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暑期培优:第四章 平面向量(必记知识点+必明易错点+必会方法)学生版


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专题四、平面向量
平面向量的概念及其线性运算

1.向量的有关概念 (1)向量:既有大小,又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模. (2)零向量:长度为 0 的向量,其方向是任意的. (3)单位向量:长度等于 1 个单位的向量. (4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0 与任一向量共

线. (5)相等向量:长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量:长度相等且方向相反的向量. 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律: 求两个向量和的运 算 a+b=b+a; 三角形法则 (2)结合律: (a+b)+c= 平行四边形法则 求 a 与 b 的相反向 减法 量-b 的和的运算 叫做 a 与 b 的差 三角形法则 (1)|λa|=|λ||a|; 数乘 求实数 λ 与向量 a 的积的运算 (2)当 λ>0 时, λa 的方向与 a 的方 向相同;当 λ<0 时,λa 的方向与 a 的方向相反;当 λ=0 时,λa=0 3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ,使得 b=λa. λ(μ a)=(λμ)a; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb a-b=a+(-b) a+(b+c)

加法

1.作两个向量的差时,要注意向量的方向是指向被减向量的终点; 2.在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”,否则 λ 可能不存在,也可能有无数个; 3.要注意向量共线与三点共线的区别与联系.

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[试一试] 1.(2013· 苏锡常镇二调)如图, 在△OAC 中, B 为 AC 的中点, 若 OC = x OA +y OB (x,y∈R),则 x-y=________. 2.若菱形 ABCD 的边长为 2,则| AB - CB + CD |=________.

1.向量的中线公式 1 若 P 为线段 AB 的中点,O 为平面内一点,则 OP = ( OA + OB ). 2 2.三点共线等价关系 A, P, B 三点共线? AP =λ AB (λ≠0)? OP =(1-t)· OA +t OB (O 为平面内异于 A, P,B 的任一点,t∈R)? OP =x OA +y OB (O 为平面内异于 A,P,B 的任一点,x∈R,y ∈R,x+y=1). [练一练] 1.D 是△ABC 的边 AB 上的中点,若 CD =x BA +y BC ,则 x+y=________. 2.已知 a 与 b 是两个不共线向量,且向量 a+λb 与-(b-3a)共线,则 λ=________.

考点一

向量的有关概念

1.给出下列命题: ①若|a|=|b|,则 a=b; ②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则 AB = CD 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要 条件; ③若 a=b,b=c,则 a=c; ④a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b; ⑤若 a∥b,b∥c,则 a∥c. 其中正确命题的序号是________. 2.设 a0 为单位向量,①若 a 为平面内的某个向量,则 a=|a|a0;②若 a 与 a0 平行,则 a =|a|a0;③若 a 与 a0 平行且|a|=1,则 a=a0.上述命题中,假命题的个数是________. [类题通法] 平面向量中常用的几个结论 (1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性. (2)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时不要把它与函数图像的平
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移混为一谈. a a (3) 是与 a 同向的单位向量,- 是与 a 反向的单位向量. |a| |a| 考点二 向量的线性运算

1 2 [典例] (2013· 江苏高考)设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的点,AD= AB,BE= 2 3 BC.若 DE =λ1 AB +λ2 AC (λ1,λ2 为实数),则 λ1+λ2 的值为________.

1 若条件变为:若 AD =2 DB ,CD = CA +λ CB , 3 则 λ=________.

[类题通法] 在向量线性运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则、三 角形法则,利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转 化为与已知向量有直接关系的向量来求解. [针对训练] 若 A,B,C,D 是平面内任意四点,给出下列式子: ① AB + CD = BC + DA ;② AC + BD = BC + AD ; ③ AC - BD = DC + AB .其中正确的有________个.

考点三

共线向量定理的应用

[典例] 设两个非零向量 a 与 b 不共线, (1)若 AB =a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b), 求证:A,B,D 三点共线. (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线.

[类题通法] 1.共线向量定理及其应用 (1)可以利用共线向量定理证明向量共线,也可以由向量共线求参数的值.

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(2)若 a,b 不共线,则 λa+μb=0 的充要条件是 λ=μ=0,这一结论结合待定系数法应用 非常广泛. 2.证明三点共线的方法 若 AB =λ AC ,则 A、B、C 三点共线. [针对训练] 已知 a,b 不共线, OA =a, OB =b, OC =c, OD =d, OE =e,设 t∈R,如果 3a =c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数 t 使 C,D,E 三点在一条直线上?若存在,求出实数 t 的值,若不存在,请说明理由.

[练通考点] 1.给出下列命题: ①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量. ②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小. ③λa=0(λ 为实数),则 λ 必为零. ④λ,μ 为实数,若 λa=μb,则 a 与 b 共线. 其中错误的命题的有________个. 2.如图,已知 AB =a, AC =b, BD =3 DC ,用 a,b 表示 AD ,则 AD =________. 3.(2013· 苏锡常镇二调)已知点 P 在△ABC 所在的平面内,若 2 PA +3 PB +4 PC = 3 AB ,则△PAB 与△PBC 的面积的比值为________. 4.(2014· “江南十校”联考)如图,在△ABC 中,∠A=60° ,∠A 的平分 1 线交 BC 于 D,若 AB=4,且 AD = AC +λ AB (λ∈R),则 AD 的长为 4 ________.

AD =b, AN =3 NC , AB =a, 5. 在?ABCD 中, M 为 BC 的中点, 则 MN =________(用
a,b 表示). 6. 设点 M 是线段 BC 的中点, 点 A 在直线 BC 外, | AB + AC |=| AB - AC |, BC 2=16, 则| AM |=________. 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1.设 a、b 是两个非零向量,下列结论正确的有________.(填写序号)

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①若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b ②若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| ③若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 b=λa ④若存在实数 λ,使得 b=λa,则|a+b|=|a|-|b| 2. (2013· 徐州期中)设 O 是△ABC 内部一点, 且 OA + OC =-2 OB , 则△AOB 与△AOC 的面积之比为________. 1 3.在△ABC 中,N 是 AC 边上一点,且 AN = NC ,P 是 BN 上的 2 2 一点,若 AP =m AB + AC ,则实数 m 的值为________. 9 1 4. (2013· 南通期中)设 D, P 为△ABC 内的两点, 且满足 AD = ( AB + AC ),AP = AD 4 S△APD 1 + BC ,则 =________. 5 S△ABC 5. (2014· 南通期末)在△ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 所对的边, 且 3a BC +4b CA +5c AB =0,则 a∶b∶c=________. 6.(2014· 淮阴模拟)已知△ABC 和点 M 满足 MA + MB + MC =0.若存在实数 m 使得

AB + AC =m AM 成立,则 m=________.
π a b 7.(2014· 苏北四市质检)已知 a,b 是非零向量,且 a,b 的夹角为 ,若向量 p= + , 3 |a| |b| 则|p|=________. 8.已知 D,E,F 分别为△ABC 的边 BC,CA,AB 的中点,且 BC =a, CA =b,给出 1 1 1 1 下列命题:① AD = a-b;② BE =a+ b;③ CF =- a+ b;④ AD + BE + CF =0. 2 2 2 2 其中正确命题的个数为________. 9.(2013· 苏北四市三调)如图,在边长为 1 的正三角形 ABC 中,E,F 分别是边 AB,AC 上的点,若 AE =m AB , AF =n AC ,其中 m,n∈(0,1).设 EF 的中点为 M,BC 的中点 为 N. (1)若 A,M,N 三点共线,求证:m=n; (2)若 m+n=1,求| MN |的最小值.

2 AE =3 AD , 10.如图所示, 在△ABC 中, D, F 分别是 BC, AC 的中点,
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AB =a, AC =b.
(1)用 a,b 表示向量 AD , AE , AF , BE , BF ; (2)求证:B,E,F 三点共线.

第Ⅱ卷:提能增分卷 1.A,B,O 是平面内不共线的三个定点,且 OA =a, OB =b,点 P 关于点 A 的对称 点为 Q,点 Q 关于点 B 的对称点为 R,用 a、b 表示 PR ,则 PR =________. 2. 已知 O 为四边形 ABCD 所在平面内一点, 且向量 OA ,OB ,OC ,OD 满足等式 OA + OC = OB + OD ,则四边形 ABCD 的形状为________.

平面向量的基本定理及坐标表示

1.平面向量基本定理 如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有且 只有一对实数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2.其中,不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有 向量的一组基底. 2.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模: 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),
2 λa=(λx1,λy1),|a|= x1 +y2 1.

(2)向量坐标的求法: ①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. ②设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB =(x2-x1,y2-y1), | AB |= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. 3.平面向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠0.a∥b?x1y2-x2y1=0.

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1.若 a、b 为非零向量,当 a∥b 时,a,b 的夹角为 0° 或 180° ,求解时容易忽视其中一 种情形而导致出错; 2.要区分点的坐标与向量坐标的不同,尽管在形式上它们完全一样,但意义完全不同, 向量坐标中既有方向也有大小的信息. x1 y1 3.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件不能表示成 = ,因为 x2,y2 有可 x2 y2 能等于 0,应表示为 x1y2-x2y1=0. [试一试] 1.(2014· 南京、盐城一模)若向量 a=(2,3),b=(x,-6),且 a∥b,则实数 x=________. 2. 已知向量 a=(1,2), b=(x,1), u=a+2b, v=2a-b, 且 u∥v, 则实数 x 的值是________.

用基向量表示所求向量时,注意方程思想的运用. [练一练] 设 e1、e2 是平面内一组基向量,且 a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量 e1+e2 可以表示为 另一组基向量 a,b 的线性组合,即 e1+e2=________a+________b.

考点一

平面向量的坐标运算

1.(2014· 苏中三市、宿迁调研 (一))在平面直角坐标系中,已知向量 AB =(2,1), AC = (3,5),则向量 BC 的坐标为________. 2.(2013· 北京高考)向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示.若 c=λa+μb(λ,μ λ ∈R),则 =________. μ

3.已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设 AB =a, BC =b, CA =c. (1)求 3a+b-3c; (2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n.

[类题通法] 1.向量的坐标运算实现了向量运算代数化,将数与形结合起来,从而可使几何问题转化
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为数量运算. 2.两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同.此时注意方程(组)思想的应用. 考点二 平面向量基本定理及其应用

1 [典例] 如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,且 AD= BC,E,F 分别为线段 AD 与 BC 3 的中点.设 BA =a, BC =b,试用 a,b 为基底表示向量 EF , DF ,

CD .

[类题通法] 用平面向量基本定理解决问题的一般思路 (1)先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式,再通过向量的运算 来解决. (2)在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便.另外,要熟练运用平面 几何的一些性质定理. [针对训练] 1 (2014· 济南调研)如图,在△ABC 中, AN = NC ,P 是 BN 上的一点, 3 若 AP =m AB + 2 AC ,则实数 m 的值为________. 11

考点三

平面向量共线的坐标表示

[典例] 平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1). (1)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n; (2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k;

在本例条件下,若 d 满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|= 5,求 d.

[类题通法] 1.向量共线的两种表示形式

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设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),①a∥b?a=λb(b≠0);②a∥b?x1y2-x2y1=0,至于使用哪 种形式,应视题目的具体条件而定,一般情况涉及坐标的应用②. 2.两向量共线的充要条件的作用 判断两向量是否共线(平行),可解决三点共线的问题;另外,利用两向量共线的充要条 件可以列出方程(组),求出未知数的值. [针对训练] 已知 A(1,1),B(3,-1),C(a,b). (1)若 A,B,C 三点共线,求 a,b 的关系式; (2)若 AC =2 AB ,求点 C 的坐标.

[练通考点] 1.(2013· 南京二模)若平面向量 a,b 满足|a+b|=1,a+b 平行于 y 轴,a=(2,-1),则 b=________. m 2.已知向量 a=(2,3),b=(-1,2),若(ma+nb)∥(a-2b),则 等于________. n 3.(2014· 苏北四市质检)已知向量 a=(sin θ,cos θ),b=(3,-4),若 a∥b,则 tan =________. 4.已知点 A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),给出下面的结论: ①直线 OC 与直线 BA 平行;② AB + BC = CA ; ③ OA + OC = OB ;④ AC = OB -2 OA . 其中正确结论的个数是________. 5.已知两点 A(1,0),B(1,1),O 为坐标原点,点 C 在第二象限,且∠AOC=135° ,设 OC =- OA +λ OB (λ∈R),则 λ 的值为________. 6.在△ABC 中,M 为边 BC 上任意一点,N 为 AM 中点, AN =λ AB +μ AC ,则 λ +μ 的值为________. 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1.(2013· 辽宁高考改编)已知点 A(1,3),B(4,-1),则与向量 AB 同方向的单位向量为 ________. 2.已知△ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 CD =2 DB , CD =r AB +s AC ,则 r+s 的 2θ

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值是________. 1 ? 3. 已知向量 a=? b=(x,1), 其中 x>0, 若(a-2b)∥(2a+b), 则 x 的值为________. ?8,2x?, 4.?创新题?若 α,β 是一组基底,向量 γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量 γ 在基底 α, β 下的坐标,现已知向量 a 在基底 p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则 a 在另一组 基底 m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为________. 5.如图,在平行四边形 ABCD 中,O 是对角线 AC,BD 的交点,N 是线段 OD 的中点, AN 的延长线与 CD 交于点 E,则下列说法错误的是________.(填写序号) ① AC = AB + AD ② BD = AD - AB 1 1 ③ AO = AB + AD 2 2 5 ④ AE = AB + AD 3 6. 在△ABC 中, 点 P 在 BC 上, 且 BP =2 PC , 点 Q 是 AC 的中点, 若 PA =(4,3),PQ =(1,5),则 BC =________. 7.P={a|a=(-1,1)+m(1,2),m∈R},Q={b|b=(1,-2)+n(2,3),n∈R}是两个向量集 合,则 P∩Q 等于________. 8.已知向量 OA =(1,-3), OB =(2,-1), OC =(k+1,k-2),若 A,B,C 三点 能构成三角形,则实数 k 应满足的条件是________. 9.已知 a=(1,0),b=(2,1).求: (1)|a+3b|; (2)当 k 为何实数时,ka-b 与 a+3b 平行,平行时它们是同向还是反向?

10.已知点 O 为坐标原点,A(0,2),B(4,6), OM =t1 OA +t2 AB . (1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件; (2)求证:当 t1=1 时,不论 t2 为何实数,A,B,M 三点都共线.

第Ⅱ卷:提能增分卷 (2013· 南通二模)如图, 正六边形 ABCDEF 中, P 是△CDE 内(包括边界)

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的动点.设 AP =α AB +β AF (α,β∈R),则 α+β 的取值范围是________.

平面向量的数量积与平面向量应用举例

1.平面向量的数量积 平面向量数量积的定义 已知两个非零向量 a 和 b,它们的夹角为 θ,把数量|a||b|cos θ 叫做 a 和 b 的数量积(或内 积),记作 a· b.即 a· b=|a||b|cos θ,规定 0· a=0. 2.向量数量积的运算律 (1)a· b=b· a; (2)(λa)· b=λ(a· b)=a· (λb); (3)(a+b)· c=a· c+b· c. 3.平面向量数量积的有关结论 已知非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2) 结论 模 夹角 a⊥b 的充要条件 |a· b|与|a||b|的关系 几何表示 |a|= a· a a· b cos θ= |a||b| a· b=0 |a· b|≤|a||b| 坐标表示
2 |a|= x2 1+y1

cos θ=

x1x2+y1y2 2 2 2 x1+y1 · x2 2+y2

x1x2+y1y2=0
2 2 2 |x1x2+y1y2|≤ ?x2 1+y1??x2+y2?

1.若 a,b,c 是实数,则 ab=ac?b=c(a≠0);但对于向量就没有这样的性质,即若向 量 a,b,c,若满足 a· b=a· c(a≠0),则不一定有 b=c,即等式两边不能同时约去一个向量, 但可以同时乘以一个向量. 2.数量积运算不适合结合律,即(a· b)· c≠a· (b· c),这是由于(a· b)· c 表示一个与 c 共线的 向量,a· (b· c)表示一个与 a 共线的向量,而 a 与 c 不一定共线,因此(a· b)· c 与 a· (b· c)不一定相等. [试一试] 1.(2014· 苏锡常镇一调)已知两个单位向量 e1,e2 的夹角为 120° ,若向量 a=e1+2e2,b =4e1,则 a· b=________. 2π 2.(2013· 镇江期末)在菱形 ABCD 中,AB=2 3,B= , BC =3 BE , DA =3 DF , 3

AC =________. 则 EF ·

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1.明确两个结论: (1)两个向量 a 与 b 的夹角为锐角,则有 a· b>0,反之不成立(因为夹角为 0 时不成立); (2)两个向量 a 与 b 的夹角为钝角,则有 a· b<0,反之不成立(因为夹角为 π 时不成立). 2.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧. [练一练] 1.已知向量 a,b 均为非零向量,(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则 a,b 的夹角为________. 2.(2013· 南通三模)已知向量 a 与 b 的夹角为 60° ,且|a|=1,|b|=2,那么(a+b)2 的值为 ________.

考点一

平面向量的数量积的运算

1 1.(2014· 南通、泰州、扬州一调)在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 a=(1,2),a- b= 2 (3,1),则 a· b=________. 2.已知平面向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a|=2,|b|=3,a· b=-6.则 ________. 3.(2012· 江苏高考)如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC=2,点 E 为 BC 的中点,点 F x1+y1 的值为 x2+y2

AF = 2,则 AE · BF 的值是________. 在边 CD 上,若 AB ·

AC =-1,则|BC|的最小值是________. 4.在△ABC 中,若∠A=120° , AB ·

[类题通法] 向量数量积的两种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即 a· b=|a||b a,b .

(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a· b=x1x2+y1y2. 运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题,解题时应灵活选择相应公式求解.

考点二

平面向量数量积的性质

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平面向量数量积的性质是高考的重点,归纳起来常见的命题角度 有:(1)平面向量的模; (2)平面向量的夹角; (3)平面向量的垂直. 角度一 平面向量的模 π 1.(2014· 南京一模)已知平面向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 .以 a,b 为 3 邻边作平行四边形,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________. 角度二 平面向量的夹角 2.(1)(2013· 盐城二模)已知向量 a 的模为 2,向量 e 为单位向量,e⊥(a-e),则向量 a 与 e 的夹角大小为________. (2)(2014· 苏北四市一调)设 a,b,c 是单位向量,且 a=b+c,则向量 a,b 的夹角等于 ________. 角度三 平面向量的垂直 3.(1)(2013· 盐城二模)已知向量 a=(-3,2),b=(-1,0),且向量 λa+b 与 a-2b 垂直, 则实数 λ 的值为________. (2)在直角三角形 ABC 中,已知 AB =(2,3), AC =(1,k),则 k 的值为________. [类题通法] 1.求两非零向量的夹角时要注意: (1)向量的数量积不满足结合律; (2)数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于 0 说明两向量的夹角为 直角,数量积小于 0 且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角. 2.利用数量积求解长度问题的处理方法 (1)a2=a· a=|a|2 或|a|= a· a.(2)|a± b|= ?a± b?2= a2± 2a· b+b2. (3)若 a=(x,y),则|a|= x2+y2. 考点三 平面向量与三角函数的综合

[典例] (2013· 江苏高考)已知向量 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β<α<π. (1)若|a-b|= 2,求证:a⊥b; (2)设 c=(0,1),若 a+b=c,求 α,β 的值.

[类题通法] 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立 等,得到三角函数的关系式,然后求解.
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(2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题 思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等. [针对训练] 已知向量 a=(sin θ,cos θ-2sin θ),b=(1,2). (1)若 a∥b,求 tan θ 的值; (2)若|a|=|b|,0<θ<π,求 θ 的值.

[练通考点] 2π 1. (2011· 江苏高考)已知 e1, e2 是夹角为 的两个单位向量, a=e1-2e2, b=ke1+e2.若 a· b 3 =0,则实数 k 的值为________. 2.在△ABC 中,若 AB · AC = AB · CB =2,则边 AB 的长等于________. 3.已知向量 a=(-2,2),b=(5,k).若|a+b|不超过 5,则实数 k 的取值范围是________. 4.(2013· 淮安二模)在△ABC 中,已知 AB=2,BC=3,∠ABC=60° ,BD⊥AC,D 为垂 足,则 BD ? BC 的值为________. 5.若非零向量 a,b 满足|a|=3|b|=|a+2b|,则 a 与 b 夹角的余弦值为________. 6. 在△ABC 中, AB=10, AC=6, O 为 BC 的垂直平分线上一点, 则 AO · BC =________. 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1.(2013· 盐城二模)若 e1,e2 是两个单位向量,a=e1-2e2,b=5e1+4e2,且 a⊥b,则 e1, e2 的夹角为________. 2. (2014· 南通一模)在△ABC 中, 若 AB=1, AC= 3, | AB + AC |=| BC |, 则 =________. 3.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知向量 OA =(2,2), OB =(4,1),在 x 轴上

BA · BC | BC |

BP 有最小值,则 P 点的坐标是________. 取一点 P,使 AP ·
π CA 4. 在直角三角形 ABC 中, ∠C= , AC=3, 取点 D 使 BD =2 DA , 那么 CD · 2 =________. 5. 在边长为 1 的正方形 ABCD 中, M 为 BC 的中点, 点 E 在线段 AB 上运动, 则 EC ? EM
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的取值范围是________. 6.已知向量 a,b 夹角为 45° ,且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b|=________. 7.已知向量 a=(2,-1),b=(x,-2),c=(3,y),若 a∥b,(a+b)⊥(b-c),M(x,y), N(y,x),则向量 MN 的模为________. 8. (2013· 山东高考)已知向量 AB 与 AC 的夹角为 120° , 且| AB |=3, | AC |=2.若 AP = λ AB + AC ,且 AP ⊥ BC ,则实数 λ 的值为________. 9.(2014· 泰州)已知向量 a=(cos λθ,cos(10-λ)θ),b=(sin(10-λ)θ,sin λθ),λ,θ∈R. π (1)求|a|2+|b|2 的值;(2)若 a⊥b,求 θ;(3)若 θ= ,求证:a∥b. 20

10.已知△ABC 为锐角三角形,向量 m=(3cos2A,sin A),n=(1,-sin A),且 m⊥n. (1)求 A 的大小; (2)当 AB =pm, AC =qn(p>0,q>0),且满足 p+q=6 时,求△ABC 面积的最大值.

第Ⅱ卷:提能增分卷 1.(2014· 扬州期末)在边长为 6 的等边三角形 ABC 中,点 M 满足 BM =2 MA ,则

CM · CB =________.
2.(2013· 盐城二模)若点 G 为△ABC 的重心,且 AG⊥BG,则 sinC 的最大值为________.

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3π 3.(2014· 泰州模拟)如图,半径为 1,圆心角为 的圆弧 AB 上有一点 C. 2 (1)若 C 为圆弧 AB 的中点, 点 D 在线段 OA 上运动, 求| OC + OD |的最小值;

DE (2)若 D, E 分别为线段 OA, OB 的中点, 当 C 在圆弧 AB 上运动时, 求 CE ·
的取值范围.

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