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2015年56届IMO试题


2015 年 7 月 10 日,星期五
第 1 题. 我们称平面上一个有限点集 S 是平衡的,如果对任意两个不同的点 A,B,都存在 S 中一个点 C 满足 AC = BC,我们称 S 是无中心的,如果对 S 中任意三个不同的点 A,B,C,都 不存在 S 中的一点 P,满足 PA = PB = PC. (a)证明:对每个整数 n ≥ 3,均存在一个由 n 个点构成的平衡点集. (b)确定所有的整数 n ≥ 3,使得存在一个由 n 个点构成的平衡且无中心的点集. 第 2 题. 确定所有三元正整数组(a,b,c),使得 ab - c, bc - a, ca - b 中的每个数都是 2 的方幂.

(2 的方幂是指形如 2 的整数,其中 n 是一个非负整数.)

n

第 3 题. 在锐角三角形 ABC 中,AB > AC.设 r 是它的外接圆,H 是它的垂心,F 是由顶点 A 处所引高的垂足,M 是边 BC 的终点,Q 是 r 上一点,使得∠HQA = 90°,K 是 r 上一点,使 得∠HKQ = 90°,已知点 A,B,C,K,Q 互不相同,且按此顺序排列在 r 上. 证明:三角形 KQH 的外接圆和三角形 FKM 的外接圆相切.

2015 年 7 月 11 日,星期六
第 4 题. 在三角形 ABC 中,Ω 是其外接圆,O 是其外心.以 A 为圆心的一个圆 r 与线段 BC 交 于两点 D 和 E,使得 B,D,E,C 互不相同,并且按此顺序排列在直线 BC 上.设 F 和 G 是 r 和Ω 的两个点的交点,设 L 是三角形 CGE 的外接圆和线段 CA 的另一个交点. 假设直线 FK 和 GL 互不相同,且交于点 X.证明:X 在直线 AO 上. 第 5 题. 设 R 是全体实数的集合.求所有的函数 f:R→R.满足对任意实数 x,y,都有

f(x + f(x + y)) + f(xy)=x + f(x + y) + yf(x)
第 6 题. 整数序列 a 1 , a 2 ,…满足下列条件: (i)对每个整数 j ≥ 1,有 1 ≤ a j ≤ 2015; (II)对任意整数 1 ≤ k < ξ,有 k + a k ≠ ξ + a ξ 证明:存在两个正整数 b 和 N,使得 对所有满足 n > m ≥ N 的整数均成立.

jnm ?1

(a ?

n

j

? b) ≤ 10072


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