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重庆一诊理科数学答案2015级


2014 年秋高三(上)期末测试卷 数学(理工农医类)参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1~5 CAACA 6~10 ACDAB

(10)提示: | AF |? c ? a ,故以 B(

a ? c 3 (c ? a ) , ) 为圆心、 c ? a 为半径的圆 B 恰好经过 A、F

两点,且 2 2
a2 与圆 B 存在公共 c

圆 B 上的点 Q 即为使得 ?AQF ? 30? 的所有点,所以原题等价于直线 x ? ?

点,即

a ? c a2 3 ? 17 2 ? ≤ c ? a ? e ? 3e ? 2 ≥ 0 ? e ≥ ,选 B. 2 c 2

二、填空题:本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. (11)

3 2

(12) 360

(13) 2016

y

4

(14) 3

(15) 2 ? 1

(16) a ≥ 1 或 a ≤ ? 5

(13)提示:由题知 y ? f ( x) 与 y ? 2 x 的图象如右图所示,

2

] 内的根分别是 显然,方程 f ( x) ? 2 x 在 [0,2015
O
1

2

x

x ? 0,1,2,3,?,2015,共 2016 个.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 13 分)
2 解:命题 p 成立 ? 4 ? a ? 0 ? a ? 2 或 a ? ?2 ,命题 q 成立 ?

a 1 2? 2

≥1 ? a ≥ 1

??6 分

由“ p ? q ”为真, “ p ? q ”为假,知: p, q 一真一假 ??9 分 故?

?a ? 2或a ? ?2 ?? 2 ≤ a ≤ 2 或? 即 a ? ?2 或 1 ≤ a ≤ 2 . ?a ≥1 ?a ? 1

??13 分

(18) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由频率分布直方图知,听写正确 130 个字以上(含 130 个)的人数为: 0.0025 ? 20 ? 400 ? 20 人,

? 40 ? 0.0015? 60 ? 0.00925? 80 ? 0.0245? 100 这 400 人平均听写正确的字数为: (0.00125 ? 0.011? 120? 0.0025? 140) ? 20 ? 100;
??6 分

高三(上)期末测试卷数学(理工农医类)答案

第1页 共4页

2 (Ⅱ)设该同学每次听写正确的概率为 p ,则 (1 ? p ) ?

1 2 即p? 9 3

故 X 的可能取值为: 0,1,2,3 ,其分布列为

X
P

0 1 27

1 2 27

2 8 81

3 64 81
??13 分

数学期望为 E ( X ) ? (19) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)

6 ? 16 ? 192 214 ? . 81 81

3 a2 ? b2 ? c2 ? cosC ? ? 6ab ? 5(a 2 ? b 2 ) ? 5c 2 即 c 2 ? 4 5 2ab
? ab ≤ 5

? c ? 2 ; ??5 分

(Ⅱ)? 5(a 2 ? b 2 ) ? 6ab ? 20 ≥ 10 ab ? 6ab 又S ?

当且仅当 a ? b 时, ab 取最大值

1 ab sin C 2
2

? 当 a ? b 时, S 最大,此时 A ? B ,? cos 2 A ? ? cos C ? ?
3 2 5 ,解得 sin A ? . 5 5
??13 分

3 5

即 1 ? 2 sin A ? ?

(20) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ?( x ) ? 2ax ? 2a ?

b x

由题知 f ?(1) ? b ? 1

? f ( x) ? a( x ? 1) 2 ? ln x ,

f ?( x) ? 2ax ? 2a ?
2

1 2ax2 ? 2ax ? 1 ? , f ( x) 在 [2,??) 上单减,? f ?( x) ≤ 0 在 [2,??) 上恒成立 x x
1 1 1 ) min ? ? ,? a ≤ ? ;??6 分 x ?x 2 4
2

即 2ax ? 2ax ? 1≤ 0 在 [2,??) 上恒成立, 2 a ≤ (?
2

(Ⅱ)令 g ( x) ? f ( x) ? x ? 1 ? a( x ? 1) ? ln x ? x ? 1 ,则 g ( x) ≤ 0 在 [1,??) 上恒成立,

g ?( x) ? 2ax ? 2a ?

1 (2ax ? 1)( x ? 1) ?1 ? x x

当 2 a ≤ 0 即 a ≤ 0 时, g ?( x ) ≤ 0 , g ( x) 在 [1,??) 上单减,? g ( x) ≤ g (1) ? 0 ,符合题意;

1 ≤ 1 时, g ?( x ) ≥ 0 , g ( x) 在 [1,??) 上单增,? 当 x ? 1 时, g ( x) ? g (1) ? 0 ,矛盾; 2a 1 1 1 1 1 ? 1 时, g ( x) 在 [1, ) 上单减, ( ,?? ) 上单增,而 g ( ? 1) ? ln( ? 1) ? 0 ,矛盾; 当 a a 2a 2a 2a
当0 ? 综上, a ≤ 0 .??12 分 (21) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题知,

x2 c 2 1 ? y 2 ? 1 ;??4分 且 ? 2c ? b ? 1 ,? a ? 2, b ? c ? 1 ? 椭圆 C 的方程为 ? 2 2 a 2 y 2 2 0 (Ⅱ)设 A( x0 , y0 ) ,则 x0 ? 2 y0 ? 2 , 直线 AF1 : y ? ( x ? 1) 与椭圆 C 的方程联立得: x0 ? 1
高三(上)期末测试卷数学(理工农医类)答案 第2页 共4页

(3 ? 2x0 ) x 2 ? 4 y0 x ? 3x0 ? 4x0 ? 0 ,此方程的两根即为 A、B 两点的横坐标,则 x B ? ?
?? ? ? 1 ? x0 ? 2 x0 ? 3 xB ? 1
又直线 AP : y ?

2

2

3x0 ? 4 2 x0 ? 3

y0 ( x ? 2) 与椭圆 C 的方程联立得: x0 ? 2 3x0 ? 4 2 x0 ? 3

2 2 (6 ? 4x0 ) x 2 ? 8 y0 x ? 6x0 ? 8x0 ? 0 ,此方程的两根即为 A、M 两点的横坐标,则 x M ?

同理可得, ? ? 2 ?

3 x0 ? 4 ?3 2 x0 ? 3

? ? ? ? ? 2 x0 ? 3 ?

1 ? 12 2 x0 ? 3
? ? ? ? ? (6,10] .??12分

又 x0 ? (? 2, 2 ) ? 2x0 ? 3 ? (?2 2 ? 3,2 2 ? 3) (22) (本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ)法一:由 3an?1 ? 3an ? 10an an?1 ? 3 得, 3an ? 3an?1 ? 10an?1an ? 3 ( n ≥ 2 ) 两式相减得, 3(an?1 ? an?1 ) ? 10(an?1 ? an?1 )an ? 0
2 2

2

2

2

2

又 an ? an ?1

? 3(an?1 ? an?1 ) ? 10an

即 3an?1 ? an ? 3(3an ? an?1 ) ( n ≥ 2 ) ?{3an?1 ? an } 是等比数列;??4 分 法二:由题知 3a2 ? 3 ? 10a2 ? 3 即 a 2 ? 则 a3 ?
2

91 1 1 ? (81 ? ) 9 8 9

10 1 1 100 100 2 ? (27 ? ) 于是 3a3 ? ? a3 ? 3 3 8 3 3 3 1 n ?1 1 * 猜想 a n ? (3 ? n ?1 ) ( n ? N ) ,下面用数学归纳法证明. 8 3

当 n ? 1 时, a1 ? 1 ?

1 2 (3 ? 1) ,命题成立; 8 1 k ?1 1 (3 ? k ?1 ) , 8 3
2

假设当 n ? k 时, a k ?

则当 n ? k ? 1 时,有 3a k ?1 ? 即 a k ?1 ?
2

3 k ?1 1 10 1 (3 ? k ?1 ) 2 ? (3 k ?1 ? k ?1 )a k ?1 ? 3 64 8 3 3

10 k 1 1 1 (3 ? k )a k ?1 ? (3 2 k ? 2 ? 82 ? 2 k ?2 ) ? 0 8 64 3 3

解得 a k ?1 ?

1 k ?2 1 1 1 (3 ? k ) 或 (3 k ? k ? 2 ) 8 8 3 3 1 n ?1 1 (3 ? n ?1 ) 8 3

又 an ? an ?1

1 1 ? a k ?1 ? (3 k ? 2 ? k ) 8 3

* 即对任意 n ? N 有, a n ?

1 1 1 ? 3a n ?1 ? a n ? (3 n ?3 ? n ?1 ? 3 n ?1 ? n ?1 ) ? 3 n ?1 8 3 3

故 {3an?1 ? an } 是等比数列; ??4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 3an?1 ? an ? 3
n?1

即 a n ?1

1 ? an ? 3n 3

3n?2 1 3 n ?1 a n ?1 ? ? (a n ? ) 8 3 8
? 1 ? an 8 3 n ?1 ? 1 3 n ?1

? an ?

1 n ?1 1 3n?1 9 3n?1 ? 3n ?1 (a1 ? ) ? ? 即 a n ? (3 ? n ?1 ) 8 3 8 8 8

高三(上)期末测试卷数学(理工农医类)答案

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?

1 8 ? an 8 ? 3n?1 ? 3n?1 ? 1 3n?1

故当 n ≥ 2 时,

1 8 1 ? ? n?1 n?1 an 8 ? 3 3



1 1 1 1 1 1 1 3n ? 3 (1 ? 1 ) ? 3 而 n ? 1 时, 1 ? 1 ? 3 ? ??? ? 1 ? ? 2 ? ? ? n?1 ? 1 a1 2 a1 a 2 an 3 3 2 2 3 3n 1? 3 1?
故对任意 n ? N 有
*

1 1 1 3 ? ??? ? . ??8 分 a1 a 2 an 2

1 1 3 (1 ? 3 ) 3n ] ? 1 (3n?2 ? 1 ? 12) Sn ? [ ? 1 8 1? 3 16 3n?1 1? 3
2 n

1?

n2 16n 2 ? 故 S n 3n? 2 ? 1 ? 12 3n?1
当 n ? 2 时,

当 n ≥ 2 时,

1 1 ??? ?1 a1 an

而当 n ? 1 时,

1 1 ?1? S1 a1

4 ? S2

4 12 ? ?1 10 13 1? 3

当 n ≥ 3 时,

n2 16n 2 16n 2 2n 2 2n 2 2n 2 ? ? ? ? ? ?1 S n 8 ? 3n ? 3n ? 1 ? 12 8 ? 3n 3n (1 ? 2) n 1 ? 2n ? 2n(n ? 1) 3n?1

即对任意 n ? N 时,
*

1 1 1 n2 ≤ ??12 分 ? ??? an S n a1 a 2

综上,原不等式得证.

高三(上)期末测试卷数学(理工农医类)答案

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