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奇数与偶数


自然数如果按照能否被2整除
0、2、4、6、8………能够被2整除的数 偶数 (2N)

1、3、5、7、9…不能被2整除的数

奇数 (2N+1、2N-1)

一个数是奇数还是偶数,关键是要看这个数是够是2的倍数。 一个数是奇数还是偶数,是由本身的性质决定的, 这个性质称为奇偶性。 一个自然数要么是奇数,要么

是偶数,二者必居其一 (即奇数不等于偶数)。相邻的两个自然数必是一奇一偶,

两数的和一定是奇数,积一定是偶数

自然数分成奇偶两类是因为奇数和偶数都有很多性质,它
可以使运算得到简化,使演绎推理得到简化,很多不可能的 结论,利用奇偶的性质很快能够得到证明。

性质
奇数+(或-)奇数=偶数 偶数+(或-)偶数=偶数 偶数+(或-)奇数=奇数 奇数+(或-)偶数=奇数

两个数加减的时候,只有一加一减是奇数,其余的情况 全为偶数。 奇数个奇数的和是奇数,偶数个奇数的和为偶数。

奇数×奇数=奇数 奇数×偶数=偶数
偶数×奇数=偶数 偶数×偶数=偶数 只要有一个数是偶数,积就为偶数,其余情况全部是奇数。

若干个奇数之积为奇数,若干个偶数之积是偶数 例:1×3×5×7×9×…………×1991×1993结果是奇数还是 偶数?

例:1 +2+3 +4+... + 1997是奇数还是偶数? 例:1+2+3+4+...+2001+2002是奇数还是偶数? 例:1+2+3 +4+.......+1995的和是奇数还是偶数? 例:1+2+2+3+3+3+4+4+4+4+5+5+5+5+5+......+19+......+19的 和是奇数还是偶数?
19个

分析:设和数为A,如果先求出.A,再判断A的奇偶性, 这样做十分费事、麻烦。我们要知道的仅仅是A的奇偶性,不 需要知道A这个数本身是多少,那么我们应另辟蹊径来求解。 根据偶数加偶数还是偶数这一性质,这样我们可以把式中的 所有偶数去掉,然后讨论余下的奇数之和的奇偶性。

解:1+3+3+3+5+5+5+5+5+......+19+......+19,奇数的个数有
(1+19)×10÷2= 100(个)
19个

根据偶数个奇数之和是偶数这一性质,上面式子的和是 偶数,进而判断:题中所求的和是偶数。 例:1992-1991+1990-1989+……-3+2-1的结果是奇数还是偶数?
分析:仔细观察发现题目中的数的特点,每两个数相减得结果都一样,因

此我们可以将两个数分为一组。

原式= (1992-1991)+(1990-1989)+……-3+(2-1) 因此和为偶数。

996个奇数(1)

例:97筐水果,由5只小船运过河去,要求每只船上装偶数筐

水果,可能吗?为什么?
例:5个相邻奇数的和是95,求这5个数。 例:能否从下面选出5个数字,使它们的和是30?

1 3 5 7 9 3 5 7 3 5 5 7 9 1 1
分析与解:观察表格不难发现,表格中有15个数,且全部是奇

数,只允许选出5个数,无论怎么选,选出的5个数一定都是奇
数,其和也是奇数。(因为奇数个奇数的和为奇数,而30是一 个偶数,所以无论怎么选都不可能使5个数的和为30.

例:新年前夕,同学们互相送贺年卡,每人只要接到别人赠的贺

年卡就要回赠一张卡,那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数还是
偶数?为什么? 分析与解: 由于是互送贺年卡,所以贺年卡的总张数一定能 被2整除,即贺年卡的总张数应是偶数。 将送贺年卡的人分成两类: 一类是送了偶数张贺年卡的人。他们送出的贺年卡的 总和是偶数,因为若干个偶数的和是偶数。 另一类是送了奇数张贺年卡的人。他们送出的贺年卡 总数=总张数-送偶数张贺年卡的人送出的贺年卡总数=偶数一

偶数=偶数。只有偶数个奇数相加,其和才能是偶数。所以送
奇数张贺年卡的人数一定是偶数。

例:有一串数1,9,9,8…从第五个数开始,每个数字都等于

它前面四个数字之和的个位数字,这样一直写下去,在前99个
数(包括第99个数)中,有多少个偶数? 分析:如果按照要求写出前99个数,再从其中数出偶数的 个数,这样做很麻烦,也容易出错。所以我们可以换一个 角度,从数的奇偶性入手分析;
前4个数是奇、奇、奇、偶,从第五个数开始,按题意写下去,奇 偶的排列规律是奇、奇、奇、奇、偶、奇、奇、奇、奇、偶…发现了这已规

律,问题就容易解决了。

(99-4)÷5+1=20(个)说明在前99个数中,共有20个偶数。

例:有一列数:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55.....从第三个数开始,
每个数都是前两个数的和。那么在前1000个数中,有多少个奇 数? 分析与解:根据“奇数+奇数=偶数,奇数+偶数=奇数”

及第一、第二个数都是奇数,按照这列数的组成规律知,各数
的奇偶性依次为 奇、奇、偶、奇、奇、偶、奇、奇、偶...... 即每三个数为一组,其中前两个是奇数,后一个是偶数。 这列数的排列规律是每三个数为一组,其中前两个是 奇数,后一个是偶数 1000÷3=333......1 所以前1000个数中有偶数333个,有奇数1000 - 333 = 667(个)。

例:能不能将1——1993这1993个自然数分成若干组,使每组中

都有一个数等于同组屮其余各数的和?为什么? 分析与解:假设可以按要求排成。设第一组中最大的数是
a1,其余各数的和也是a1 ,则第一组中所有数的和是2 a1,;同 理,设第二组中最大的数是a2 。则第二组中所有数的和为2 a2 ,.......第N组中最大的数是an,则第n组所有数的和为2an 所有数(1——1993)的和就是

2a1+ 2a2 + 2a3+… 2a
n)

n

=2(a1+ a2 + a3+… a

其结果是一个偶数。 事实上1-1993的和是(I+1993)×1993÷2=997×1993, 奇数乘以奇数,积一定是奇数。

假设的结果与事实矛盾、这说明假设的情况是不可能达
到的。因此不能将l——1993分成若干组,使每组中的某个数 等于同组中其余各数的和。 例:把1~99这99个自然数的顺序打乱后重新排列,并把新排

列的每个数依次加上1,2,3...,99。问最后得到的99个数之积
是奇数还是偶数? 分析与解答:是偶数。因为1~99中共有奇数50个,偶数49 个。按最坏分组,每个偶数加上一个奇数,每个奇数加上 一个偶数,这样共有98对(奇十偶)但最后一对一定是(奇十 奇)。因为奇十奇=偶,而在乘积式中,有一个因数是偶数, 它们的积必是偶数,所以最后结果仍是偶数:

思考:有6个学生都面向南站成一行,每回只能有5个学生向后 转,则最少要转多少回就能使这6个学生都面向北? 将上例中的6个同学改成7个,每次4个学生向后转,结 果如何呢? 例:某班49名

同学,分7行,每行7人,
做一个游戏,当老师要 求换座位时,每个同学

都与自己相邻(前后左
右)的某一个同学换位, 问能不能做得到?

例:在1 ~1995这1995个自然数之间随便添上加号或减号(但要
使结果有意义),结果是奇数还是偶数? 例:十个连续偶数的和是1370,这十个偶数中最大的是几? 例:三个连续偶数的积是2□?8,其中最小的偶数是多少? 例:某次数学竟赛共40道题,规定对一题给5分,不答一题给 1分,错一题扣1分。试证明,不论多少人参赛,全体考生得

分之和必定是偶数。
例:十个房间,有七间开着灯,三间关着灯,如果在总控制 室内,每次同时按动四个房间灯的开关,问能不能经过若干 次后把房间的灯全都关上。

例:在不大于1990的所有的自然数中,奇数的和比偶数的和

少多少? 例:在30到100中所有3的倍数的和是偶数还是奇数?
例:七个连续偶数,其中最大数是最小数的3倍,那么这

七个偶数各是多少?
例:有20个自然数,其中奇数比偶数多,它们总和为100, 那么这些数中偶数最多有多少个? 例:三个相邻偶数的积是一个五位数, 85aa8,那以这三个 数是多少?

例:能否用3个田字形的纸片和13个T字形纸片完全盖住一个
8×8的正方形棋盘? 田字形纸片只能盖住2

个白格2个黑格,则3个纸
片能盖住偶数个白格。 一个T字形纸片能盖 住一个或3个白格,13个 能盖住奇数个白格。因此 一共可盖住的白格总数是 奇数,而实际上有32个白

格式偶数,所以盖不住。

例:某班同学参加学校的数学竞赛,试题共50道。评分标准是:
答对一道给3分,不答给1分,答错倒扣1分,证明:该班同学的 得分总数一定是偶数。 如果每个同学能将试题全部答对,则可得150分,是偶数,

如果答错1题,扣去的分数一定是4的倍数。不论答错几题,
扣得总分一定是偶数。如果有一题没答,扣掉的分数是2的倍 数,那么不论多少题没有答,扣掉的分数是偶数。这样每个 同学的得分一定是偶数 (偶数-偶数=偶数), 那么不论全班有 几人,得分总数一定是偶数,因为偶数+偶数=偶数


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