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高中数学试题的编制


高中数学试题的编制
1.数学试题的编制要素 数学试题的编制过程,其实质就是安排考查内容和考查目标,设计考查方法,预测考查 的效果。 数学试题的编制是一门技术,又是一门艺术. 在高中数学试题的编制过程中,有许多因素需要考虑,其中,四个因素是必须考虑的: (1)明确的恰当立意; (2)适当的位置难度; (3)符合命题意向的适宜素材; (4)结构和谐、适合于学生的表达方式.

试题的立意是命题的开始,是决定试题价值的根本因素与关键所在.立意就是确立一道 题目要考查什么的一种意图.从整卷来讲, 立意主要表现出三大形式: (1)知识性立意; (2) 能力性立意;(3)发展性立意. 知识性立意,着重强调的是对知识掌握情况的考查,以知识的达成度为评价目标,对某 一位置的题目,所要考查的知识点有明确的规定,同时,整卷中特别强调知识点的覆盖率; 通常,在双向细目表一经制定后一般不容许作过多的改动,题型也相对固定. 能力性立意, 是以知识性立意为基础的, 但所强调的是以对能力的考查统帅对双基的考 查, 从整卷的设计到每道题目的设计都把试题的能力因素都放在重要的位置上加以审视, 当 然这不是说每道都要在能力上把学生加以区分开来, 而是说要清晰的知道每道试题对于数学 各种不同层次、 不同类型的能力――从识记到理解, 从掌握到灵活运用, 从模仿到创新等―― 的考查上所做的贡献, 在试卷设计时要有个整体性的知识目标与能力目标, 在试题的编制过 程中,细目表的制定与完成是一个从粗到细的、动态的、不断完善的过程. 发展性立意, 包含了知识立意与能力立意, 但同时又比知识立意与能力立意提升了一个 层次, 它强调的是考试不仅要考查学生的知识水平与能力水平, 还应能有效地评价学生的发 展状态、发展水平,还应具有促进学生发展的功能.如试题应当适当的反映时代内容,渗透 人文精神等等.因此,发展性立意应当成为中学数学命题新的指导思想. 试题的难度是试题编制过程中的一个重要控制指标.在试卷整体难度之下,设计一个从 前至后的适当的难度分布是非常重要的.命题时,命题者应以试题所在位置的预定难度为参 照进行命题,那么在编题时、审题时就不会出现大的反复,就会提高命题的效率.

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素材是命题的基础,不同类型、不同位置的题目通常需要不同的素材,只有收集、寻找 到了一定量的好的素材或可借鉴的素材之后,才有可能命制出适宜的试题.否则,无米之炊, 完全靠苦思冥想,就困难重重了. 适宜的表达是编制试题的一个细活,需要精益求精的功夫.试题表达得好,语言明白易 懂又科学,图形配置得漂亮,就有利于学生发挥水平,提高试题的效度. 在明白了命制试题的四个要素之后,就可以考虑试题的编制方法了.正如道路多多,任 你选择一样,数学试题的编制也各有各的方法,各有自己的风格与独特思想. 2.数学试题编制的基本工作 一般地,在高中数学试题的命制中,通常要做好如下几个方面的工作: (1)选题 选题就是选用某些现成的题目作为试题。 选题的原则是: 题目所设计的内容和形式具有 普遍的代表性,属于通性通法;题目的内容能代表数学知识的重点,具有代表性;题目的形 式新颖、完美;题目的素材具有普适性。 选题要有明确的指向,即所选择的题目,对于知识深度、广度的要求以及对解法所涉及 的数学思想方法等等的要求,都能服务于考查目的。同时,选题对于学生未来的学习具有鲜 明的导向性,为此,选题必须关注试题对学生数学学习的激励功能和改进功能。 (2)改题 改题就是以一道现成的题目为基础,将其改造成一个适用的试题。如,在开放题的改造 过程中,下面的方法经常使用: 弱化陈题的条件,使其结论多样化。隐去陈题的结论,使其指向多样化。在给定的条件 下,探求多种结论。结出结论,寻求使结论成立的充分条件。比较某些对象的异同点。利用 不同知识的联系与区别进行推广或类比。考虑原命题的逆命题。在实际情境中,寻求多种解 法与结论。 事实上,近年来,不少高考题就是对课本原题的变型、改造及综合,有的将课本上的题 目改造,直接考查数学概念,有的将题目的外在的设问形式加以改造,着重考查思维能力, 而未改变原来的思想意图,却减少了运算量,体现了试卷的整体设计思想。其实,教材丰富 的内涵是编拟高考数学试题的主要来源,如,将直线方程代入圆锥曲线方程,整理成一元二 次方程,再利用根的判别式、求根方式、韦达定理、两点间距离公式等可以编制出很多精彩 的试题。 (3)编题 也就是指,命题者根据命题要求编制新颖试题。这是命题的主要手段。

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多年来,我国中学数学命题领域积累了有很多种具体的编题技术和方法。对此,下面我 们结合高中数学的事例,进行分析。 ①利用推演法来编制试题 推演法是一种从一般性的真命题或一组条件出发, 通过逻辑推理的演绎方式来编制试题

的方法.如,从 a2+b2≥2ab 中,令

,就可以编制出下题:

设x

R+,那么 X+1/X 与 2 所具有的大小关系是:_____________ .

②利用变换来编制试题 变换条件和利用几何变换是编制试题的一种常用方法.变换条件的方法主要有两种:一 是将问题的条件与结论或它们其中的一部分互换, 二是采用等价变换的方法, 即是在保持原 有结构关系不变的情况下, 通过将试题中的某个条件用其等价的形式进行替换而编制新的试 题.几何变换是指旋转、翻折与平移.如,已知试题:“已知一次函数 y=ax-1 与一次函数 Y=X/2+b 的图象交于点(-1,1),则 ab=________ .”若我们将已知部分用其等价的形式来 表述就得到下题:

已知

是二元一次方程组

的解,则 ab=________ .

类似地有,“一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根”与“二次函数 y=ax2+ bx+c 与 x 轴有两个不同的交点”,等等也是等价的说法,可以利用它们编制某些试题. 此外,利用旋转可以构造出不少独特的图形,编出不少新颖的题目.先给定一个图形, 后将这个图形绕某点或某一直线旋转一定的度数, 或者有两个图形, 将其中一个旋转一定的 度数,以此为基础,就可以编制出一些试题来. ③利用类比与逆向思维的方法来编制试题 类比是一种思维模式, 是一种由某个事物具有某一性质而推想出另一与此相似的事物也 具有这同一性质的推理方法,是一条产生新思路的良好途径.用类比法来构造问题时,可在 其它条件保持不变的情况下, 将其中的一个元素用另一与此相似的元素来代换, 从而构造出 新的试题. 逆向思维是一种沿着相反方向进行思考的方法, 用逆向思维法编题即沿着原问题 的设计思路的相反思路进行思考而编制新的试题.用此两法,可产生许多新的试题. 用类似的方法还可以编造出许多其它的新题, 如根据初中数学教材中的一道正方形的渐 开线的题目, 用类比法, 采用“渐渐收缩”的思路, 将题目的形式适当改变后就可以编出试题:

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如图,△ABC 的周长为 a,A1、B1、C1 分别是△ABC 各边的中点,A2、B2、C2,分别 是△A1B1C1 各边的中点,…则△AnBnCn 的周长是( )

(A)a/2n(B)a/2n(C)a/n(D)a/4n ④由叠加法来编制试题 叠加就是将两个不同的对象组合在一起,用叠加法来 编制 试题就是将两个不同的数学对象(两个图形,两种操作,两个统计图或表格,两个命题等) 组合在一起,以此为基础,或稍作修改,或作进一步的添加、改变来编制试题.叠加法是一 种构造问题的常用思路. ⑤利用特定背景来编制试题 这里的特定背景可以是网格, 点阵或其它的背景. 有时还可以保持或部分地保持试题的 结构不变,而将问题的情景适当予以更换,也可以构造出一个新的试题. 对一些几何问题赋 予一定的情景,既给试题增添了生活气息,又可考查学生对数学模型的理解与把握.采用此 法亦可以编制出新的试题来. 此外,还可以利用利用折叠、剪切、拼摆等操作性活动,甚至可以利用有关的软件(如 几何画板、Z+Z 智能教育平台、flash 等画图软件)来编制试题。编制试题的方法还有很多, 如一般化、特殊化、简单化等手段也是编制试题的常用技巧。对此,我们将结合选择题、填 空题、解答题等各类具体的试题类型加以进一步的分析。

四、 高中数学试题的质量
高中数学试题的质量体现在试题的科学性、适切性、 有效性、针对性、 严谨性、 公平性、 ④ 新颖性、美感等各个方面 。 一般地, 数学试题的评价可以从定性和定量两个方面加以评价。 定量评价必须在考试结 束以后对考生的考试成绩进行统计分析, 才能获得试题的实际的质量效果的指标值, 通常使 用试题的难度、信度、效度和区分度,并结合试卷的信度和效度,作为试题的评价指标。 从定性角度看,数学试题必须具备科学性、适切性、有效性、针对性等基本要求,在此 基础上,力求结构严谨、形式优美清爽,体现公平性、层次分明、区分度高。 1.试题的科学性 没有科学性错误,是数学试题质量的最基本的要求。所谓试题的科学性,也就说,尸体 作为一个数学问题,合乎数学学科的规范,遵循数学的原理和规律,不违背常理,不存在逻 ⑤ 辑性错误。对此 ,给出了六条标准,即有关的概念必须是被定义的,有关的记号必须使被 阐明的,条件必须使充分的、不矛盾的,条件必须是独立的、最少的,叙述必须是清楚的, 要求必须是可行的。对此,我们在前文已经有所涉及,这里从略。
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2.试题的适切性 也就是说,试题所涉及的考试内容和考查要求,要适合于有关的教学大纲(课程标准)

以及考试说明,不能有“超纲”的现象。如,计算 出现了底数为负数的分数幂运算,超出了教学大纲的要求。 3.试题的有效性

,试题中

也就是,试题必须有自己明确有效的考试目的,要发挥试题个体的考查功能,既与试卷 中的其他试题相辅相承,又是试卷中的其他试题所不能取代的。如 1999 年全国高考数学试卷(理)第 22 题: 下图为一台冷轧机的示意图;冷轧机由若干对轧辊组成。带钢从一端输人,经过各对轧 辊逐步减薄后输出。

(I)输入带钢的厚度为 a,输出带钢的厚度为 β,若每对轧辊的减薄率不超过 r0,问冷 轧机至少需要安装多少对轧辊? (一对辊减薄率=输入该对的带钢厚度/输入该对的带钢厚度-从该对输出的带钢厚 度) (Ⅱ)已知一台冷轧机共有 4 对减薄率为 20%的轧辊,所有轧辊周长均为 1600mm。若 第 k 对轧辊有缺陷,每滚动一周在带钢上压出一个疵点,在冷轧机输出的带钢上,疵点的间 距为 LK。为了便于检修,请计算 L1、L2、L3 并填入下表(轧钢过程中,带钢宽度不变且不 考虑损耗) 轧辊序号 K 疵点间距 Lk(单位:mm) 这道试题, 第一问是在教科书上多次出现题型的基础上改编而成, 需要考生具有一定的 应变和转化能力, 把"输入带钢厚度为 α, 输出带钢厚度为 β, 若每对轧辊的减薄率不超过 r0, 问冷轧机至少需要安装多少对轧辊?"理解为"输入带钢厚度为 α,要使输出带钢厚度不超过 β,问冷轧机至少需要安装多少对减薄率为 r0 的轧辊?",问题便不难解决。一些考生恰恰缺 乏这种转化能力,简单地套题型,理不清头绪。 1 2 3 4

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第二问需要考生具有较强的阅读能力, 审清题意, 从分析事物的运动变化中摒弃掉干扰 因素,抓住内在联系,即挖掘事物在运动过程中的不变量和各数量间的关系,列出方程。大 多数考生反映,读不懂题意,理不清思路,难以解答。其实,根据题意,考生只要抓住无论 哪一对轧辊上有缺陷, 其出口处疵点间带钢体积与其后任一对轧辊出口处疵点间带钢体积都 相等这一关键点,既可以从前往后,对第一、二、三对轧辊逐个假设,各个击破;也可以从 后向前,对第三、二、一对轧辊逐个假设,逆推依次求解。对这道应用题不少考生不能顺利 作答, 反映出考生的阅读能力和运用所学数学知识解决实际问题能力的欠缺。 不少考生对应 用题存有恐惧感,不能从中理清各数量间关系,建立数学模型,列出方程或不等式。 从考后的实际统计数据来,这道题的得分率仅达到 0.8%,达到高考有史以来的最低点, 其适切性和有效性是不言而喻。 4. 试题的针对性 也就是, 试题要针对高中数学中的重点内容和核心内容, 针对学生数学学习中的薄弱环 节,同时,试题对学生的学习具有良好的导向作用。 此外,衡量试题的质量还要考虑试题的严谨性、新颖性和公平性。所谓严谨性,就是指 试题从题设到设问,必须严密无漏洞,不产生歧义,不会引起学生的猜测或误解,确保试题 本身无懈可击。所谓新颖性,是指试题的题材新颖、设问巧妙。所谓试题的公平性,则是指 试题对广大考生都是公平的, 不会出现因为地域的差别或个体的差别而导致试题的难易程度 出现严重差异。

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