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2013届新课标高中数学(文)第一轮总复习第6章第39讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题


求目标函数的最值 (截距)
?2x+y≤40 ? ?x+2y≤50 【例 1】若变量 x,y 满足? ?x≥0 ? ?y≥0

,则 z=3x+2y

的最大值是__________.

【解析】作出可行域如图所示.目标函数化为:y
3 z 3 =-2x+2,令 z=0,画直线 y=-2x,及其

平行线,如 图,当它经过两直线的交点时,取得取大值.

?2x+y=40 ?x=10 解方程组? ,得? . ?x+2y=50 ?y=20

所以 zmax=3×10+2×20=70.

求最优解,画出可行域,将目标函数化为斜截式, 再令z=0,画它的平行线,看y轴上的截距的最值,就 是最优解.

【 变 式 练 习 1】 ?x ? y ? z ? 1 ? ?3 y ? z ? 2 设 x, y, z 满 足 约 束 条 件 ? ,求u ?0 ? x ? 1 ?0 ? y ? 1 ? = 2 x+ 6 y+ 4 z的 最 大 值 与 最 小 值 .

【 解 析 】 将 z=1 - x- y 代 入 ?? x ? 2 y ? 1 ? 约 束 条 件 得 :0 ? x ? 1 , ? ?0 ? y ? 1 ? 目 标 函 数 为 : u= - 2 x+ 2 y+ 4 , 作 出 可 行 域 , 当 目 标 函 数 经 过 点 B ? 1,1 ? 时 , u m in= 4. 当 目 标 函 数 经 过 点 C ? 0 ,1 ? 时 , u m a x= 6.

求目标函数的最 值(距离、斜率)
【 例 2】 ?2x ? y ? 2 ? 0 ? 已 知 实 数 x、 y 满 足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 , ?3 x ? y ? 3 ? 0 ? 求 z= x + y 的 最 大 值 和 最 小 值 .
2 2

【 解 析 】 根 据 条 件 作 出 可 行 域 ( 如 图 ). ?x ? 2y ? 4 ? 0 解? , ?3 x ? y ? 3 ? 0 得 A点 的 坐 标 为 ? 2 , 3 ? . ?2x ? y ? 2 ? 0 解? , ?3 x ? y ? 3 ? 0 得 C 点 的 坐 标 为 ? 1, 0 ? . ?x ? 2y ? 4 ? 0 解? , ?2x ? y ? 2 ? 0 得 B点 的 坐 标 为 ? 0 , 2 ?.

求 z= x + y 的 最 大 值 和 最 小 值 就 是 求 可 行域内的点与原点的距离的平方的最大 值 和 最 小 值 . 显 然 , 原 点 到 A点 的 距 离 的 平 方 最 大 , 而 到 直 线 2 x+ y- 2= 0的 距 离的平方最小. 所 以 z的 最 大 值 为 O A = 2 + 3 =1 3, 最 小 ? | 2 ? 0 ? 1? 0 ? 2 | ? 4 值为d =? ? ? . 2 2 5 2 ?1 ? ?
2 2 2 2 2

2

2

在线性规划中,形如z=(x-a)2 +(y -a)2型的(或可以化为此类型的)目标函数 都可以转化为求可行域内的点(x,y)与点 (a,b)的距离的平方(特别提醒:是“距离 的平方”,而非“距离”)的最值问题,通 过点与点的距离或点到直线的距离公式求 y?b 解.而形如 型的则转化为可行域内的 x?a 点(x,y)与点(a,b)连线的斜率来求.

【 变 式 练 习 2】 ?3 x ? 4 y ? 12 ? 已 知 变 量 x, y 满 足 不 等 式 组 ? x ? 3 y ? 9 ? 0 , ?4 x ? y ? 16 ? 0 ? 求x +y 和
2 2

y ?1 x ?1

的取值范围.

【解析】作出可行域如右图中的阴影部分 △ABC,图中各点的坐标分别为 A(4,0), B(3,4),C(0,3),D(-1,1).由图可知x2 +y2 的最小值是原点到直线AC:3x+4y-12=0 的距离的平方,最大值是线段OB的长度的 平方;

y ?1 x ?1

的 最 小 值 是 直 线 A D的 斜 率 , 最 大 值 是 直

线 C D的 斜 率 . 因 为 原 点 到 直 线 A C的 距 离 为 d= 的 长 度 为 O B =5, 所 以 x + y 的 取 值 范 围 是[ 因 为 直 线 A D 的 斜 率 为 k 1= 直 线 C D 的 斜 率 为 k 2= 所以 y ?1 x ?1
2 2

12 5

, 线 段 OB

144 25

, 5 ]. 2 =- 1 5 ,

1? 0 ?1 ? 4

1? 3 ?1 ? 0

=2, , ]. 2

的 取 值 范 围 是 [-

1 5

【例3】 某厂拟生产甲、乙两种试销产品,每件销售收 入分别为3千元、2千元.甲、乙产品需要在A、 B两种设备上加工,在每台设备A、B上加工一 件甲产品所需工时分别为1小时、2小时,加工 一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时,A、 B两种设备每月有效使用时数分别为400和500, 如何安排生产可使收入最大?

利用线性规划 解决实际问题

【解析】设甲、乙两种产品每月产量分别 为 x、 y 件 , 收 入 为 z 元 . ?x ? 0 ? ?y ? 0 则 x、 y 满 足 ? , ? x ? 2 y ? 400 ?2 x ? y ? 500 ? 目 标 函 数 z= 3 x+ 2 y .作 出 可 行 域 , 如图的阴影部分.  

? x ? 2 y ? 400 解方程组 ? , ?2 x ? y ? 500 得 交 点 A的 坐 标 为 ? 2 0 0 ,10 0 ? . 作 直 线 l:x+ 2 y= 0, 将 直 线 l向 上 平 移 到 过 3 A点 时 , z 取 得 最 大 值 3 ? 2 0 0+ 2 ? 10 0= 8 0 0 . 即 甲 、 乙 两 种 产 品 每 月 产 量 分 别 为 200件 、 10 0 件 时 , 可 使 收 入 最 大 , 为 8 0 0 元 .

本题是利用线性规划的基础知识 和图解法解决生活中的实际问题.首 先要弄清题意,找出变量的约束条件, 列出目标函数,然后由约束条件画出 可行域,最后在一组平行线中,找出 在可行域内过A点的直线,把点代入 可得到最大值(即收入最大).

【变式练习3】 两种大小不同的钢板可按下表截成A、B、C三 种规格成品.

钢板 规格 第一种钢板 第二种钢板

A规格 2 1

B规格 1 2

C规格 1 3

某建筑工地需A、B、C三种规格的成品分别为 15、18、27块,问怎样截这两种钢板,可得所 需三种规格成品,且所用钢板张数最少?

【 解 析 】 设 需 截 第 一 种 钢 板 x张 , 第 二 种 钢 板 y 张 . ?2 x ? y ? 15 ? ? x ? 2 y ? 18 由题意知,约束条件为? , ? x ? 3 y ? 27 ? x, y ? N * ? 目 标 函 数 ( 钢 板 总 数 ) 为 z= x+ y . 作出可行域,如右图所示.

? x ? 3 y ? 27 18 39 解? , 得 交 点 A( , ). 5 5 ?2 x ? y ? 15 作 直 线 l: x+ y= 0 .将 直 线 l向 上 平 移 , 18 39 经 过 A点 时 , 可 使 z 最 小 , 但 , 不 5 5 是整数,不合要求.

通过在可行域内画网格发现,经过可行域 内的整点且与原点距离最近的是B(3,9)和 C(4,8),它们都是最优解,所以,要截得所 需三种规格的钢板,且使所截两种钢板的 张数最少,有下面两种方法:①截第一种 钢板3张,第二种钢板9张,②截第一种钢 板4张,第二种钢板8张,两种方法都最少 要截两种钢板共12张.

1.表示图中阴影部分的二元一次不等式
?x ? 0 组为_________________ ? ? y ? ?1 ?x ? y ? 1 ?

【 解 析 】 B 、 C 所 在 的 直 线 方 程 是 x= 0, A、 C 所 在 的 直 线 方 程 是 y= - 1 , A、 B 所 在 的 直 线 方 程 是 x+ y=1. 图中阴影部分表示的区域都包括边界,且是在 直 线 A C 上 方 ( y ? - 1), 直 线 A B 下 方 ( x+ y ? 1), 直 线 B C 右 边 ( x ? 0 ). ?x ? 0 ? 所 以 图 中 阴 影 部 分 表 示 的 不 等 式 组 为 ? y ? ?1 ?x ? y ? 1 ?

2.已知平面区域如图所示, 若z=mx+y(m>0),在平面区 域内取得最大值的最优解有 7 无数多个,则m= ________
20

【解析】由题意得 3? 22 ? 7

5 = 5=- 7 , - m= k A C = 5 ?1 4 20 所 以 m= 7 20 .

3.不等式|x-1|+|y-1|≤2 表示的平面区域的面积为

8

.

?x≥1 ? 【解析】 |x-1|+|y-1|≤2 可化为?y≥1 ? ?x+y≤4 ?x≤1 ? 或?y≥1 ? ?-x+y≤2 ?x≤1 ? 或?y≤1 ? ?x+y≥0

?x≥1 ? 或?y≤1 ? ?x-y≤2

其平面区域如图:

1 所以面积 S=2×4×4=8.

?y ? 0 ? 4.若 A 为 不 等 式 组 ? x ? 0 表示的平 ?y ? x ? 2 ? 面 区 域 , 则 当 a从 - 2 连 续 变 化 到1 时 , 动 直 线 x+ y= a 扫 过 A中 的 那 部 分 区 域 的面积为多少?

【解析】作出可行域(如图). A是一个边长为2的直角三角形PON, 其面积为2,P(0,2).

?y ? x ? 2 1 3 解? , 得 交 点 M (- , ). 2 2 ?x ? y ? 1 所 以 三 角 形 M P Q的 面 积 为 1 2 ? 1 2 ? 1= 1 4 ,

则 动 直 线 x+ y= a 扫 过 A中 的 那 部 分 区 域 的 面 积 为 2- 1 4 = 7 4 .

本节内容考查数形结合的数学思想,主要 以三种方式进行: 一是直接给出线性约束条件和线性目标函 数,求区域的面积和线性目标函数在区域内的 最值; 二是要求按给出的二元一次不等式组和画 出的几个图象,判断哪一个是正确的,或要求 按给出图象写出所表示的二元一次不等式组; 三是利用线性规划知识解决实际问题.

1.二元一次不等式(组)表示的区域 的判定方法 (1)函数y=kx+b表示的直线将平面 分成上下两部分,则 不等式 y>kx+b 表示区域 表示直线y=kx+b上方的半平面(不包括边界)

y≥kx+b 表示直线y=kx+b上方的半平面(包括边界) y≤kx+b 表示直线y=kx+b下方的半平面(包括边界)

(2)方程x=a表示的直线将平面分成 左右两部分,则 不等式 表示区域 x≥a 表示直线x=a右边的半平面(包括边界) x<a 表示直线x=a左边的半平面(不包括边界) x≥0 表示y轴右边的半平面(包括边界) x<0 表示y轴左边的半平面(不包括边界) (对于y=a的情形参照上表)

(3)方程Ax+By+C=0(B≠0)表示的直线 将平面分成上下两部分,则

不等式

表示区域 B>0 B<0

Ax+By+ 表示直线上方的半平 表示直线下方的半平 C>0 面区域(不包括边界) 面区域(不包括边界) Ax+By+ 表示直线下方的半平 表示直线上方的半平 C≤0 面区域(包括边界) 面区域(包括边界) (4)特殊点判别法:将原点(0,0)代入二元 一次不等式(组),若成立,则表示包含原点 的区域;若不成立,则表示另外的区域.

2.解线性规划应用问题的一般步骤: (1)设变量,分析题意,写出约束条件和 目标函数; (2)作出相应的图象,找出可行域(注意 边界),求出交点坐标; (3)作出直线l0:ax+by=0; (4)找出最优解,确定直线l0的平移方向, 依可行域判断取得最优解的点; (5)求出目标函数的最大值、最小值.

3.运用线性规划解题时需注意的几点: (1)正确画出可行域,交点一定要求准; (2)明确目标函数的几何意义,即要明白 做什么事; (3)一般情况下,最优解在可行域的顶点 (有些实际问题可能在附近的整点)或边界取 得,要注意边界的虚实.


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