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江西省南昌二中2015届高三上学期第一次考试数学(理)试题 Word版含答案


南昌二中 2015 届高三上学期第一次考试数学(理)试题 一、选择题:本大题共 10 个小题;每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合 A

? x y ? 2x

?

?,集合 B ? ?x y ? x ?,则 A ? B ?
B. ?1,??

? C. ?0,?? ? ) B. y ? sin x, x ? R D. y ? ( ) x , x ? R

(

) D. ?? ?,?? ?

A. ? 0, ?? ? A. y ? ? x , x ? R C. y ? x
1 ? 3

2.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 (
3

,x?R

3.已知正角 ? 的终边上一点的坐标为( sin A.

5? 6

B.

2? 3

2? 2? ) ,则角 ? 的最小值为( ) , cos 3 3 5? 11? C. D. 3 6

1 2

4.命题“所有能被 5 整除的数都是偶数”的否定形式是( ) A.所有不能被 5 整除的数都是偶数 B.所有能被 5 整除的数都不是偶数 C.存在一个不能被 5 整除的数都是偶数 D.存在一个能被 5 整除的数不是偶数

?( 1 ) x ? 7, x ? 0 ? 5.设函数 f ( x) ? ? 2 ,若 f (a ) ? 1 ,则实数 a 的取值范围是 ( ) ? ? x, x ? 0 A. (??, ?3) B. (1, ??) C. (?3,1) D. (??, ?3) (1, ??) ? 5 , 则 sin 2 x 的值等于 ( ) 6.已知 sin( x ? ) ? ? 4 13 120 120 119 119 A. B. C. ? D. ? 169 169 169 169

1 1 2 cos 2 ( x ? ) ? 1 cos x 2 2 ? 1 的对称中心的 8.已知函数 y ? 关于原点对称,则函数 f ( x) ? x ?1 x
坐标为( ) A. (?1,1) B. (1,1) C. (1,?1)
'

D. (?1,?1)
'

9.定义在 R 上的可导函数 f ( x) ,当 x ? (1,??) 时, ( x ? 1) ? f ( x) ? f ( x)( x ? 1) ? 0 恒成 立,若 a ? f (2) , b ?

1 f (3) , c ? 2

1 2 ?1
1

f ( 2 ) ,则 a, b, c 的大小关系是(

)

A. c ? a ? b

B. a ? b ? c

C. b ? a ? c

D. a ? c ? b
x

10.设函数 f ( x) ? log 4 x ? ( ) x , g ( x) ? log 1 x ? ? ? 的零点分别为 x 1、x 2 ,则( A. x1 x2 ? 1 B. 0 ? x1 x 2 ? 1 D. x 1 x 2 ? 2

1 4

?1? ?4? 4 C. 1 ? x1 x 2 ? 2

)

二、填空题:本大题共 5 个小题;每小题 5 分,共 25 分.

三、解答题:本大题共 6 个小题共 75 分.每题解答过程写在答题卡上. 16. ( 12 分 ) 已 知 命 题 P : 函 数 f ( x) 为 (0,??) 上 单 调 减 函 数 , 实 数 m 满 足 不 等 式 当 x ? [0, ] , 函数 m ? sin 2 x ? 2 sin x ? 1 ? a 。 若命题 P f (m ? 1) ? f (3 ? 2m) .命题 Q : 2 是命题 Q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围。

?

2

18. (12 分)已知函数 g ( x) ? ax 2 ? 2ax ? 1 ? b ( a ? 0 )在区间 [2 , 3] 上有最大值 4 和最 小值 1 .设 f ( x) ?

g ( x) . x
x x

(I)求 a 、 b 的值; (II)若不等式 f (2 ) ? k ? 2 ? 0 在 x ? [?1 , 1] 上有解,求实数 k 的取值范围.

19. (12 分)已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? ln x ( a ? R ) .
2

(I)当 a ? 3 时,求函数 f ( x) 在 ? , 2 ? 上的最大值和最小值; 2 (II)函数 f ( x) 既有极大值又有极小值,求实数 a 的取值范围.

?1 ?

? ?

20. (13 分)已知函数 f ( x) ? sin(

?
6

? x) cos(

?
3

? x) ? sin x cos x ?

1 4

(Ⅰ )求函数 f ( x) 的最小正周期和单调减区间; (II) 若 2 f ( ) ? ?

x 2

15 3? 5 ? ,且 x ? (? ,? ? ) ,求 sin( x ? ) 值. 4 2 4 12

已知函数 f ( x) ? 21. ( 14分 )

1 2x e ? ax ( a ? R , e 为自然对数的底数). 2 1 2x e ? x 2 ? x 在区间 (0,??) 上为增函数,求 4

(I)讨论函数 f ( x) 的 单 调 性 ; (II) 若 a ? 1 ,函数 g ( x) ? ( x ? m) f ( x) ? 整数 m 的最大值.

3

南昌二中 2014—2015 学年度上学期第一次考试 高三数学(理)参考答案

17. 【解析】 (1)将 x ? 0 , y ? 3 代入函数 y ? 2 cos(? x ? ? ) 得 cos ? ?

3 , 2

因为 0 ≤ ? ≤

? ? ?? ? ,所以 ? ? .由题知 T ? ? ? ? ? 2 , ? y ? 2 cos ? 2 x ? ? . 2 6 6? ?

sin x ? sin 2 x sin x(1 ? 2 cos x) ? ? tan x 1 ? cos x ? cos 2 x cos x ? 2 cos 2 x 1 ? 8 x ? ? 8 4 又 f ( x ? ) ? ,由(1)知 2 cos[2( ? ) ? ] ? 2 cos x ? ? cos x ? 2 12 5 2 12 6 5 5 ? 3 又 x ? (0, ? ) , ? x ? (0, ) ? tan x ? 2 4
(2)
2 18.【解析】 : (1) g ( x) ? a ( x ? 1) ? 1 ? b ? a ,因为 a ? 0 ,所以 g ( x) 在区间 [2 , 3] 上是

增函数,
4

故?

? g (2) ? 1 ?a ? 1 ,解得 ? . ? g (3) ? 4 ?b ? 0
1 1 ? 2 ,所以 f (2 x ) ? k ? 2 x ? 0 可化为 2 x ? x ? 2 ? k ? 2 x , x 2

(2)由已知可得 f ( x) ? x ?
2

1 1 ? 1 ? ?1 ? 化为 1 ? ? x ? ? 2 ? x ? k , 令t ? x , 则 k ? t 2 ? 2t ? 1 , 因 x ? [?1 , 1] , 故 t ? ? , 2? , 2 2 ?2 ? ?2 ?
记 h(t ) ? t 2 ? 2t ? 1 ,因为 t ? ?

?1 ? , 2 ,故 h(t ) max ? 1 , 所以 k 的取值范围是 (?? , 1] . ?2 ? ?

20. 【解析】:(Ⅰ ) 因为 f ( x) ? sin(

?
6

? x) cos(

?
3

? x) ? sin x cos x ?

1 4

1 3 1 3 1 1 ? ( cos x ? sin x)( cos x ? sin x) ? sin 2 x ? 2 2 2 2 2 4
? 1 3 1 1 1 ? cos 2 x 3 ? 3cos 2 x 1 1 cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? ? ? ? sin 2 x ? 4 4 2 4 8 8 2 4

5

?


2 ?? 1 ? cos ? 2 x ? ? (cos 2 x ? sin 2 x) ? 2 2 4? ?

? 函数 f ( x ) 的最小正周期为 T ? ?

f ( x) 的 减 区 间 满 足 2k? ? 2 x ?

?
4

? 2k? ? ?

, ?

减 区 间 为

x ? [k? ?

?
8

, k? ?

3? ],k ?Z 8

(II)由(1)知 f ( x) ? 因为 x ? (?

2 ? x 15 ? 15 得 cos( x ? ) ? ? cos(2 x ? ) , 2 f ( ) ? ? 2 4 2 4 4 4

3? 5? ? 5? ? 1 ,? ) ? ( x ? ) ? ( ? ,?? ) ? sin( x ? ) ? 2 4 4 4 4 4

? sin( x ?
?

?

12

) ? sin[( x ?

?

4

)?

?

6

] ? sin( x ?

?

4

) cos

?

6

? cos( x ?

?
4

) sin

?
6

1 3 15 1 ? ? ? ? 4 2 4 2

3 ? 15 8

6

把 e 2? ? 2? ? 3 代入上式可得 h(? ) ?

1 1 3 ,所以 h(? ) ? ? ? ,又因为 ? ? ( , 1 ) ( 1, ) , 2 2 2

又 m ? h( x) 恒成立 ,所以 m ? h(? ) , 又因为 m 为整数 , 所以 m ? 1 , 所以整数 m 的最大值为 1 .

7


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