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高一数学竞赛班选拔考试试卷


重点中学高一数学竞赛班选拔考试试卷
1. A ? x x ? ?0,1? ,用列举法表示集合 A=___________。 2.新高一某班的 50 名学生中,参加数学竞赛辅导的有 22 人,参加物理竞赛辅导的有 20 人, 参加化学竞赛辅导的有 19 人,既参加数学又参加物理的有 15 人,既参加数学又参加化学的 有 12 人,既参加物理又参加化学的有 10 人,三科都

没参加的有 20 人,则三科都参加的有 _____________人。 3.在小于 100 的正整数 n 中,能使分数

?

?

1 化为有限小数的 n 的所有可能值 (3n ? 32)(4n ? 1)

为___________。 4.在一个圆形时钟的表面,OA 表示秒针,OB 表示分针(O 为两针的旋转中心) 。若现在 时间恰好是 12 点整,则经过_______秒后, ?OAB 面积第一次达到最大。 (用分数表示) 5.已知 a 、 b 、 c 为整数,且 a ? b ? 2006, c ? a ? 2005 ,若 a ? b ,则 a ? b ? c 的最大值 为 ________. b=2013-a>a 则 a<1006.5 a 最 大 为 a+b+c=2006+2005+a=a+4011 所以最大值是 1006+4011=5017
2 2

1006

c=2005+a

所 以

6.如果两个一元二次方程 x ? x ? m ? 0 与 mx ? x ? 1 ? 0 都有两个不相等的实数根,并且 其中有一个公共的实根 x0 ,那么 x0 =_________。 7.如果一个两位数 x5 与一个三位数 3 yz 的积是 29400,那么, x ? y ? z ? ____。 29400/400>73, 29400/300=98x 只能为 7 或 8 或 929400/75=392 只有这个是整数。所以 x+y+z=7+9+2=18 因为 29400=75*392 所以 x=7、y=9,z=2 所以 x+y+z=7+9+2=18 8.一名模型赛车手遥控一辆赛车。先前进 1 米,然后原地逆时针方向旋转角

? (0 ? ? ? 1800 ) ,被称为一次操作。若五次操作后赛车回到出发点,则角 ? =_______。
因为赛车手五次操作后赛车回到出发点,可以得出赛车五次旋转角度之和为 360°的整倍 数, 根据每一次的旋转角α 的最大值小于 180°, 经过五次操作, 则旋转角度之和小于 900°, 即不可能三圈或三圈以上,则赛车可能绕原地一圈或两圈,分别用 360°和 720°除以 5, 就可以得到答案.由题意,得赛车可能绕原地一圈或两圈.当赛车绕原地一圈时,旋转角 a=360÷5=72°,当赛车绕原地两圈时,旋转角 a=720÷5=144°.故答案为 72°或 144°. 9.已知正五边形广场 ABCDE 的周长为 2000 米,甲、乙两人分别从 A、C 两点同时出发, 沿 A ? B ? C ? D ? E ? A ? …方向绕广场行走,甲的速度为 50 米/分,乙的速度为 46 米/分。那么,出发后经过_________分钟,甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上。 正五边形广场 ABCDE 每边长为 2000/5=400 米,先假设甲、乙两人第一次行走在同一条边上 时,两人都位于顶点上则两者路程差为 400 米,而出发时两者路程差为 800 米,所以甲走了 (800-400) ( / 50-46) =100 分钟, 经验证, 此时甲不在顶点上, 因为此时甲行走了 50*100=5000 米,5000/400=12 余 200(米) ,所以甲还要再走 200/50=4 分钟,即出发后经过 104 分钟, 甲、乙两人第一次行走在同一条边上 10.有两副扑克牌,每副牌的排列顺序是:第 1 张是大王,第 2 张是小王,然后是黑桃、红
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桃、方块、梅花 4 种花色排列,每种花色的牌又按 A,2,3,…,J,Q,K 的顺序排列。某人把按上 述顺序的两副牌上下叠放在一起,然后从上面把第 1 张丢掉,把第 2 张放到最底层,再把第 3 张丢掉,把第 4 张放到最底层……如此下去,直至最后只剩下 1 张牌。则所剩的这张牌是 ___________。 11. 已知 x ? [2,3] , 求函数 f ( x) ? 12. 已知函数 f ( x) ?

1 ? x ? 2 x2 ? 2 x ? 1 的值域. 2x

x , x ? (0 , 1) 1 ? x2

⑴设 x1 , x2 ? (0 , 1) ,证明: ( x1 ? x2 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 . ⑵设 a , b , c ? R ? ,且 a ?b ?c ? 1 ,求 u ?

3a 2 ? a 3b 2 ? b 3c 2 ? c ? ? 的最小值. 1? a2 1? b2 1? c2

试卷答案
1. ??,{0},{1},{0,1}? 6. 1 7. 18 2. 6 8. 72 或144
o

3. 6 或 31
o

4. 15

15 59

5. 5013

9. 104

10. 方块 6

11. f ( x) ? [

13 ? 2 5 ? 1 , ] 6 4
x 2 (x1 ? x 2) (1 ? x1 x 2) x1 = < 0 2 2 2 (1 ? x1 )(1 ? x 2 2 ) 1 ? x1 1 ? x 2

12. 设 0< x 1< x 2<1, f( x 1)-f( x 2)=

∴( x 1- x 2)[f( x 1)-f( x 2)]>0 同 理 : 若 x 1> x 2 有 ( x 1- x 2)[f( x 1)-f( x 2)] >0, 若 x 1= x ( x 1- x 2)[f( x 1)-f( x 2)]=0 ∴( x 1- x 2)[f( x 1)-f( x 2)]≥0 (2) ∵ a + b +c=1 且 a 、 b 、c ? R+ ∴0< a <1,0< b <1,0<c<1 1 1 1 a 3 由(1)得:( a - )[f( a )-f( )]≥0∴( a - )[ - ]≥0 2 3 3 3 1 ? a 10 1 a2 ? a 2 3 ≥ 3 ( a - 1 ),即 3a ? a ≥ 9 ( a - 1 ) ∴ 10 3 10 3 1 ? a2 1 ? a2
9 1 9 1 3b 2 ? b 3c 2 ? c 同理: ≥ ( b - ), ≥ (c- ) 2 2 10 3 10 3 1? b 1? c

2



∴u≥

9 1 1 1 ( a - + b - +c- )=0, ∴u 的最小值为 0 10 3 3 3

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