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《三维设计》2014届高考数学理科一轮复习教师备选作业第二章 第九节 函数与方程


第二章 第九节 函数与方程
一、选择题 1.“a<-2”是“函数 f(x)=ax+3 在区间[-1,2]上存在零点 x0”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) )

1 2. 已知 x0 是函数 f(x)= +ln x 的一个零点, x1∈(1, 0), 2∈(x0, 若 x x +∞), 则( 1-x A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)>0,f(x2)>0 C.f(x1)>0,f(x2)<0
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D.f(x1)<0,f(x2)>0 3.若函数 f(x)=x2+mx+1 有两个不同的零点,则实数 m 的取值范围是 A.(-1,1) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(-2,2) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) ) ( )

4.函数 f(x)= x-cos x 在[0,+∞)内( A.没有零点 C.有且仅有两个零点

B.有且仅有一个零点 D.有无穷多个零点

5.函数 y=f(x)在区间(-2,2)上的图象是连续的,且方程 f(x)=0 在(-2,2)上仅有一个实 根 0,则 f(-1)· f(1)的值( A.大于 0 C.等于 0 ) B.小于 0 D.无法确定

6.已知定义在 R 上的函数 f(x)=(x2-3x+2)g(x)+3x-4,其中函数 y=g(x)的图象是一 条连续曲线,则方程 f(x)=0 在下面哪个范围内必有实数根( A.(0,1) C.(2,3) 二、填空题
? x ?2 -1, 7.已知函数 f(x)=? 2 ?-x -2x ?

)

B.(1,2) D.(3,4)

x>0? x≤0.

若函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点,则实数 m 的取值范围是________. 1 8.若 x0 是方程( )x=x 3 的解,则 x0 属于区间________. 2 2 1 2 1 1 1 ①( ,1),②( , );③( , );④(0, ). 3 2 3 3 2 3 9.已知函数 f(x)=ex-2x+a 有零点,则 a 的取值范围是________.
1

三、解答题 10.判断方程 3x-x2=0 的负实数根的个数,并说明理由.

11.二次函数 f(x)=x2-16x+q+3. 若函数在区间[-1,1]上存在零点,求实数 q 的取值范围;

e2 12.已知函数 f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ (x>0). x (1)若 g(x)=m 有零点,求 m 的取值范围; (2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根.

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详解答案
一、选择题 1. 解析: a<-2 时, 当 函数 f(x)=ax+3 在区间[-1,2]上单调递减, 此时 f(-1)=3-a>0, f(2)=3+2a<0,所以函数 f(x)=ax+3 在区间[-1,2]上存在零点 x0;当函数 f(x)=ax+3 在区 间[-1,2]上存在零点 x0 时, 有 f(-1)f(2)<0,即 2a2-3a-9>0, 3 解得 a>3 或 a<- . 2 答案:A 2.解析:∵f (x0)=0,f(x)= ∴f(x1)<f(x0)<f(x2). 1 +lnx 在定义域内为增函数, 1-x

即 f(x1)<0<f(x2). 答案:D 3.解析:由题意知,一元二次方程 x2+mx+1=0 有两不等实根,可得 Δ>0,即 m2- 4>0,解得 m>2 或 m<-2. 答案:C 4.解析:在同一个坐标系中作出 y= x与 y=cos x 的图象如图, 由图象可得函数 f(x)= x-cos x 在[0,+∞)上只有一个零点. 答案:B 5.解析:由题意,知 f(x)在(-1,1)上有零点 0,该零点可能是变号零点,也可能是不变 号零点,∴f(-1)· f(1)符号不定,如 f(x)=x2,f(x)=x. 答案:D 6.解析:f(x)=(x2-3x+2)g(x)+3x-4 =(x-1)(x-2)g(x)+3x-4, 则 f(1)=-1<0,f(2)=2>0. 答案:B 二、填空题 7. 解析:画出图象,令 g(x)=f(x)-m=0,即 f(x)与 y=m 的图象 的交点有 3 个,∴0<m<1. 答案:(0,1) 1 1 1 1 1 8.解析:令 f(x)=( )x-x 3 ,则 f( )>0,f( )=( ) 2 -( ) 3 <0.∴f(x) 2 3 2 2 2 1 1 在( , )内存在零点. 3 2 答案:③ 9.解析:由原函数有零点,可将问题转化为方程 ex-2x+a=0 有解问题,即方程 a= 2x-ex 有解. 令函数 g(x)=2x-ex, g′(x)=2-ex, g′(x)=0, x=ln2, 则 令 得 所以 g(x)在(-∞, ln2) 上是增函数,在(ln2,+∞)上是减函数,所以 g(x)的最大值为:g(ln2)=2ln2-2.因此,a 的 取值范围就是函数 g(x)的值域,所以,a∈(-∞,2ln2-2]. 答案:(-∞,2ln2-2] 三、解答题 10.解:设 f(x)=3x-x2, 2 ∵f(-1)=- <0,f(0)=1>0, 3 又∵函数 f(x)的图象在[-1,0]上是连续不断的,
1 1 1

∴函数 f(x)在(-1,0)内有零点. 又∵在(-∞,0)上,函数 y=3x 递增,y=x2 递减, ∴f(x)在(-∞,0)上是单调递增的. ∴f(x)在(-1,0)内只有一个零点. 因此方程 3x-x2=0 只有一个负实数根. 11.解:∵函数 f(x)=x2-16x+q+3 的对称轴是 x=8, ∴f(x)在区间[-1,1]上是减函数. ∵函数在区间[-1,1]上存在零点,则必有
?f?1?≤0? ?1-16+q+3≤0? ? ? ? ,即? , ? ? ?f?-1?≥0 ?1+16+q+3≥0

∴-20≤q≤12. ∴实数 q 的取值范围为[-20,12]
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e2 12.解:(1)法一:∵g(x)=x+ ≥2 e2=2e, x 等号成立的条件是 x=e, 故 g(x)的值域是[2e,+∞), 因而只需 m≥2e,则 g(x)=m 就有零点. e2 法二:作出 g(x)=x+ (x>0)的大致图象如图: x 可知若使 g(x)=m 有零点, 则只需 m≥2e. 法三:由 g(x)=m 得 x2-mx+e2=0. 此方程有大于零的根,

?m>0? ? ? ?m>0? 故? 2 等价于? , ? ?m≥2e或m≤-2e ?Δ=m2-4e2≥0 ?
故 m≥2e. (2)若 g(x)-f(x)=0 有两个相异的实根,即 g(x)与 f(x)的图象有两个 e2 不同的交点,作出 g(x)=x+ (x>0)的大致图象. x ∵f(x)=-x2+2ex+m-1 =-(x-e)2+m-1+e2.
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其图象的对称轴为 x=e,开口向下,最大值为 m-1+e2. 故当 m-1+e2>2e,

即 m>-e2+2e+1 时, g(x)与 f(x)有两个交点, 即 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根. ∴m 的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).


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