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2016届山东省泰安二中高三上学期第三次(12月)月考数学理试题 word版


泰安二中 2016 届高三上学期数学(理)第三次月考试题

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1、已知全集 U ? R , A ? ?y | y ? 2 x ? 1?, B ? ?x | ln x ? 0? ,则 A ? B ? ( A. ? B. { x | )

1 ? x ? 1} 2

C. {x | x ? 1}

D. {x | 0 ? x ? 1}

2、如图,若 Ω 是长方体 ABCD-A1B1C1D1 被平面 EFGH 截去几何体 EFGHB1C1 后得到的几何体, 其中 E 为线段 A1B1 上异于 B1 的点,F 为线段 BB1 上异于 B1 的点,且 EH∥A1D1,则下列结论中 不正确的是( A.EH∥FG )

B.四边形 EFGH 是矩形 C.Ω 是棱柱 D.四边形 EFGH 可能为梯形 3、下列命题中正确的个数是( )

①若 ?p 是 q 的必要而不充分条件,则

p 是 ?q 的充分而不必要条件;

②命题“对任意 x ? R ,都有 x 2 ? 0 ”的否定为“存在 x0 ? R ,使得 x0 2 ? 0 ”; ③若 p∧q 为假命题,则 p 与 q 均为假命题; ④命题“若 x —4x+3=0,则 x=3”的逆否命题是“若 x≠3,则 x -4x+3≠0” A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
2 2

4、把函数 y ? sin( x ? 象向右平移 A. x ?

?

?
3

1 ) 图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),再将图 6 2
) D. x ? ?

个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为( B. x ? ?

?

?
4

8

C. x ?

?
4

?
2

5、如图,一个几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形,且直角边长为 2,则这个几 何体的外接球的表面积为( )

A.16π

B.12π

C.8π

D.4π

?x ? y ? 1 ? y 6、已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 的最大值为( ?2 x ? y ? 4 x ?
(A)



3 2

(B)

7、若 ? ? , 3 cos 2? ? sin( ( ,?) A.

?

2 3

(C)

?
4

5 2

(D)

2 5


2 17 ? 18

? ? ) ,则 sin 2? 的值为(
C.

B.

17 18

?

1 18

D.

1 18

8 、 在 锐 角 △ ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c , 若 sin A ?

2 2 ,a?2, 3

S△ ABC ? 2 ,
则 b 的值为( A. 3 B. )

3 2 2

C. 2 2

D. 2 3

9、如图,设 E,F 分别是 Rt△ABC 的斜边 BC 上的两个三等分点, → → 已知 AB=3,AC=6,则AE·AF=( )

A.8 B.10

C.11 D.12

10、已知函数 f ( x) 对定义域 R 内的任意 x 都有 f ( x) ? f (4 ? x) ,且当 x ? 2 时,其导数

f ' ( x) 错误!未找到引用源。满足 xf ' ( x) ? 2 f ' ( x) ,若 2 ? a ? 4 ,则(



A. f (2 a ) ? f (3) ? f (log 2 a)
源。 f (3) ? f (log 2 a ) ? f (2 )
a

错误!未找到引用源。 B. 错误!未找到引用

C. f (log 2 a) ? f (3) ? f (2 a )

D. f (log 2 a) ? f (2 a ) ? f (3)

第Ⅱ卷 非选择题(共 100 分) 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

? 1 x ?( ) , x ? 3 11、已知函数 f ( x) ? ? 2 ,则 f (1 ? log 1 3) = 2 ? ? f ( x ? 1), x ? 3
12、若存在 x ? ? 2,3? ,使不等式
1 ? ax ? 1 成立,则实数 a 的最小值为 x ? 2x

.



13、已知 a 与 b 的夹角为 120? ,若 (a ? b) ? (a ? 2b) ,且 | a |? 2 ,则 b 在 a 方向上的射影 为 .

?

?

? ?

?

?

?

?

?

14、已知函数 y=f(x)对任意自变量 x 都有 f(x+1)=f(1-x),且函数 f(x)在[1,+∞)上 单调.若数列 {an} 是公差不为 0 的等差数列,且 f(a6) = f(a20) ,则 {an} 的前 25 项之和 为 .

15 、已知函数 f ( x) ? 为 .

1 3 ax ? ax 2 ? 3ax ? 1 的图像经过四个象限,则实数 a 的取值范围 3

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16、(本题满分 12 分)已知 m ? (2 ? sin(2 x ? ( x ? [0,

??

?
6

? ?? ? sin 2 x) , f ( x) ? m ? n , ), ? 2) , n ? (1,

?
2

])

(1)求函数 f ( x) 的值域; (2)设 ?ABC 的内角 A , B ,C 的对边分别为 a ,b , c ,若 f ( ) ? 1 ,b ? 1 , c ? 求 a 的值.

B 2

3,

17、(本题满分12分)已知函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? (I)求 f ? x ? 的单调递增区间;

? ?

??

?? ? ? ? 3 sin ? 2 x ? ? 6? 3? ?

(II)将函数 y ? f ? x ? 的图像向左平移个

?
3

单位,再将得到的图像上各点的横坐标伸长到

原来的 2 倍(纵坐标不变)得到函数 y ? g ? x ? 的图像,求函数 y ? g ? x ? 在 ? ? 的值域。

? ? 2? ? 上 , ? 3 3 ? ?

18.(本题满分 12 分) 成立. (1)求 a1,a2 的值;

已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a2an=S2+Sn 对一切正整数 n 都

? 10a1? ?的前 n 项和为 Tn,当 n 为何值时,Tn 最大?并求出 Tn 的最大 (2)设 a1>0,数列?lg ?

an ?

值.

19. (本题满分 12 分)

为了做好“双十一”促销活动, 某电商打算将进行促销活动的礼品

盒重新设计.方案如下:将一块边长为 10 的正方形纸片 ABCD 剪去四个全等的等腰三角形 △SEE′,△SFF′,△SGG′,△SHH′,再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒

S-EFGH,其中 A,B,C,D 重合于点 O,E 与 E′重合,F 与 F′重合,G 与 G′重合,H 与 H′
重合(如图所示).

(1)求证:平面 SEG⊥平面 SFH; 5 (2)当 AE= 时,求二面角 E-SH-F 的余弦值. 2

20、(本题满分 12 分)等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且 a 2 ? 8 , S 4 ? 40 .数列 {bn } 的 前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? 2bn ? 3 ? 0, n ? N * . (1)求数列 {a n } , {bn } 的通项公式; (2)设 c n ? ?

?a n , n为奇数 ?bn , n为偶数

,求数列 {c n } 的前 n 项和 Pn .

21、(本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? x ln x ? ax ? a ? R ?
2 (I)若函数 f ? x ? 在区间 ? ?e , ?? 上为增函数,求 a 的取值范围;

?

(II)若对任意 x ? ?1, ?? ? , f ? x ? ? k ? x ? 1? ? ax ? x 恒成立,求正整数 k 的值.

第三次月考理科数学答案 DDCDB 11、 BAABC 13、 ?

7 1 12、 2 12

33 ? 1 8

14、25

15、 ( - ?, - ) ? ( ,??)

1 9

3 5

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16 、 :

f ( x) ?

?? ? ? m ? n ? 2 ?s i n ( x? 2 6

?2 ) ? 2 x ?s ( i s n ix n 2 ? c o sx 6

?

?

c o?s 2 ? 6

s i xn

)

(1

c o s

?

1 3 ? ? ? ? 4? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ? cos(2 x ? ) ? 1 ? x ? [0, ] ,? 2 x ? ? [ , ] , 2 2 3 2 3 3 3

? 1 3 3 从而有 0 ? f ( x) ? , 所以函数 f ( x) 的值域为 [0, ] . (2) ??1 ? cos(2 x ? ) ? , 3 2 2 2 B ? ? ? 4? 由 f ( ) ? 1 得 cos( B ? ) ? 0 ,又因为 0 ? B ? ? ,所以 ? B ? ? , 2 3 3 3 3 ? ? ? b c 从而 B ? = ,即 B ? . 因为 b ? 1,c ? 3 ,所以由正弦定理 ? 3 2 6 sin B sin C
得 sin C ?

c sin B 3 ? 2? ,故 C? 或 ? b 2 3 3

当 C?

?
3

时 , A?

?
2

,从而

a ? b2 ? c2 ? 2
当C ?

2? ? ? 时, A ? ,又 B ? ,从而 a ? b ? 1 3 6 6

综上 a 的值为 1 或 2. 17.

18 18【解析】(1)当 n=1 时,a2a1=S2+S1=2a1+a2,当 n=2 时 a2=2a1+2a2, 两式相减 a2(a2-a1)=a2,∴a2=0,a1=0 或 a2≠0,a2-a1=1,3 分 解方程组可得:a1=0,a2=0,或 a1= 2+1,a2= 2+2, 或 a1=1- 2,a2=2- 2.5 分 (2)由(1)及 a1>0 知 a1= 2+1,a2= 2+2,6 分 当 n≥2 时,(2+ 2)an=S2+Sn,(2+ 2)an-1=S2+Sn-1, ∴(1+ 2)an=(2+ 2)an-1, ∴an= 2an-1(n≥2), ∴an=a1( 2) 8分 10a1 1 100 1 令 bn=lg = lg ,所以数列{bn}是单调递减的等差数列,公差为- lg 2,10 分 an 2 2n-1 2 ∴b1>b2>?>b7=lg 所以数列?lg
? ?
n-1
2

=(1+ 2)( 2)

n-1



10 1 100 >0,所以当 n≥8 时,bn≤b8= lg <0, 8 2 128 7(b1+b7) 21 =7- lg 2.12 分 2 2

10a1?

an

?的前 7 项和最大,T7= ?

19【解析】(1)∵折后 A,B,C,D 重合于一点 O, ∴拼接成底面 EFGH 的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形, ∴底面 EFGH 是正方形,故 EG⊥FH.2 分 ∵在原平面图形中,等腰三角形△SEE′≌△SGG′,∴SE=SG,∴EG⊥SO.4 分 又∵SO,FH ?平面 SFH,SO∩FH=O,∴EG⊥平面 SFH.

又∵EG ?平面 SEG,∴平面 SEG⊥平面 SFH.6 分 (2)法 1:过 O 作 OM⊥SH 交 SH 于 M 点,连接 EM,∵EO⊥平面 SFH,∴EO⊥SH, ∴SH⊥平面 EMO,∴∠EMO 为二面角 E-SH-F 的平面角.8 分 5 5 5 5 SO·OH 当 AE= 时,即 OE= ,Rt△SHO 中,SO=5,SH= ,∴OM= = 5, 2 2 2 SH Rt△EMO 中,EM= EO +OM =
2 2

3 5 OM 5 2 ,cos∠EMO= = = . 2 EM 3 5 3 2

2 所以所求二面角的余弦值为 .12 分 3 法 2:由(1)知 EG⊥FH,EG⊥SO,并可同理得到 HF⊥SO,故以 O 为原点,分别以 OF,OG,

OS 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 O-xyz,

5 在原平面图形中, AE= ,则底面正方形 EFGH 的对角线 EG=5, 2 5 ? ? 5 ? → ?5 5 ? ? 5 ? ? ∴H?- ,0,0?,E?0,- ,0?,G?0, ,0?,HE=? ,- ,0?, 2 ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ?2 →

? ? OG=?0, ,0?. ?
5 2

?

5 5 2 2 在原平面图形中,可求得 SE= ,在 Rt△SOE 中,可求得 SO= SE -OE =5, 2 → ? 5 ? ∴S(0,0,5),SH=?- ,0,-5?.8 分 ? 2 ? 设平面 SEH 的一个法向量为 n=(x,y,z), 5 → n·SH=- x-5z=0, ?y=x, ? ? 2 ? 则? 得? 1 令 x=2,则 n=(2,2,-1),10 分 z= x, → 5 5 ? ? ?n·HE=2x-2y=0, ? 2 → ∵EG⊥平面 SFH,∴OG是平面 SFH 的一个法向量,设二面角 E-SH-F 的大小为 θ , 2 2 则 cos θ = = ,∴二面角 E-SH-F 的余弦值为 .12 分 → 3 3 |n|·|OG|

n·OG



20【解析】(1)由题意, ?

? a1 ? d ? 8 ?a1 ? 4 ,得 ? , a n ? 4n .????3 分 ?d ? 4 ?4a1 ? 6d ? 40

Tn ? 2bn ? 3 ? 0 ,当 n ? 1 时, b1 ? 3 ,当 n ? 2 时, Tn ?1 ? 2bn ?1 ? 3 ? 0 ,
得 bn ? 2bn (n ? 2) ,所以 {bn } 的通项公式为 bn ? 3 ? 2 n ?1 .??????7 分

? 4n, n为奇数 (2) , 当 n 为偶数时, Pn ? (a1 ? a3 ? ? ? a n ?1 ) ? (b2 ? b4 ? ? ? bn ) cn ? ? n ?1 ?3 ? 2 , n为偶数

?

( 4 ? 4n) ? 2

n n 2 6 ( 1 ? 4 ) 2? ? 2 n ?1 ? n 2 ? 2 ;??????10 分 1? 4
( n ?1) ?1

当 n 为奇数时,(法一) n ? 1 为偶数, Pn ? Pn ?1 ? c n ? 2

? (n ? 1) 2 ? 2 ? 4n

? 2 n ? n 2 ? 2n ? 1
(法二) Pn ? (a1 ? a3 ? ? ? a n ? 2 ? a n ) ? (b2 ? b4 ? ? ? bn ?1 ) ? 2 ? n 2 ? 2n ? 1
n

? 2 n ?1 ? n 2 ? 2, n为偶数 所以, Pn ? ? ??????14 分 n 2 ?2 ? n ? 2n ? 1, n为奇数
21.【答案】


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