当前位置:首页 >> 数学 >>

《随堂优化训练》2012年高中数学 第三章 3.4 3.4.3 基本不等式的实际应用配套课件 新人教A版必修5


3.4.3

基本不等式的实际应用

1.已知 x、y 都是正数, x+y (1)如果积 xy 是定值 P,那么当 x=y 时,和_______有最小

2 P 值_______;
S2 xy (2)如果和x+y是定值S,那么当x=y时,积___有最小值_____. 4

6 2.已知 a>

0,b>0,若 ab=9,则 a+b 有最小值为____; 4 若 a+b=4,则 ab 有最大值为____.

1 2 3.已知函数 y=x+ x,当 x>0 时,ymin=____,当 x<0 时,

ymax=_____. -2 4.建造一个容积为 8 m3,深为 2 m 的长方体无盖水池,如 果池底和池壁的造价每平方米分别为 180 元和 80 元,那么水池 2 000 的最低总造价为______. 5.一批救灾物资随 26 辆汽车从某市以 v 公里/小时的速度 直达灾区,已知两地公路长 400 公里,为了安全起见,两辆汽 车的间距不得小于 ? v ?2 公里,那么这批物资全部运到灾区,至 ? ? ?20? 10 少需____小时.

重难点

基本不等式的应用

(1)不等式的应用问题大都与函数相关联,在求最值时,基

本不等式是经常使用的工具,但若对自变量有限制,一定要注
意等号能否取得,若取不到,则必须利用函数的单调性去求函 数的最值. (2)解答不等式应用题的一般步骤: ①阅读并理解材料; ②建立数学模型; ③讨论不等关系; ④作出结论.

基本不等式在(函数)最值中的应用

例 1:(1)求函数 f(x)=

1 +x(x>3)的最小值; x-3

x2-3x+1 (2)求函数 f(x)= (x>3)的最小值; x-3

9 1 (3)已知 x>0,y>0,且 x+ y=1,求 x+y 的最小值.

思维突破:(1)“添项”,可通过减 3 再加 3,利用基本不
a 等式后可出现定值.(2)“拆项”,把函数式变为 y=M+M的形
?9 1? 9 1 式. (3)“整体代换”, 1 用 x+ y代替, x+y=(x+y)?x+y ?, 将 则 ? ?

再化简,用基本不等式求解.

解:(1)∵x>3,∴x-3>0, ∴f(x)= ≥2 1 +(x-3)+3 x-3 1 · ?x-3?+3=5, x-3

当且仅当

1 =x-3,即 x=4 时取等号, x-3

∴f(x)的最小值是 5. (2)令 x-3=t,则 x=t+3 且 t>0, ?t+3?2-3?t+3?+1 1 ∴f(x)= =t+ t +3 t ≥2 1 t·+3=5, t

1 当且仅当 t= t ,即 t=1 时取等号,此时 x=4, ∴当 x=4 时,f(x)有最小值为 5.

9 1 (3)∵ x+ y=1,
?9 1? 9y x ∴x+y=(x+y)?x+ y?=10+ x +y ? ?

≥10+2

9y x x ·=16, y

9y x 9 1 当且仅当 x =y且x + y =1, 即 x=12,y=4 时取等号, ∴当 x=12,y=4 时,x+y 有最小值为 16.

当式子不具备“定值”条件时,常通过

cx2+dx+f “添项”达到目的;形如 y= (a≠0,c≠0)的函数,一 ax+b p 般可通过配凑或变量替换等价变形化为 y=t+ t (p 为常数)型函
数,要注意 t 的取值范围;当已知条件与“1”有关,常利用“1” 进行整体代换,转化为能使积为定值的形式.

4 1-1.(1)设 x>-1,求函数 y=x+ +6 的最小值; x+1

1 16 (2)已知 x、y 为正实数,且x + y =1,求 x+y 的最小值.
解:(1)∵x>-1,∴x+1>0. 4 4 ∴y=x+ +6=x+1+ +5 x+1 x+1

≥2

4 ?x+1?· +5=9, x+1

4 当且仅当 x+1= ,即 x=1 时,取等号. x+1 ∴当 x=1 时,函数 y 的最小值是 9. 1 16 (2)∵ x+ y =1,
?1 16? 16x y ? ∴x+y=(x+y)·x+ y ?=17+ y +x ? ?

≥17+2

16x y y ·=25. x

16x y 1 16 当且仅当 y =x且 x+ y =1 时,等号成立. ∴x=5,y=20 时,x+y 有最小值 25.

利用基本不等式进行优化设计(最大) 例 2:某村计划建造一个室内面积为 800 m2 的矩形蔬菜温
室.在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道, 沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时? 蔬菜的种植面积最大.最大种植面积是多少? 解:设矩形温室的左侧边长为 a m,后侧边长为 b m,则 ab =800. 蔬菜的种植面积

S=(a-4)(b-2)
=ab-4b-2a+8 =808-2(a+2b).

所以 S≤808-4 2ab=648(m2).

当 a=2b,即 a=40(m),b=20(m)时, S最大值=648(m2). 答:当矩形温室的左侧边长为 40 m,后侧边长为 20 m 时, 蔬菜的种植面积最大,最大种植面积为 648 m2.

2-1.某单位用 2 160 万元购得一块空地,计划在该地块上

建造一栋至少 10 层、每层 2 000 平方米的楼房.经测算,如果
将楼房建为 x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为 560+

48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,则

楼房应建为( B )
A.10 层 C.20 层 B.15 层

D.30 层
利用基本不等式进行优化设计(最小)

例 3:设计一幅宣传画,要求画面面积 4 840 cm2,画面的 上、下各留 8 cm 的空白,左右各留 5 cm 的空白.怎样确定画 面的高与宽的尺寸,能使宣传画所用纸张最小?

4 840 解:设高为 x cm,则宽为 x , 宣传画所用纸张的总面积为: ?4 840 ? ? y=(x+16)· x +10? ? ? =4
? 16×4 840+?10x+ x ?

840? ?+160
?

≥5 000+2 =6 760,

4 840×16 · 10x x

4 840×16 当且仅当 =10x, x 即 x=88 cm 时等号成立,此时宽为 55 cm.

3-1.出版社出版某一读物,一页上所印文字占去 150 cm2, 上、下边各留 1.5 cm 空白,左、右两侧各留 1 cm 空白,出版商 为降低成本,应选用怎样尺寸的纸张? 150 解:设印字部分的矩形宽为 x,则高为 x , 150 故纸张宽为 x+2,高为 x +3, ?150 ? 300 ? +3?=3x+ 其面积为:S=(x+2) x x +156 ? ? 300 ≥2 3x·x +156=216. 300 当 3x= x ,即 x=10 时,Smin=216, 答:应选用 12 cm×18 cm 的纸张.

例 4:某工厂有旧墙 14 m,现准备利用这面旧墙建造平面 图形为矩形,面积为 126 m2 的厂房,工程条件是: (1)建 1 m 新墙的费用为 a 元;
a (2)修 1 m 旧墙的费用是4元; a (3)拆去 1 m 旧墙,用所得的材料建 1 m 新墙的费用为2元.

经讨论有两种方案: (1)利用旧墙的一段 x 米(x<14)为矩形厂房的一面的边长; (2)矩形一面的边长 x≥14 米.

问如何利用旧墙,即 x 为多少时建墙费用最省? 错因剖析:实际问题中没有考虑“等号”是否成立,以至 出错. 思维突破:本题主要考查学生均值不等式的应用、分析问

题及解决问题的能力,本题的关键就是如何利用 14 m 旧墙,有
两种方案:①利用 14 m 旧墙的一部分作为矩形厂房的一边,剩 余的旧墙拆去,用所得的材料建新墙;②14 m 旧墙全部是矩形 厂房的一边,这时就不存在拆旧墙来建新墙的问题了.

解:设利用旧墙的矩形厂房的一面的边长为 x,则矩形的另
? 126? 126 一面边长为 x ,先估计 2?x+ x ?≥2 126>22 m,所以必须重 ? ?

建新墙才能满足要求. a (1)当 0<x<14,则修旧墙的费用为 x·元, 4 a ? 14-x?·, 剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为 ? 2
? ? ?

? ? 2×126 其余均为建新墙,费用为?2x+ a, -14?· x ? ?

故总费用为:
? 2×126 a a ? y=4x+(14-x)·+?2x+ a -14?· 2 ? x ? ?7 ? 252 =a?4x+ x -7? ? ? ?1 ? 36 =7a?4x+ x -1?(0<x<14), ? ?

1 36 ∵4x+ x ≥2

x 36 4· =6, x

1 36 当且仅当4x= x ,即 x=12 时取等号,

此时 y≥35a, 即若 0<x<14,当 x=12 时总费用最少为 35a. a 7 (2)若 x≥14 时,则修旧墙的费用为 14·=2a 元,建新墙费 4
? ? 2×126 用为?2x+ a, -14?· x ? ?

故总费用为:
? ? 2×126 7 y=2a+?2x+ a -14?· x ? ? ? ? 126? 21? =a?2?x+ x ?· ?(x≥14), ? 2? ? ?

126 因此只需求 x+ x 的最小值就可以了, 126 显然 f(x)=x+ x 在区间(0, 126]上单调递减; 在区间[ 126,+∞)上单调递增. 126 故当 x≥14 时,f(x)=x+ x 单调递增, 126 最小值为 f(14)=14+ 14 =14+9=23, 此时
? 21? 71 ?46- ?= a=35.5a. y≥a 2? 2 ?

综合(1)(2)两种方案,以第一种方案总费用最低,即以 12 米旧墙改建,剩下 2 米旧墙拆得的材料建新墙,其余的建新墙.

此题是生活实际中常碰到的,有实际意义, 综合分析能力很强,尤其(2)x≥14,往往容易疏忽,不加以考虑, 仅以(1)分析,利用部分旧墙,拆除部分旧墙,用拆得的材料建 新墙,其余的建新墙,虽然结果正确,但没有与(2)作比较,不 能算是一种完整的解法.


相关文章:
【随堂优化训练】必修5课后作业:第3章 不等式
随堂优化训练】必修5课后作业:第3章 不等式_数学_高中教育_教育专区。第三章...围成的三角形面积最小,求该直线的 方程. 3.4.3 基本不等式的实际应用 1 ...
必修5第三章《基本不等式》
4页 1下载券 高中数学必修5第三章课件... 13页...会应用此不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单...a?b 3)理解基本不等式 ab ? 的几何意义 2 探究...
【随堂优化训练】2014年数学(人教A版)必修5课后作业:第3章 不等式
随堂优化训练】2014年数学(人教A版)必修5课后作业:第3章 不等式_高中教育_...围成的三角形面积最小,求该直线的 方程. 3.4.3 基本不等式的实际应用 1 ...
高中数学 (3.4.2 基本不等式 的应用(一)示范教案 新人教A版必修5
高中数学 (3.4.2 基本不等式 的应用(一)示范教案 新人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。3.4.2 基本不等式 ab ? a?b 的应用(一) 2 从容说课 通过...
基本不等式及应用
基本不等式及应用_数学_高中教育_教育专区。基本不等式及应用一、考纲要求: 1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 3.了解...
四川省成都市石室中学高中数学 3.4 基本不等式3教案 新人教A版必修5
标准实验教科书数学》人教 A 版必修 5 第三章《不等式》中 3.4基本不等式》的第一课时,主要内容是探索基本不等式的生成和证明过程及其简 单的应用. ...
3-4《不等式的实际应用》(含答案)
3-4《不等式的实际应用》(含答案)_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修五 ...数学:3.4《不等式的实际... 10页 免费 数学修5配套课件:3.4.3... 暂无...
高中数学必修五第三章:不等式专题
高中数学必修五第三章:不等式专题_数学_高中教育_教育...___. 4 -4- 不等式专题 强化训练: 1.已知集合...b? 变形应用: ab ? ? ? ? ? a ? 0, b ?...
3.4基本不等式教学设计
3.4基本不等式教学设计_数学_高中教育_教育专区。基本...的证明过程及应用。 2 三、 [教学难点] 1、基本...结合现代信息技术多媒体课件、几何画板作 为教学辅助...
更多相关标签:
随堂优化训练 | 小学随堂优化作业 | 第三章不等式总结教案 | 不等式约束最优化问题 | 四边形不等式优化 | 四边形不等式优化dp | 不等式约束的优化问题 | 广义不等式 凸优化 |