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2014年职高数学第一轮复习 平面的概念及基本性质


立体几何

平面及平面的基本性质

一、平面的概念
平面和点、直线一样,它是构成空间图形的基 本要素之一,是一个只描述而不定义的原始概念. (1)数学中所说的平面在空间是无限伸展的(直 线是无限延伸的) (2)平时接触到的平面实例都只是平面的一部分

立体几何中的平面的特点:
1.平的 2.四周无限延展 3.不计大小 4.不计厚薄

(不是凹凸不平)
(没有边界;没 有厚度) (无所谓面积) (没有体积)

二、平面的表示方法:
1、用一个希腊字母?、?、?等来表示,如平面 ? ?、平面?:
D C

?

A

B

2、用表示平行四边形的各顶点的字母来表示, 如平面ABCD,也可用两个相对顶点的字母表 示,如平面AC. 3、若A、B、C三点在平面内,则该平面 可表示为“平面ABC”。

三、平面的画法
直线是无限延伸的,通常我们画出直线的一部分来表 示直线,同样地,我们也可以画出平面的一部分来表示平面. 1.通常用平行四边形来画平面 (1) 当平面是水平放置的时候,通常把平行四边 形的锐角画成45°,横边画成邻边长的2倍。 (2)画直立平面时,要有一组对边为竖直。

水平平面

直立平面

2、两个平面在不同的位置关系下的画法

■练习: 两个相交平面如何画?
C C C

G

N
A B A M (二) D G C E A M H D N B F A E M B A

E M H

N B (三)

F

(一)
D

D
G C N B H D (五) F

(四)

■ 画两个相交平面的步骤:
1、画出边线AB、CD 2、找交点M,作线段MN 3、过A、B、C、D作 MN的平行线段 4、完成两个平行四边形 5、看不到的线用虚线或擦去
C E A M H D N

G

F B

简单画法:

注意:
画相交平面时,虚线实线要清楚。
在画两个平面相交图时,如果图形的一部分被 另一部分遮住,可以把遮住部分画成虚线(不等同 于平面几何中的辅助线),也可以不画。

四、点、直线、平面的关系
把点作为基本元素,于是直线、平面都作为 “点的集合”,所以:

点与直线的关系: A? l , B ? l 点与平面的关系: A ?? , B ??

直线与平面的关系: l ? ? ,l ? ?

■点、线、面的基本关系:
①点A在直线 ?上 ②点A在平面 α内 ③直线?在平面α内

A?l

点A不在直线 ?上 点A不在平面 α内 直线?不在平面α内

A?l

A ??

A ??
l ??

l ??

④直线?与直线m相交于点A ⑤直线?与平面α相交于点A

?∩m=A ?∩α=A

⑥平面α与平面β相交于直线? α∩β=?

空间中的点、直线、平面的位置关系,可 以借用集合中的符号来表示.

例如:在长方体 ABCD—A1B1C1D1中
位置关系
点P在直线AB上 点c不在直线AB上

符号表示

P ∈ AB
A1

D1 B1

C1

C ∈ AB 点M在平面AC内 M ∈ 平面AC 点A1不在平面AC内 A1∈平面AC 直线AB与直线BC交于点B AB∩BC = B
直线AB在平面AC内 直线AA1不在平面AC内

D A

· · P
M




AB ? 平面AC
AA1 ∩ 平面AC

五. 平面的基本性质:

B A

公理1:如果一条直线上的两点
在一个平面内,

α

?

那么这条直线在此平面内.

公理1的用途:
A∈α, B∈α

A∈?, B∈?

}

1.判定直线是否在平面内 2.判定直线上的点在不在平面内

? α


公理2:过不在一条直线上的三点, 有且只有一个平面.

A.

B. c.

?

公理2的用途: 确定平面.

有且只有一个的含义:
至少有一个

“有”
“只有一个”

说明图形是存在的!
说明图形是唯一的!

至多有一个

推论: 1、过直线和直线外 一点有且只有一个平面。
确定平面的依据
A

?

a

2、过两条相交直线有且 只有一个平面
C

确定平面的依据

A B

a
b

?

3、过两条平行直线有 且只有一个平面
a

确定平面的依据

?

b

思考:
两个平面的公共点的个数可能有......( (A )0 (B )1 (C )2

D

)

(D)0或无数

公理3: 如果两个不重合的平面有一个 公共点,那么它们有且只有一条过该点的 公共直线. A∈α,A ∈ β

{ A∈?

α∩β=?

公理3的用途::
①判定两个平面是否相交 ②判定点共线 ③寻找两个平面交线

思考题:三个平面中,每两个平面都相交,可能 有几条交线?

练习:三个平面两两相交,则它们交线的数??(B )
(A)最多4条最少3条 (C)最多3条最少2条 (B)最多3条最少1条 (D)最多2条最少1条

例.若三个平面两两相交有三条交线,若其中两条相交 于一点,证明第三条交线也过这一点。

已知: ? ? ? ? c, ? ? ? ? a,

? ? ? ? b, a ? b ? O
求证:O ? c

?

c
O

证明:

a

? b

O ? b,b ? ?, ?O ?? O ? a,a ? ?, ?O ? ?
?O在?与?的交线上,

?

?O ? c 又? ? ? ? c,

练.判断下列命题是否正确: (1)经过三点确定一个平面。 (×) (2)经过同一点的三条直线确定一个平面。 (×) (3)若点A ? 直线a,点A ? 平面α,则a ?α. (×) (4)平面α与平面β相交,它们只有有限个公共点。(×)

练习:

1、画三个平行四边形表示不同位置的平面。
2、判断下列命题的真假:

(1)如果平面?与平面?相交,则它们只有有限个公共点;

(2)过一条直线的平面有无数多个;
(3)两个平面的交线可能是一条线段;

(4)两个相交平面有不在同一条直线上的三个公共点;
(5)经过空间任意三点有且只有一个平面; (6)如果两个平面有三个不共线的公共点,那么 这两个平面就重合为一个平面。

3、判断下列各题的说法正确与否,在正
确的说法题号后打 ,否则打 。

(1)直线经过平面,即直线在平面内。 (
(2)两个平面相交至少有两个公共点。 ( (3)两个平面α、β相交,记做α∩β。 ( (4)三点确定一个平面。 (5)空间两直线确定一个平面。 (6)一条直线和一个点确定一个平面。 ( (7)一个圆周上的三点确定一个平面。 ( (8)两两相交的三条直线共面。 ( ( ( )

)
) ) ) ) )

趣味探究1、一个平面将空间
分成几部分? 两部分 两个平面将空间分成几个部分?

β
α
三或四部分

α

β

趣味探究2三个平面将空间分成几个部分?

a
c P b

四或六或七 或八部分

即4或6或7 或8部分

空间中直线与直线 之间的位置关系

复习引入 平面内两条直线的位置关系
相交直线
a

平行直线
b
平行直线 (无公共点)

o

a b

相交直线 (有一个公共点)

一、空间两条直线的位置关系
1.异面直线的定义:

不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做 异面直线。 1)异面直线既不平行也不相交
2)定义中“任何”是指两条直 线永远不具备确定平面的条件, 即是不可能找到一个平面同时 包含这两条直线; 不能认为分别在两个平面内的 两条直线叫异面直线。

a ? ?,b ? ?,
b
M

a

b

a

b

?

a

?

?

?

?

?

a与b是异面直线

a与b是相交直线

a与b是平行直线

它们可能异面,可能相交,也可能平行。

也不能认为不在同一平面内的两条直线叫异面直线。

D1

C1

A1

B1
D

b
A

a

?

C
B

它们可能异面,可能相交,也可能平行。

3)异面直线的画法 b
说明: 画异面直线时 , 为了体现 它们不共面的特点。常借 助一个或两个平面来衬托. 如图:

?
a b

a
(1)

A

a

?

?

b
(2)

?

(3)

2 、空间中直线与直线之间的位置关系
相交直线 同在一个平面内 按平面基本性质分 不同在任何一个平面内: 异面直线 平行直线

有一个公共点: 按公共点个数分 无 公 共 点

相交直线 平行直线 异面直线

练习1、 如图所示:正方体的棱所在的直线 中,与直线A1B异面的有哪些? D1 A1 B1

C1

D A B

C

练习1、 如图所示:正方体的棱所在的直线 中,与直线A1B异面的有哪些? D1 A1 D B1 C B C1

答案: D1C1、C1C、CD、

D1D、AD、B1C1

A

练习 2:如图在正方体中,与 BD1异面的棱有
D1 A1 B1 C1

D A B

C

AA 1 , AD, A 1B 1, B 1C1 , C1C, CD

练习3
下图长方体中 (1)说出以下各对线段的位置关系?
① EC ② BD ③BH

H E D A B F

G

和BH是 和FH是 和DC是

相交 平行 异面

直线 直线 直线

C

(2).与棱 A B 所在直线异面的棱共有 4 条?
分别是 :CG、HD、GF、HE

课后思考:

这个长方体的棱中共有多少对异面直线?

巩固: 1. 画两个相交平面,在这两个平面内各画 一条直线,使它们成为: ⑴平行直线;⑵相交直线;⑶异面直线.

?
b
a ⑴ ⑶

?
?
b

?
b
a

a ⑵

?

?

巩固: 2. 两条异面直线指:

(

)

A. 空间中不相交的两条直线; B. 不在同一平面内的两条直线; C. 不同在任一平面内的两条直线; D. 分别在两个不同平面内的两条直线; E. 空间没有公共点的两条直线; F. 既不相交,又不平行的两条直线.

填空: 平行 、 ________ 相交 1、空间两条不重合的直线的位置关系有________ 、 异面 三种。 ________ 平行 直线,也有可能是 2、没有公共点的两条直线可能是________ 异面 直线。 ________ 3、和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系 相交、异面 有______________ 。

练习提升
1、 “a,b是异面直线”是指 ① a∩b=Φ,且a不平行于b; ② a ?平面? ,b ? 平面? 且a∩b=Φ ③ a ? 平面 ? , b ?? 平面 ④ 不存在平面? ,能使a ? ?且b ?? 成立 上述结论中,正确的是 ( C) (A)①② (B)①③ (C)①④ (D)③④ 2、长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面 直线有 (C ) (A)2对 (B)3对 (C)6对 (D)12对

3、两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交,则 直线a,b的位置关系是(D) (A)一定是异面直线(B)一定是相交直线 (C)可能是平行直线 (D)可能是异面直线,也可能是相交直线 4、一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它 和另一条的位置关系是( D)
(A)平行(B)相交(C)异面(D)相交或异面

二、空间直线的平行关系
1、平行关系的传递性

公理4:在空间平行于同一条直线的两条直线互相
则 a ∥c。
a

平行. 若a∥b,b∥c,

c

a α

b

c

公理4的作用:它是判断空间两条直线平行的依据

推广:在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行.

二.空间直线的平行关系:
例2.已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形, E,F,G,H分别是AB,BC, CD,DA的中点,连结 EF,FG,GH,HE,求证:EFGH是一个平行四边形。
证明:连结BD ∵ EH是△ABD的中位线 ∴EH ∥BD且EH =1/2 BD 同理,FG ∥BD且FG =1/2 BD ∴EH ∥FG且EH =FG ∴EFGH是一个平行四边形
A

H
E

D G B F C

如果再加上条件AC = BD,那么四边形EFGH是什么图形?

二.空间直线的平行关系:
2.等角定理 定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个 角相等或互补。 问:这两个角什么时候相等,什么时候互补?

三.异面直线所成的角
复习回顾 在平面内,两条直线相交成四 个角, 其中不大于90度的角称为它 们的夹角, 用以刻画两直线的错开 程度, 如图. 问题提出 在空间,如图所示, 正方体 ABCD-EFGH中, 异面直线AB

O

H E F

G

与HF的错开程度可以怎样来刻
画呢?

D A
B

C

解决问题
思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题

异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任
一点O作 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线

所成的角(或夹角).

异面直线所成的角的范围( 0 , 90 ]
如果两条异面直线 a , b 所成的角为直 角,我们就称这两 条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b

o

o

思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位
置不同时, 这一角的大小是否改变?

b b′

a′ ″

?
O

思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小
是否改变?

解答: 如图

答: 这个角的大小与O点的位置无关.

设a ′与 b ′相交所成的角为∠1, a ″与 b 所成的角为∠2 ,
∵ a′∥a , a″ ∥a∴ a′∥ a″ (公理4), 同理 b′∥b″, ∴ ∠1 = ∠2 (等角定理)

b

b′

a″ a

?
∠2

a′
O
∠1

1、分别平行于两条异面直线的两条相交直线所成的 锐角(直角)叫做两异面直线所成的角

b
b1 a

a1
O

θ O

α

a

α

2、定义由等角定理解释:

为了简便,在求作异面直线所成的角 时,O点 常选在其中的一条直线上 (如线 段的端点,线段的中点等)

3、特例: 如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两 条异面直线互相垂直。 O α 相交垂直(有垂足)
垂直 异面垂直(无垂足) α 因此,异面直线所成角的范围是(0, 2 ]
?

O

5、求异面直线所成的角的基本法则:

作平行线,构三角形
求异面直线所成的角的步骤是: 一作(找):作(或找)平行线 二证:证明所作的角为所求的异 面直线所成的角。 三求:在一恰当的三角形中求出角

D1

C1
B1

(1)如图,观察长方体 ABCD-A1B1C1D1,有没有两条棱 所在 的直线是相互垂直的异面直线? A

A1

D B

C

(2)如果两条平行线中的一条与某一条直线垂直, 另一条直线是否与这条直线垂直? (3)垂直于同一条直线的两条直线是否平行?

B?C?, AD, CC?, DD?, DC, D?C?

例3 如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D' 中。 (1)哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线? (2)直线BA' 和CC' 的夹角是多少? (3)哪些棱所在的直线与直线AA' 垂直? 解:(1)由异面直线的判 C' D' 定方法可知,与直线 BA? A' 成异面直线的有直线 B'


D A B

C

例3

如图,已知正方体 ABCD ? A?B?C ?D? 中。 (1)哪些棱所在直线与直线 BA' 是异面直线? ' ' CC BA (2)直线 和 的夹角是多少? (3)哪些棱所在的直线与直线 AA' 垂直? C' D' 解:(2)由 BB? // CC ? 可 ?B?BA? 等于异面直线BA? 知, A' B' 与 CC ? 的夹角,所以异面 直线 BA?与 CC ? 的夹角为 D C 450 。
B

(3) 直线 AB, BC , CD, DA, A?B?, A B?C ?, C ?D?, D?A? 与直线 AA?都垂直.

课堂练习1
如图,正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心,求 (1)BE与CG所成的角? (2)FO与BD所成的角? 解: (1)如图: ∵BF∥CG,∴∠EBF(或其补角)为异面直线 BE与CG所成的角,
o o 又 ? BEF中∠EBF =45 , 所以BE与CG所成的角是45

(2)连接FH, ∵HD = EA,EA = FB ∴HD = FB
∥ ∥ ∥

H
E
O

G F

∴四边形BFHD为平行四边形,∴HF∥BD ∴∠HFO(或其补角)为异面直线 FO与BD所成的角

连接HA、AF, 则AH=HF=FA ∴ △AFH为等边△ o 依题意知O为AH中点 , ∴∠HFO=30 所以FO与BD所成的夹角是30o

D

C

A

B

课堂练习2
如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB = 2
(1)求BC 和EG 所成的角是多少度? (2)求AE 和BG 所成的角是多少度? 解答: (1)∵GF∥BC 2 E
2 3 D 2 3

3 , AD = 2 3 , AE = 2
G

H

F
C B

∴∠EGF(或其补角)为所求.
Rt△EFG中,求得∠EGF = 45 (2) ∵BF∥AE
o

A

∴∠FBG(或其补角)为所求,
Rt△BFG中,求得∠FBG = 60o

课堂小结
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。 相交直线 空间两直线的位置关系 平行直线 异面直线 异面直线的画法 异面直线所成的角 用平面来衬托 平移,转化为相交直线所成的角

公理4: 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行. 空间中,如果两个角的两边分别对应平行, 等角定理:

那么这两个角相等或互补.
一作(找)二证三求

异面直线所成的 角的求法:

直线与平面的位置关系

一、直线和平面的位置关系
1.一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种:
(1)直线在平面内——有无数个公共点. (2)直线和平面相交——有且只有一个公共点. (3)直线和平面平行——无公共点.

直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.

2.直线和平面的三种位置关系的画法:

直线在平面内

直线与平面相交

直线与平面平行

记作a ? ?

记作a ? ? ? A

记作a // ?

直线在平面外

二、 直线和平面平行
1.线面平行的判定定理
如果平面外一条直线和这个平面内的一条 直线平行,那么这条直线和这个平面平行.

b

?

例1 求证:空间四边形相邻两边中点的连线, 平行于经过另外两边的平面.
已知:空间四边形 ABCD中,E、F分别是 AB、AD的中点

求证: EF // 平面BCD
证明:连 结BD

AE ? EB ? ?? EF // BD AF ? FD? 又EF在平面BCD外

BD ? 平面BCD

? EF // 平面BCD

3.线面平行性质定理及证明
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平 面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.

已知: a // ?,a ? ?,? ? ? ? b 求证:a // b
证法一:反证法
假设a不平行于 b

a , b共面

? a ?b ? P

? P ?b b ??

? P ?? P?a

? P ? a ?? a不在平面?内
与a // ?矛盾

? a ?? ? P

? a // b

线面平行性质定理及证明
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平 面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.

已知: a // ?,a ? ?,? ? ? ? b 求证:a // b
证法二:直接法

a // ? ? a与?没有公共点 ? ? b ???

? a与b没有公共点 ? ? a, b共面于 ? ?

? a // b

练 习 2.在 图 1中所示的一块木料中 ,棱BC平行于平面 A?C ? ( 1 )要经过平面 A?C ?内的一点 P和 棱BC将木料锯开 , 应怎样画线 ? ( 2 )所画的线和平面 AC是什么关系 ?

a

b
? 图1

? 图2

c
?

练习3.如果三个平面两两相交于三条直线,并且其中两条 平行,那么第三条也和它们平行(如图2)

练习4 下列命题中正确的个数
是 ( B ) 1)若直线 l 上有无数个点不在平面 ?内,则 l//? 2) 若直线 l 与平面?平行,则 l 与 平面?内的任意一条直线都平行 3)如果两条平行直线中的一条与一 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 个平面平行,那么另一条也与这个 平面平行

思考
1.如 图 , 已 知 异 面 直 线 AB、CD都 平 行 于 平 面?, 且AB、CD在?的 两 侧 , 若 AC、BD A B 与?分 别 交 于 M、N两 点. AM BN 求证: ? E N MC ND M
?
D
C

思考

2.用 平 行 于 四 面 体 ABCD 一组棱 AB、CD的 平 面 截 四 面 体

求证:截面MNPQ是平行四边形;

A M B

Q
D

N
C

P

正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,直线 BB1与直线 AB、BC、CD、 AD、AC所成的角各是多少?

可以发现,这些个角都是直角.

如果直线l与平面 ? 内的任意一条直线都垂直,那么就称直线l与 平面 ? 垂直,记作 l ? ? .直线l叫做平面 ? 的垂线,垂线l与平面 ? 的交点叫做垂足. 画表示直线l和平面 ? 垂直的图形时,要把直线l画成与平行四边 形的横边垂直(如图所示),其中点A垂足.

将一根木棍PA直立在地面 ? 上,用细绳依次度量 点P与地面上的点A、B、C、D的距离(如图),发现 PA最短.

PA ? ?,线段PA叫做垂线段,垂足A叫做点P在平面 ? 内的射影. 如图所示,
直线PB与平面 ? 相交但不垂直,则称直线PB与平面 ? 斜交,直线PB叫做 平面 ? 的斜线,斜线和平面的交点叫做斜足.点P与斜足B之间的线段叫做点P 到这个平面的斜线段. 过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面内的射影. 如图所示,直线AB是斜线PB在平面? 内的射影. 从平面外一点向这个平面引垂线段和斜线段, 垂线段最短.因此,将从平面外一点P到平面 ? 的 垂线段的长叫做点P到平面? 的距离.

斜线l与它在平面 ? 内的射影 l ? 的夹角,叫做直线l与平面? 所成的角.
?PBA 就是直线PB与平面 ? 所成的角. 如图所示,

规定:当直线与平面垂直时,所成 的角是直角;当直线与平面平行或直线在 平面内时,所成的角是零角.显然,直线 与平面所成角的取值范围是 [ 0 , 90 ].

如果两条直线与一个平面所成的角相等,那么这两条直线一定平行吗?

例2 如图所示,等腰 ? ABC的顶点A在平面? 外,底边BC在平面

? 内,已知底边长BC=16,腰长AB=17,又知点A到平面 ? 的垂线段
AD=10.求 (1)等腰

?ABC的高AE的长;

(2)斜线AE和平面 ? 所成的角的大小(精确到1?).
AE ? BC ,故由BC=16可得BE=8. 解 (1) 在等腰 ?ABC中,

在 Rt? AEB中,∠AEB=90°,因此
AE ? AB2 ? BE 2 ? 172 ? 82 ? 15.

例2 如图所示,等腰 ? ABC的顶点A在平面? 外,底边BC在平面

? 内,已知底边长BC=16,腰长AB=17,又知点A到平面 ? 的垂线段
AD=10.求 (1)等腰

?ABC的高AE的长;

(2)斜线AE和平面 ? 所成的角的正弦. (2)联结DE.因为AD是平面 ? 的垂线,AE是 ? 的斜线, 所以DE是AE在 ? 内的射影. 因此?AED 是AE和平面? 所成的角.
sin ?AED ? 在Rt? ADE中, AD 10 2 ? ? , AE 15 3

长方体ABCD ? A1B1C1D1 中,高DD1=4cm,底面是边长为3cm的 正方形,求对角线D1B与底面ABCD所成角的大小(精确到1′).

立体几何


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