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36、2006年全国高中数学联合竞赛江苏省预赛(含答案)


2006 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛

2012 年 6 月 27 日

2006 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一.选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.已知数列

?an ? 的通项公式 an ?
log3 x

? A? a1
2.函数

/>
2 ,则 ?an ? 的最大项是 n ? 4n ? 5 ? B ? a2 ? C ? a3
2





? D ? a4
( )

y ?3

的图象是

? A?
3.已知抛物线
2

? B?


?C ? ?C ? 4 个

? D? ? D? 6 个


y ? 2 px , O 是坐标原点, F 是焦点, P 是抛物线上的点,使得△ POF 是直角三角形,则这

样的点 P 共有(

? A? 0 个

? B? 2 个

4.设

f ? x ? 是定义在 R 上单调递减的奇函数.若 x1 ? x2 ? 0 , x2 ? x3 ? 0 , x3 ? x1 ? 0 ,则(

? A? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? 0 ? C ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? 0
5.过空间一定点 P 的直线中,与长方体

? B ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? 0 ? D ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ?


? A? 0 条
6.在△

? B? 1 条

ABCD ? A1B1C1D1 的 12 条棱所在直线成等角的直线共有(

?C ? 4 条

? D ? 无数多条

ABC 中, tan A ?
4 5 5

? A?
7.集合

3 10 1 , cos B ? .若△ ABC 的最长边为 1 ,则最短边的长为( 2 10 3 5 2 5 5 ? D? ? B? ?C ? 5 5 5



二.填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)

A ? ? x x ? 3n , n ? N ,0 ? n ? 10? , B ? ? y y ? 5m, m ? N ,0 ? m ? 6? ,则集合 A B 的所有


元素之和为 8.设 cos 2? 9.

?

? x ? 3x ? 的展开式中, x
2 3

2 3

,则 cos

4

? ? sin 4 ? 的值是
5

. .

的系数为

?y ? 0 ? 2 2 10.已知 ?3 x ? y ? 0 ,则 x ? y 的最大值是 ?x ? 3y ? 3 ? 0 ?
11 .等比数列



?an ? 的首项为 a1 ? 2020 ,公比 q ? ?
1

1 .设 f ? n ? 表示这个数列的前 n 项的积,则当 n ? 2
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2006 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛 时,

2012 年 6 月 27 日

f ? n ? 有最大值.
则对角线 AC1 的取值范围是 AB1 ? 4 ,AD1 ? 3 , .

12. 长方体 ABCD ? A 已知 1B 1C1 D 1 中,

三.解答题(本题满分 60 分,第 13 题、第 14 题各 12 分,第 15 题 16 分,第 16 题 20 分) 13.设集合

? ? ? 2a ? ? ? ? 1? .若 A B ? ? ,求实数 a 的取值范围. A ? ? x log 1 ? 3 ? x ? ? ?2? , B ? ? x ? x?a ? ? ? 2 ? ?

x2 y 2 , P24 为 24 个依逆时针顺序排列在椭圆上的点,其中 P ? ? 1 的右焦点为 F , P 1, P 2, 1 是椭圆的 9 4 ? ?P24 FP 右顶点,并且 ?PFP 1 2 ? ?P 2 FP 3 ? ?P 3 FP 4 ? 1 .若这 24 个点到右准线的距离的倒数和为 S ,
14.椭圆 求 S 的值.
2

2

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2006 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛 15.△ ABC 中,

2012 年 6 月 27 日

证明 ?BAC 是直角.

AB ? AC , AD 、 AE 分别是 BC 边上的高和中线,且 ?BAD ? ?EAC .

A

B

D

E

C

3

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2006 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛 16.设

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p 是质数,且 p 2 ? 71 的不同正因数的个数不超过 10 个.求 p .

4

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2006 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛

2012 年 6 月 27 日

2006 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷【参考答案】 1. B 2. A 3. B 4. B 5. C 6. D 11 7. 225 8. 9. 27 10. 9 11. 12 12. ? 4,5 ? 18 13.解: A ? ? x ?1 ? x ? 3? , B ? x ? x ? a ?? x ? 3a ? ? 0 .

?

?

当a

? 0 时, B ? ? x 0 ? a ? x ? 3a? ,由 A B ? ? 得 0 ? a ? 3 ;

当 a ? 0 时, B ? 当a

? 0 时, B ? x x 2 ? 0 ? ? ,与 A B ? ? 不符.

?

?x 3a ? x ? a ? 0? ,由 A

B ? ? 得 a ? ?1 ;

?

综上所说, a ?

? ?1,0? ? 0,3? .
? 3 , b ? 2 ,故 c ? 5 .所以 F

14.解:椭圆中, a

?

5, 0

? ,e ?

5 . 3
.即

设 FP i 与 x 轴正向的夹角为 ?i ,

di

为点

Pi

到右准线的距离.则

di ? e cos ?i ? 1? ?

a2 ?c c

1 c ? 2 ?e c o ? s i ? ?1 . di b
同理

A
. 所 以

1 di ?12

?

c c e cos ?i ?12 ? 1? ? 2 ? ? cos ?i ? 1? 2 ? b b

I B D E C

1 1 2c 5 . ? ? 2 ? di di ?12 b 2
从而

?d
i ?1

24

1
i

? 6 5 ,于是 S 2 ? 180 .

AB 中 点 I , 连 ID 、 IE . 则 IE 为 中 位 线 , 所 以 IE // AC , 且 ?IEA ? ? EAC. 而 ?BAD ? ? EAC , 所以 ?IEA ? ?BAD .…………① 在直角△ ADB 中, I 为斜边中点,所以 ID ? IA , 从而 ?BAD ? ?IDA .…………② 联合①、②得 A 、 I 、 D 、 E 四点共圆. 所以 ?BAD ? ?IEB ? ?C ,∴ ?B ? ?C ? 90? ,即 ?BAC ? 90? . 2 2 16.解:当 p ? 2 时, p ? 71 ? 75 ? 3 ? 5 ,有 ?1 ? 1?? 2 ? 1? ? 6 个正因数;
15 . 如 图 , 取

p ? 3 时, p 2 ? 71 ? 80 ? 24 ? 5 ,有 ? 4 ? 1??1 ? 1? ? 10 个正因数. 所以 p ? 2 、 p ? 3 满足条件.
当 当 其中

p ? 3 时, p 2 ? 71 ? ? p ? 1?? p ? 1? ? 72 .

p 为奇质数,所以 ? p ? 1? 与 ? p ? 1? 是相邻的两个偶数,从而必然有一个 2 的倍数和 4 个倍数,必然有一

个 3 的倍数,从而 设
2

? p ? 1?? p ? 1? 是 24 的倍数.
p 2 ? 71 的正因数个数 ? ? 3 ? 1??1 ? 1??1 ? 1? ? 10 ;
5 timegm@msn.com

p ? 71 ? 24 ? m ? 23 ? 3 ? m ,其中 m ? 4 .

若 m 中有不同于 2 、 3 的质因数,则

2006 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛 若 m 中含有质因数 3 ,则则 若 m 中仅有质因数 2 ,则

2012 年 6 月 27 日

p 2 ? 71 的正因数个数 ? ? 3 ? 1?? 2 ? 1? ? 10 ;

p 2 ? 71 的正因数个数 ? ? 5 ? 1??1 ? 1? ? 10 . 所以 p ? 3 不满足条件.综上所说,所求得的质数 p 是 2 或 3 .

6

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