ? 3

? ?

?DBA ? 30? , 又 AD ? 平面 AA 从而 BD 与平面 AA 又 AB ? 2 ,AE ? BD , 1B 1B , 1B 1B 所成的角为

AE ? 1, AD ?

?1 3 ? ? 2 3 ? 2 3 从而易得 E ? , ? 2 2 ,0 ? ?, D? ? 0, 3 ,0 ? ? 3 ? ? ? ?

1 ? ?1 3 ? AE ? BF 2 ?? 2 (I)因为 AE ? ? , ? 2 2 ,0 ? ? , BF ? ? ?1,0,1? 所以 cos AE , BF ? AE BF = 2 4 ? ?

?

?

易知异面直线 AE、BF 所成的角为 arccos

2 4

( II )易知平 面 AA1B 的一个法向 量 m ? (0,1,0) 设 n ? ( x, y, z) 是平 面 BDF 的一个法向 量,

?? x ? z ? 0 ? ? ? 2 3 ?x ? z ?n ? BF ?n ? BF ? 0 ? ? ?? BD ? (?2, ,0) 由 ? ?? ? 2 3 3 y?0 ? ?n ? BD ? ?n ? BD ? 0 ? 3x ? y ?2 x ? ? 3 ?

即 n ? 1, 3,1 所以 cos m, n ?

?

?

m?n m n

?

15 即平面 BDF 与平面 AA1B 所成的二面角的大小(锐 5

角)为 arccos

15 5

(III)点 A 到平面 BDF 的距离,即 AB 在平面 BDF 的法向量 n 上的投影的绝对值, 所以距离 d ? AB ? cos AB, n = 21. (考查知识点:数列) 解:由已知 Sn?1 ? Sn ? n ? 5(n ? N * ) 可得 n ? 2, Sn ? 2Sn?1 ? n ? 4 两式相减得

AB ? n n

?

2 5 2 5 所以点 A 到平面 BDF 的距离为 5 5

Sn?1 ? Sn ? 2? Sn ? Sn?1 ? ?1 即 an?1 ? 2an ? 1 从而 an?1 ?1 ? 2? an ? 1 ? 当 n ? 1 时 S2 ? 2S1 ?1 ? 5 所
以 a2 ? a1 ? 2a1 ? 6 又 a1 ? 5 所以 a2 ? 11 从而 a2 ?1 ? 2 ? a1 ?1? 故总有 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ,n ? N 又 a1 ? 5, a1 ? 1 ? 0 从而
*

an?1 ? 1 ? 2 即数列 ?an ?1? 是等比数列; an ? 1

(II)由(I)知 an ? 3? 2n ?1 因为 f ( x) ? a1x ? a2 x2 ? 从而 f ?(1) ? a1 ? 2a2 ?
2 =3 2 ? 2? 2 ?

? an xn 所以 f ?( x) ? a1 ? 2a2 x ?
? nan = ? 3 ? 2 ? 1? ? 2 ? 3 ? 22 ? 1? ?

? nan xn?1
? n(3 ? 2 n ? 1)

?

? n ? 2n ? - ?1 ? 2 ?

? n ? = 3 ? n ? 1? ? 2n?1 ?

n(n ? 1) ?6 2

2 n 2 由上 2 f ?(1) ? 23n ? 13n ? 12 ? n ? 1? ? 2 - 12 2n ? n ? 1 = n 12 ? n ?1? ? 2n ?12 ? n ?1? (2n ?1) =12 (n ? 1) ? ? 2 ? (2n ? 1) ? ?①

?

?

?

?

当 n ? 1 时,①式=0 所以 2 f ?(1) ? 23n ?13n ;
2

当 n ? 2 时,①式=-12 ? 0 所以 2 f ?(1) ? 23n ?13n
2
n 0 1 当 n ? 3 时, n ? 1 ? 0 又 2 ? ?1 ? 1? ? Cn ? Cn ? n n ?1 n ? Cn ? Cn ? 2n ? 2 ? 2 n ? 1

n 2 所以 ? n ? 1? ? ? 2 ? ? 2n ? 1? ? ? ? 0 即① ? 0 从而 2 f ?(1) ? 23n ? 13n

22. (考查知识点:圆锥曲线)

解: (I)如图,设 M 为动圆圆心, ?

p ?p ? ,0 ? 为记为 F ,过点 M 作直线 x ? ? 的垂线,垂足为 N , 2 ?2 ? p 的距离相等,由抛物线的定义知,点 2

由题意知: MF ? MN 即动点 M 到定点 F 与定直线 x ? ?

p ?p ? M 的轨迹为抛物线,其中 F ? ,0 ? 为焦点, x ? ? 为准线,所以轨迹方程为 y 2 ? 2 px( P ? 0) ; 2 ?2 ?
(II) 如图, 设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 由题意得 x1 ? x2(否则 ? ? ? ? ? ) 且 x1 , x2 ? 0 所以直线 AB
2 y12 y2 的斜率存在,设其方程为 y ? kx ? b ,显然 x1 ? ,将 y ? kx ?b 与 y 2 ? 2 px( P ? 0) 联 , x2 ? 2p 2p

立消去 x ,得 ky 2 ? 2 py ? 2 pb ? 0 由韦达定理知 y1 ? y2 ? (1)当? ?

2p 2 pb , y1 ? y2 ? ① k k

?
2

时,即 ? ?? ?

?
2

?? 时, tan

ta ?n ? 所1以

y1 y2 ? ? 1, x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , x1 x2

2 2 pb y12 y2 ? 4 p 2 所以 b ? 2 pk . 因此直线 AB 的方程可表示为 ? y1 y2 ? 0 所以 y1 y2 ? 4 p 2 由①知: 2 k 4p

y ? kx ? 2Pk ,即 k ( x ? 2P) ? y ? 0 所以直线 AB 恒过定点 ? ?2 p,0?
(2)当 ? ?

?
2

时,由 ? ? ? ? ? ,得 tan ? ? tan(? ? ? ) =

tan ? ? tan ? = 1 ? tan ? tan ?

2p 2p 2 p( y1 ? y2 ) ? 2 pk , 将①式代入上式整理化简可得: tan ? ? ,所以 b ? 2 tan ? b ? 2 pk y1 y2 ? 4 p
此时,直线 AB 的方程可表示为 y ? kx ?

2p 2p ? ? ? 2 pk 即 k ( x ? 2 p) ? ? y ? ??0 tan ? tan ? ? ?

所以直线 AB 恒过定点 ? ?2 p, 所以由( 1 ) ( 2 )知,当 ? ?

? ?

2p ? ? tan ? ?

?
2

时,直线 AB 恒过定点 ? ?2 p,0? ,当 ? ?

?
2

时直线 AB 恒过定点

2p ? ? ? ?2 p, ?. tan ? ? ?


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