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2.3.1双曲线的标准方程


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1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
动 画

2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.

Y

M ? x, y ?

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>
F1 ?? c , 0 ?

O

F2? c, 0 ? X

2. 引入问题: 平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢?

双曲线 的标准方程是什么形式?

定义:
平面内与两个定点F1,F2的距离的差 的绝对值
等于常数 2a (小于︱F1F2︱) 的点的轨迹叫做双曲线.
动 画

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① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.

M

注意

1、 2a < |F1F2 |

双曲线

F1

o

F2

2 、2a= |F1F2 |
以F1、F2为端点的两条射线

3、2a> |F1F2 | 无轨迹

1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴, 线段F1F2的中点为原点建立直角
坐标系 设P(x , y),双曲线的焦 2.设点.
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y
M

距为2c(c>0),F1(-c,0),F2(c,0)

F1

o

F2

x

常数=2a
3.列式. |PF1

- PF2|= 2a

即 | (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 | = 2a
4.化简.

移项两边平方后整理得:

cx ? a ? ?a
2

? x ? c?

2

?y

2

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两边再平方后整理得: 2 2 2 2 2 2 2 2 ?c ? a ? x ? a y ? a ?c ? a ? 由双曲线定义知:

2c ? 2a 即:c ? a ?c 2 ? a 2 ? 0
设 c ? a ? b ? b ? 0 ?代入上式整理得:
2 2 2

x y ? 2 ? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? 2 a b

2

2

双曲线的标准方程
y

y
M

M F2 x

F1
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O

F2

x

O

F1

x y ? 2 ?1 2 a b
2 2 2

2

2

y x ? 2 ?1 2 a b

2

2

a ? b ? c (a ? 0, b ? 0)
问题:如何判断双曲线的焦点在哪个轴上?

定义 图象

MF1 ? MF2 ? 2a,0 ? 2a ? F1 F2 ?

?

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方程

x y ? 2 ?1 2 a b
F ? ? c, 0 ?

2

2

y x ? 2 ?1 2 a b
F ? 0, ?c ?

2

2

焦点 a.b.c的 关系

c ? a ?b
2 2

2

谁正谁是 a

[练习]写出双曲线的标准方程
1、已知a=3, b=4焦点在x轴上,双曲线的 2 标准方程为 。 2 x ? y ?1 9 16
2、已知a=3, b=4焦点在y轴上,双曲线 2 的标准方程为 。 2

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y

9

?

x

16

?1

[练习] 判断下列各双曲线方程焦点所 在的坐标轴;求a、b、c各为多少?

x ?y (1)
2
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2

25
2

16
2

?1

y ?x ( 2)
25
2 2

2

2

16

?1

(3)4 x ? 9 y ? 36

(4)4 x ? 9 y ? ?36

x

2

9

y ?

2

4

?1

y ?x ( 4)
4

2

2

9

?1

例1 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上 一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于8,求双曲线 的标准方程. 若双曲线上有一点P, 且|PF1|=10,则 2或18 |PF2|=_________

解:根据双曲线的焦点在 x 轴上,设它的标准方程为:
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x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 2 a b ∵ 2a = 8, c=5



a = 4, c = 5
b2 = 52-42 =9
2 2

x y ? ?1 所以所求双曲线的标准方程为: 16 9

例2

求适合下列条件的双曲线的标准方程:

(1)a=3,b=4,焦点在x轴上; (2)a= 2 5 ,经过点A(2,5),焦点在y轴上。
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解 (1)依题意a=3,b=4,焦点在x轴上,所以双曲线 x2 y2 方程为 9 ? 16 ? 1

(2)因为焦点在y轴上,所以双曲线方程可设为

y x ? 2 ?1 2 a b
因为a=
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2

2

2 5

且点A(2,5)在双曲线上,

所以

?a ? 2 5 ? ? 25 4 ? 2 ? 2 ?1 b ?a

解得:

b

2

=16

所以,所求双曲线的方程为:

y x ? ?1 20 16

2

2

x2 y2 练习1:如果方程 2 ? m ? m ? 1 ? 1 表示双曲线,

求m的取值范围.

分析: 由 (2 ? m )( m ? 1) ? 0
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得 ?1 ? m ? 2

变式:
x2 y2 ? ? 1 表示双曲线时,则m的取值 方程 2 ? m m ?1

m ? ?1 或 m ? 2 范围是_________________.

练习2:证明椭圆

x2 y 2 ? ?1 25 9

与双曲线

x2-15y2=15的焦点相同.
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变式: 上题的椭圆与双曲线的一个交点为P, 焦点为F1,F2,求|PF1|.
分析:
? |PF1|+|PF2|=10, ? ?| PF1 | ? | PF2 |? ?2 15 .

双曲线与椭圆之间的区别与联系: 椭 定义 圆 双曲线
||MF1|-|MF2||=2a
2 x2 - y = 1 2 2 a b y2 x2 = 1 2 a b2

|MF1|+|MF2|=2a
2 x2 + y = 1 2 2 a b

方程
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y2 x2 =1 2 + 2 a b 焦点
F(±c,0)

F(±c,0)

F(0,±c)

F(0,±c)
a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

a.b.c的 关系 a>b>0,a2=b2+c2


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